Предельно ненасыщенные -подалгебры, антиинъективные отображения и диффузность

Функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) все чаще используются в различных областях естествознания и техники для описания реальных явлений и процессов с учетом их предыстории.

При изучении свойств достаточно сложных ФДУ приходится исходить из свойств    операторов,    входящих    в рассматриваемое уравнение. К числу таких операторов относятся и операторы вида

(Tf )( w ):= f (a ( w )) .            (1)

Одна из причин интереса к этому оператору кроется также в том, что оператор T возникает не только в теории ФДУ. Наличие такого оператора существенно используется при изучении сингулярных интегральных уравнений со сдвигом, в эргодической теории, в теории функциональных уравнений и т.д.

Ниже дается одна теорема, дополняющие утверждения из обзора [1, с. 18, 19].

Пусть    (5,^, n)    и    (Q, E, ^)   - стандартные    измеримые    пространства

^∗ Работа выполнена при поддержке АО "ПРОГНОЗ".

(пространства  Лебега) с  неатомарными

(диффузными) мерами [6] ν и µ .

Тогда    измеримое    отображение

• a: Q ^ h , удовлетворяющее условию "независания":

BE-Л n(B) = 0^m(a-‘(B)) = 0, (N-1) порождает    по    формуле    (оператор подстановки [1, с. 18])

(Tf )( w ):= f ( a ( w))

(для каждого fEL (Q) при m — п.в. wE Q) порядково непрерывный [1, с. 13] гомоморфизм     T    банаховых алгебр

L (2) := L (~, ^, n) и L° (Q) := L° (Q, E, ^). Ввиду порядковой непрерывности оператора T: L (H) ^ L (Q), следующей из условия (N-1), имеется оператор T: L(Q)^ L1^) , дуальный к оператору T относительно естественной двойственности a(L, L). При этом ясно, что T    – банаховый предвойственный оператор к оператору T , т.е. T*t T.

Теорема. Следующие утверждения эквивалентны:

• 1)     отображение      a. Q ^ 5

антиинъективно [6, 4, 5]: если A eZ и aA : A ^5 - инъекция, то m(A) = 0;

• 2)    j -подалгебра Е_а := a ’(ТД не имеет насыщенных компонент [3]: для любого множества A eZ с m ( A ) > 0 существует множество B eZn A такое, что ^ ( BAC )>0 для всех множеств C eZ_a положительной меры;

• 3)    существует неатомарная (диффузная) а -подалгебра Z 1 с Z такая, что а - подалгебры Z _a и Z 1 независимы : если A eZ _a и B eZ 1 , то m ( A^B ) = m(A)m ( B ) ;

• 4)   оператор условного математического  ожидания (у.м.о.)   [1, с. 21]

E ( • | Z _a ): L(Q) ^ L ( Q ) на а -подалгебру Z _a является является диффузным [7], т.е. имеет представление

E ( f | Z a )(а) = ( f (пВ ( dn )

Ω для каждой f eL(Q) при в -п.в. aeQ, где {Ba}aeQ   — неатомарная (диффузная)

случайная борелевская мера;

• 5)     оператор      T : L (Q) —> L (S),

дуальный к оператору T : L ( 5 ) ^ L ( Q ) , является диффузным ;

• 6)       оператор       подстановки

T : L ( 5 ) ^ L ( Q ) , обладает свойством: TS л I = 0 для всех положительных линейных порядково    непрерывных    операторов

S : L ( Q ) ^ L " ( 5 );

• 7)    оператор     T : L ( 5 ) ^ L ( Q )

антисюръективен [4, 5]: для любого A eZ с m ( A ) > 0 оператор 1 _AT : L ( 5 ) ^ L " ( A ) не сюръективен;

• 8)    отображение a : Q^5 обладает свойством: для любого A eZ с m ( A ) > 0 для v -почти всех с e5 множество a ^-1 ( ^ ) n A либо несчетно, либо пусто.

Доказательство проведем по такой схеме: 1) ^ 2); 2)^>3) ;     ; 5)^6) ;

6)^2) ;    5)^7) ;    5)^8) ;    7)^6) ;

8)^5) .

