Практическое применение непрерывной многокритериальной задачи
Автор: Замкова Л.И.
Журнал: Международный журнал гуманитарных и естественных наук @intjournal
Рубрика: Технические науки
Статья в выпуске: 11 (14), 2017 года.
Бесплатный доступ
В статье формулируется постановка двухкритериальной задачи о рационе, принадлежащей классу непрерывных многокритериальных задач. Проводится сравнительный анализ индивидуальной двухкритериальной задачи о рационе с классической однокритериальной задачей, используемой в качестве прототипа. Задача, сформулированная в статье, отличается от прототипа наличием второго критерия - объёма смеси и ограничения сверху на стоимость смеси. В рассматриваемой задаче не только минимизируется стоимость смеси, но и максимизируется её объём, в отличие от прототипа, что на практике позволяет более рационально вкладывать финансы предприятия и максимизировать объём производства.
Задача о рационе, формальная постановка, оптимальное решение
Короткий адрес: https://sciup.org/170184411
IDR: 170184411
Текст научной статьи Практическое применение непрерывной многокритериальной задачи
В настоящее время продолжаются исследования многокритериальных оптимизационных задач. Изучение литературы в этой области показало, что новых применений на практике многокритериальных задач за последнее время найдено немного. В качестве примера исследовательской работы в этой области приведём задачу об изготовлении колбасной смеси [1] и задачу равновесного программирования, которая решалась в [2]. В связи с изложенным далее будет сформулирована двухкритериальная задача о рационе. Решение которой на практике позволит получить экономическую выгоду предприятию, занимающемуся изготовлением смесей. Отметим, что двухкритериальная задача, формулируемая в статье, относится к классу непрерывных многокритериальных задач.
В последующем разделе описываются формальная и содержательная постановки исследуемой задачи. А также выполняется анализ результатов её решения.
Анализ двухкритериальной задачи о рационе
Приведём формальную постановку задачи о рационе:
C = с^ • x ^ + С 2 • Х 2 + ... + c^n • xn ^ min
V = x j + X 2 + ... + xn ^ max
V > b
C ^ P
A = a^ j • X j + a^ 2 • x^ + ... + a^n • xn > b
A 2 = a 21 • x i + a 22 • x 2 + ... + a 2 n • xn > b 2
Am = am i • x 1 + am 2 ' x 2 + ... + amn 'xn > bm xj > 0, j = 1,2,..., n
Далее рассмотрим содержательную постановку задачи о рационе. Задан ассортимент различных продуктов в количестве n . Каждый продукт содержит определённое количество питательных веществ m видов. Необходимо определить оптимальный рацион, максимизируя его объём. Рацион должен иметь минимальную стоимость. Причём задано ограничение на дневной объём рациона - b и известна сумма, имеющаяся у предприятия на изготовление смеси - p .
Обозначения в (1) имеют следующий смысл:
aij
- содержание i -ого питательного вещества в j -ом продукте;
b - количество i -ого необходимого питательного вещества;
cj
дукта; xj
– стоимость единицы j -ого про-
– количество j -ого продукта, вхо- дящего в рацион.
Рассмотрим индивидуальную задачу (2), соответствующую постановке задачи (1). В качестве прототипа задачи (2) использовалась однокритериальная задача об оптимальном составлении рациона, представленная в работе [3].
0,3 • Х | + 0,9 • Х 2 ^ min
-
Х | + X 2 ^ max
X | + X 2 > 800 (2)
0,3 • x T + 0,9 • x 2< 3000
0,21 X | - 0,3 • X 2 < 0
0,03 • x T - 0,01 - x 2 > 0
xj > 0, j = 1,2
Построим однокритериальную задачу (3). В агрегированном критерии этой задачи критерии задачи (2) имеют одинаковые приоритеты, их веса 0,5:
-
- 0,5 • ( 0,3 • X j + 0,9 • X 2 ) + 0,5 • ( x ^ + X 2 ( ^ max
X j + X 2 > 800 (3)
0,3 • x j + 0,9 • x 2< 3000 0,21 . x j - 0,3 ' x 2< 0 0,03 " x 1 - 0,01 " x 2 > 0 xj > 0, j = 1,2
Преобразованный критерий задачи (3) имеет вид: 0,35 • x ^ + 0,05 • x^ ^ max . Задача (3) решалась в среде программы lp_solve. В результате вычислений получили x =3225,80; x =2258,06; V
=5483,86; C =2999,994. На рисунке 1 представлен скриншот результатов работы программы при решении задачи (3):

Рис. 1. Результаты работы программы при решении задачи
Преимуществом задачи (2) в отличие от прототипа является дополнительное ограничение сверху на стоимость смеси и одновременная максимизация объёма смеси с минимизацией стоимости. Сравним задачу (2) с онокритериальной задачей (4), в которой в качестве единственного критерия рассматривается стоимость смеси: |
0,3 • x ^ + 0,9 • x^ ^ min x ^ + x^ > 800 0,3 • x T + 0,9 • x 2< 3000 (4) 0,21 x ^ - 0,3 • x^ < 0 0,03 • x ^ - 0,01 • x^ > 0 xj > 0, j = 1,2 |
Задача (4) решалась в среде программы lp_solve. В результате вычислений получили x =470,58; x =329,41; V =799,99;
C =437,64. На рисунке 2 представлен скриншот результатов работы программы при решении задачи (4):

Рис. 2. Результаты работы программы при решении задачи
В последующем разделе подводятся итоги проведённого в статье анализа двухкритериальной задачи о рационе, принадлежащей классу непрерывных многокритериальных задач.
Заключение
Сформулированная в статье задача (1) имеет практическую ценность. А именно, результаты её решения позволяют предприятию рационально вкладывать капитал при расширении производства. Действительно, обладая фиксированной суммой финансовых средств p , предприятие может определить наибольший объём производства при этих затратах. Заметим, что оптимальное решение задачи (1) на примере её индивидуальной постановки (2) эквивалентно оптимальному решению классической задачи (4). А именно, оценим отношение оптимальной стоимости
C задачи (2) к соответствующей характеристике C кл классической задачи (4). Получим:
C2 2999,994
Cкл 437,64 ~ 6,85
Оценим отношение оптимальных объёмов рациона задачи (2) и задачи (4):
V 2
V кл
5483,86
799,99
« 6,85
То есть, применение двухкритериальной задачи о рационе является практически выгодным, а её решение не хуже (эквивалентное) решения однокритериальной задачи о рационе. А в задаче (1) не только минимизируется стоимость смеси, но и максимизируется её объём, в отличие от прототипа, что на практике позволяет более рационально вкладывать финансовые ресурсы предприятия и максимизировать объём производства.
Список литературы Практическое применение непрерывной многокритериальной задачи
- Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения - М., -1992. - С. 237-439.
- Васильев Ф.П., Антипин А.С., Артемьева Л.А. Регуляризованный непрерывный экстраградиентный метод решения параметрической многокритериальной задачи равновесного программирования // Доклады Российской академии наук. - 2010. - Т. 434 - №4. - С. 439-442.
- https://infopedia.su/8x11cd7.html