Преобразование Березина и радиальные операторы на весовых пространствах Бергмана на единичном диске

Пусть Ад() обозначает весовое пространство Бергмана на единичном диске = {z Е C : |z| < 1} в C, состоящее из аналитических на функций, принадлежащих весовому пространству L^(), А > —1. Здесь L^() обозначает пространство измеримых на функций f , для которых конечна норма kf kL=o = (/if И^ми)1/2, где d^x(z) = (А + 1)(1 — |z|2)A — dxdy, А > —1.

Пространство А Д () является замкнутым подпространством L ^ (). Следующее неравен-

|f(z)| 6 c^kfНа> |z|

• © 2005 Карапетянц A. Н., Голиков А. В.

при этом функция K^ (w) имеет вид (см. ниже) K^(w) = (_1-zW)2+a , а скалярное произведение в AX() определяется следующим образом:

hf, giX = yf^(z)g^(z)dцx^{(z),   f,}g^eAX⁽⁾.

Обозначим через B^X (весовой) проектор Бергмана, проектирующий L^() на Ад():

B^X f (z) = M (w)K ^X(z,w)d^x(w) = /f J                       J (1 - zw)

dpx(w)

где функция K^x(z,w) = K^x(w), z,w e, называется (весовым) ядром Бергмана или порождающим ядром в AX().

Для измеримой на функции a(z) оператор Теплица с символом a(z) не обязательно ограниченный, но определенный на плотном в AX() множестве, имеет вид:

TXf (z) = (B^Xaf )(z)= /d^x(w).

(1 - zw)⁺

Для линейного оператора A на AX(), не обязательно ограниченного, но определенного на плотном в AX() множестве, преобразование Березина (или символ Березина оператора A) определяется следующим образом:

A(z) = 'к.к , z e, где функция kX(w) = Kx(w)/||Kx(9||a2q, z,w e, называется когерентным состоянием. В случае теплицева оператора Т^ функцию АА также называют преобразованием Березина символа a(z) и обозначают A(z) = a(z).

Преобразование Березина является одним из наиболее распространенных методов в теории операторов и пространств аналитических функций. В частности, имеется ряд работ посвященных исследованию связи между убыванием преобразования Березина оператора Теплица на границе единичного диска (а также конечных сумм произведений теплицевых операторов) и компактностью оператора. В этой связи упомянем работы [2–7] (см. также монографии [8, 9] и имеющиеся там ссылки).

Оператор Теплица А на AX() является локально компактным оператором по крайней мере в случае символа a(z) непрерывного на . Поэтому, компактность такого оператора эквивалентна равенству символа нулю на границе диска. С другой стороны, для таких операторов имеет место соотношение (см. [8]) a(z) = A(z), z e д (более того, для гармонических символов a(z) справедливо a(z) = T^^z), z e). Таким образом, связь между компактностью оператора и убыванием преобразования Березина при приближении к границе диска становится очевидной для хороших символов.

В общем случае (необязательно теплицевых операторов) имеет место следующий факт. Если оператор A компактен, то функция A(z) очевидно ограничена и, кроме того, A(z) ^ 0 при z ^ д в силу слабой сходимости А к нулю при z ^ д. С другой стороны, существуют примеры некомпактных операторов, преобразование Березина которых стремится к нулю на границе (см. [2]). Относительно теплицевых операторов, для определенных классов символов доказано, что оператор компактен тогда и только тогда, когда преобразование Березина стремится к нулю на границе. Так, например, для положительных символов это установлено в [5, 10], для ограниченных символов в [2], а для символов из класса BMO1() — в [7]. Отметим, что в этих работах, за исключением работы [5], рассматривается безвесовое пространство Бергмана A2() = A0(). В общем случае произвольных, вообще говоря, неограниченных символов доказать аналогичное утверждение или показать, что оно не имеет места не представляется возможным. В первую очередь это связано с тем, что техника, применяемая в упомянутых работах, по-существу использует характерные свойства символов из рассматриваемого класса. Например, даже в случае радиальных неограниченных символов этот вопрос остается открытым.

В этой связи интересным является подход, предложенный в работе [6]. Именно, пусть ^ обозначает класс ограниченных операторов на A²(), для которых стремление к нулю преобразования Березина A(z) при |z| ^ 1 влечет компактность оператора. Как было отмечено выше, компактность оператора влечет стремление преобразования Березина к нулю на границе, т. е. класс ϑ состоит из тех операторов, для которых оба утверждения эквивалентны. Главным результатом упомянутой работы является описание семейства так называемых радиальных операторов, принадлежащих классу ϑ (в безвесовом случае). Это не обязательно теплицевы операторы, и для теплицевых операторов радиальность означает, что символ такого оператора радиален. Заметим в этой связи, что при этом не требуется ограниченности символа.