Эквивалентность 1) о 2)   - это утверждение леммы 2.1 из [6]. Импликация 2) ^ 3) также фактически имеется в статье Н.

Колтона из [6] (восходит к работам Д. Магарам начала 40-50-х гг. прошлого века [1, с. 22]). Действительно, в лемме 2.1 из [6] утверждается, что отображение а:0^5 обладает свойством 2) тогда и только тогда, когда оно антиинъективно. Согласно предложению 2.2 из [6], если а антиинъективно, то существует польское пространство    (K, S, Л)    с диффузной вероятностной мерой Л и (S, Z) -измеримое отображение t: Q K такие, что m (a 1 (C) n t"‘ (D)) = m (a1 ( C ))l ( D) =

= m ( a ‘( C )) m ( t -1 ( d ))

для всех C eZ и D e S . Поэтому а -подалгебры Zj := Z _T и Z _a независимы.

• 3)    ^ 4).    Представим    оператор

у.м.о. P := E ( • | Z _a ): L 1 ( Q ) ^ L ‘( O )    в виде

P = Pa + Pd,   где P = Pa   и   Pd   - соответственно, атомарная и диффузная компоненты оператора P . Так как оператор P положителен, то обе его дизъюнктные компоненты также положительны.

Пусть выполнено условие 3): существует диффузная а -подалгебра Z 1 с Z , независимая от    Σ _α . Тогда оператор

P := E(• | Za)^^ ) переводит пространство L1(Z1)   в одномерное подпространство, состоящее из функций-констант. Поэтому P1 является интегральным оператором. Из неравенства 0 < Pa < P следует:

0< P uv/ P uv ч = P •

- a | L ¹ (E ₁ ) - | L ¹ (E ₁ )      ¹

Таким образом, сужение атомарного оператора Pa на безатомную решетку L (Q, Zj , в)   мажорируется интегральным оператором P. Согласно результатам из [7]

это возможно лишь в случае, если P a ^Z, )=⁰ . Но тогда P a 1 0 = P ^! )^ =⁰ . Поскольку элемент 1 _Q является (слабой) порядковой единицей решетки L ¹ ( О , Z , в ) , то P_a =0 и, следовательно, P = P d .

• 4)    ^ 5). Оператор у.м.о. P := E ( • | Z _a ) действует во всей шкале L^p := L^p ( О , Z , в ) , p 6 [1, ос], пространств Лебега, причем

  дуальным к оператору

  
  

  P ^:= P l ^: L ^ L

  
  

является оператор P_p, .

Здесь   p^f  - сопряженный c p

1.1,- показатель: —I—- = 1, если p < ж и p =1, pp если p = ж. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно представить оператор Pp в виде PP = ip (ip') , ГДе ip : Lp (^а ) ^ Lp - оператор тождественного вложения. Из этого представления следует:

( P p )' = [ i p ( i p- )Т = i p- ( i p )' = P p- .

Так как оператор T : IP ( S ) ^ I ( Q )

отображает пространство    I (S)    на пространство    1ж (Za)     Еа -измеримых элементов из Ip, то PT = T. Следовательно, T' = T '(P^ )' = Tp.          (*)

Пусть выполнено условие 4): оператор

P : I ¹ ^ I¹ имеет диффузное представление.

Из следствия 2 статьи [7] следует, что пространство Z^( I ¹) всех диффузных операторов V : I ¹ ^ I¹ является левым операторным идеалом в категории I_n порядково непрерывных линейных операторов в банаховых идеальных пространствах E(T , S , А) на стандартных пространствах с мерой (T , S , А ): если V Е EEi , E₂ ) и U е I n ( E 2 , E ₃), то UVeE d ( E 1 , E ₃) .

Поэтому оператор T: I (Q) —> I1 (S), как ясно из (*), имеет диффузное представление.

• 5)    ^ 6). Пусть   S : I ( Q ) ^ I" ( S )  -

• положительный порядково непрерывный оператор. Тогда существует дуальный оператор S': I1 (E) —> I1 (Q), который также положителен. Так как Tf Е (ЦI1^), I1(S)) и Cd - левый операторный идеал, то оператор (TSУ ввиду равенства (TSУ = SrTr имеет диффузное представление. Полоса Ed решетки In (I1) дизъюнктна полосе {I} dd , порожденной тождественным оператором I: Q^Q. Поэтому (TSУ ЛI = 0. Отсюда

получаем

( TS )Л I = [(( TS )Л I ))']'< < [( TS У A I ^z]^z = [0]' = 0.

• 6)    ^ 2).     Предположим,     что

• отображение T: I (S) ^ I (Q) не является антиинъективным. Тогда согласно 2) найдется множество A еЕ положительной меры, обладающее свойством: если B еЕ и B ⊂ A , то существует множество C ∈ Σα такое, что р( B КС) = 0.

Это значит, что образ im T := T ( I (^)) оператора T := L T : I (2) —> I ( A ,SП А , т) содержит фундаментальное в I ( А ) множество {c_B : BE X, B <Е А} . Следовательно, пространство im T плотно (по норме) в пространстве I ( А ).

Далее заметим, что если g е I (S) и T g = 0, то | Tg |= T I g 1= 0. Поэтому ядро ker T := T 40} оператора T1 - порядковый идеал решетки I (S). Ввиду порядковой непрерывности оператора T идеал ker T замкнут относительно порядковой сходимости, т.е. является порядковой полосой. Множество полос K-пространства  I (S)

находится в естественном и взаимно однозначном (по модулю идеала Е^ множеств меры нуль) соответствии с элементами а -алгебры Е. В частности, для полосы ker T можно найти такое множество D_{E Е ч что ker T = I °° ( D ).

Определим оператор T : I°° ( D ) —> I ( А ), где D := Q \ D 1 , равенством T := T 1_Р (=^ T y). Имеем: ker T = ker T А Г ( D )

= {0} и im T = im T . Покажем, что оператор

T обратим.

Пусть g е I (D) - конечнозначная фун-N кция:  g = 2^ к_ск Сск (предполагается, что ck С a \Ск), ck ^ cl  и Ck n Cl = 0  при к ^ l).     Тогда      Tg = ^ckhk,     где hk := TXct = 4,    ., причем hk ^ 0. Отсюда, к       А1 a ( с к)

учитывая, что а ’(Ск) Па 1(С/) = 0 при k ^ l, получим:

¹¹ T^g ^Г^¹ c k ¹⁼¹¹ g ^|U₍Z»

L ⁽ A )      k                 L ^{( D} )

•

Множество конечнозначных функций плотно в L ( A ). Поэтому из проведенного выше рассуждения следует, что оператор T ^ˆ есть изометрия с плотной областью значений im T . Такая ситуация возможна лишь в случае, если оператор T обратим.

При естественном отождествлении ( L ¹) * = L оператор T банахово сопряжен к дуальному оператору T^f : L ( A ) —> L ( D ). Следовательно, обратимость оператора T ^ˆ влечет за собой * -слабо сопряженного оператора T ^ˆ . Распространив оператор S = T^{f 1}: L ( D ) L ( A ) с L (Q) по формуле

Sg = SXDg,    (g еL'(E)), на пространство L(E) получаем:

ST 1 A = ST 1 A =1 A • Отсюда 1 A TS = ( T '1 A )' = (1 A )' = 1 A . Таким образом, (( TS ^z) Л I ) >^ ^0. Но это противоречит утверждению 6). Итак, отрицание утверждения 2) совместимо с утверждением 6).

не

• 5)    ^ 7). Предположим, что найдется множество A еЕ с   m(A) >  0 такое, что

• оператор 1 AT: L (Q) ^ L (A) сюръективен. Без ограничения общности можно считать, что A = Q, т.е. сам оператор T сюръективен. Но тогда, как следует из пункта 9) основной теоремы из статьи [3], оператор Tf обязан быть атомарным, что противоречит 5).

• 5)    ^ 8). Предположим что свойство 8) не выполнено. Тогда найдется множество A еЕ с m ( A )>0 такое, что n ( B )>0, где B _₁₍^ :=( П '( X )П B : Хе 5} - непустое не более чем счетное множество. Согласно пункту 1) основной теоремы из статьи [3], оператор S := 1 _B T1 A - осколок [1, с. 12] диффузного

a “1( X )

оператора T^f - является ненулевым атомарным оператором, что противоречит 5).

• 7)    ^ 6). Предположим, что не выполнено условие 6): найдется порядково непрерывный оператор S : L ( Q ) ^ L ( S ) такой, что M := (TS ) л I ^ 0.

Полоса { I } dd состоит из операторов умножения. Поэтому оператор M является оператором умножения на ненулевую функцию а е L ( Q ): ( Mf )( w ) = a(w ) f ( w ) для каждой f е L' ( Q ) при почти всех wE Q. Так как a ^ 0, то при некотором c >0 множество A :={wE Q: c <| a ( w ) |< c~ ^x} имеет ненулевую меру. Но тогда im T содержит подрешетку L ( A ), что невозможно ввиду 7).

• 8)    ^ 5). Предположим, что 5) не выполнено; оператор T' не является диффузным. Это означает, что в разложении Лебега [7, следствие 1] T^f = T + T атомарная компонента T не равна нулю. По двойственности имеем представление оператора T = T^r в виде дизъюнктной суммы T = T + T ₂, где T := T ) * и T ₂ := T ) * , причем T ^ 0 по предположению. Как уже не раз отмечалось, любой осколок оператора T есть произведение на характеристическую функцию некоторого измеримого множества. В частности, для T найдется единственное (mod m ) множество A еЕ с m ( A ) > 0 такое, что T 1 =1 A T . Согласно пункту 1) основной теоремы из статьи [3], ввиду атомарности оператора TL(A )^ L ¹^) для v -почти всех ^ еЕ множество а ^-1( ^ ) n A не пусто и не более чем счетно. Но это противоречит 8).

Предложение 1. Существует измеримое разбиение Q = Q¹UQ² , Q = Q¹nQ²=0 такое, что:

• а)    сужение а 1 := а^ 1 : Q ¹ ^ Е локально инъективно и удовлетворяет N- условию Лузина [2, с. 58];

• b)    сужение а ₂ := а ₂ : Q 2 ^ Е антиинъективно (и потому не удовлетворяет N- условию Лузина).

Доказательство. Представим оператор T^f в виде T^r = T/ + T . Для компоненты T := ( TУ найдется измеримое множество AEU такое, что T = 1_л T . Согласно основной теореме из статьи [3], поскольку T^ L ¹ ( A ) —> L (Е) - атомарный оператор, то существует подмножество Q ¹ с A такое, что,

^ ( A \ Q ¹) = 0, отображение a 1 := a ^ локально инъективно и удовлетворяет N- условию.

Положим Q ² = Q \ Q ¹ . Так как оператор 1^2 = T диффузен, то согласно основной теореме из данной статьи, отображение a := a антиинъективно.

Предложение 2. Существует измеримое разбиение Е = Е0 U Е1 U Е2,   Ez П Еj = 0, i j, i, j Е {0,1,2} такое, что:

• a)    m (а ЧЕ⁰)) = 0;

• b)    2 k ^] :={ X GS1 :| a '( X )|= k } измеримо при всех k = 1,2,... ;

• c)    a ^-1( ^ ) несчетно для всех ^E E².

Доказательство. В обозначениях основной теоремы из статьи [3] положим S i = a (fi i ), i = 1,..., N , и     5 1 = U N H z .

Положим ^{h[ k ] :}= и _и = k ⁽ n i s i ^H i ).

В теореме доказано, например, что эквивалентны    следующие    утверждения:

отображения a : Q^H антиинъективно, a -подалгебра X_Q := a " ¹(E) не имеет насыщенных компонент, оператор у.м.о. является диффузным оператором, оператор T антисюръективен, оператор T является диффузным.

В теореме из статьи [3] доказано, например, что эквивалентны следующие утверждения:  T локально сюръективен, T атомарен, отображения a:Q^S локально инъективно и удовлетворяет N-условию, оператор T локально непрерывен по мере, оператор у.м.о. тоже локально непрерывен по мере.