В настоящей работе мы исследуем аналогичную задачу для операторов на весовом пространстве Бергмана. Приводятся достаточные условия принадлежности оператора классу ^д. Здесь ^a обозначает класс ограниченных операторов A на AA(), для которых стремление к нулю преобразования Березина A(z) при |z| ^ 1 влечет компактность оператора. Особое внимание уделяется теплицевым операторам с радиальными символами и с символами, постоянными на окружностях Бергмана (окружностях в гиперболической метрике Бергмана). Эти окружности можно рассматривать как образы обычных евклидовых окружностей при преобразовании Мёбиуса диска в себя, переводящем z = 0 в точку ZQ.

d^λn

p (A + 1)B (n + 1, A + 1)

I Г(п + A + 2) У r(A + 2)n!

n = 0,1, 2,...,

можно получить явное выражение для ядра Бергмана: KA(z,w) = (у—zW_)2+A. Используя порождающее свойство ядра Бергмана в Ад(), легко вычислить его норму: |Ka(z, *)Ha^() = (1—|z|2)A/2+1, z E . Таким образом, когерентное состояние kA(w) имеет вид kA(w) =

K^A(z, w) лк ^A(z,ОЦ

(Л             = (1 - Iz^|2)1+A/2XX еП(=)еП(").

'        '                            n=0

и для z E, f E AA() справедливо соотношение hA =       , 1      hf(^),KA(z, -»A = (1 -|z|2)1+A/2f(z).

k^KA^(z, J|Ia2

Следовательно, преобразование Березина оператора A может быть представлено в виде

∞∞

A(z) = hAk^ k^ = /A (i - |^z|2)^i+A/2 ^2en(^z)en(^w) ,⁽¹-^|z|2)1+A/212^ek^(z)en^(w) /

n=0                              k=0             λ

∞

= (1 -|z|²)^2+A £ dndAhAeA, eAiAznzk.

n,k=0

Следуя [6], обозначим rad(f)(z) =     / f(eit^dt.

2п 0o

Функция rad(f) называется радиализацией функции f. Будем говорить, что функция f радиальная, если она совпадает со своей радиализацией.

Обобщая эту идею, в работе [6] для оператора A определяется оператор Rad(A) :

1 f^

Rad(A) = —    U^AUtdt,

2n 0o где Ut унитарный оператор (Utf )(z) = f (e itz), f G Ад(). Другими словами, записанное выше равенство означает, что для всех f, g G AA() выполняется:

hRad(a)f,gi

2π

Гп [ hU

AUtf, gidt.

Если A = Rad(A), то оператор A называется радиальным.

Рассмотрим преобразование Rad(A)~ Березина оператора Rad(A). Доказательства сформулированных ниже утверждений аналогичны приведенным в [6] и мы их опускаем.

Утверждение 2.1. Rad(A)~(z) = Rad(A)(z) для всех z G, и оператор A радиальный тогда и только тогда, когда его преобразование Березина является радиальной функцией.

Для f G LA() положим

f(z) = [ (w)|k^A(w)|2d^A(w). f

Функцию f назовем преобразованием Березина функции f.

Утверждение 2.2. Функция f является радиальной тогда и только тогда, когда функция f радиальна, другими словами rad(f)~ = rad(f).

Утверждение 2.3. Пусть A ограниченный радиальный оператор в AA()- Тогда A диагональный оператор относительно стандартного базиса {e^A} в Aa()-

Всюду ниже мы будем обозначать

^YA⁽ⁿ⁾    h^Aen,^eniA-

Мы также будем использовать отображение М¨ебиуса α_z0единичного диска в себя, переводящее точку z = 0 в точку z = zg:

z0 - z аго (z) =  ---—, z G .

⁰       1 - zoz

Легко видеть, что: (i) a.? = a_z0; (ii) вещественный Якобиан отображения Мебиуса a_z0 имеет вил А-^²)²-    1 - Ы|² - (1-Ы2К1-М2)

имеет вид |i-zoz|4 ; ⁽ⁱⁱⁱ⁾1 ^|az0 ^(Z)|=      |1-zoz|²     .

Нам также понадобится следующая лемма.

Лемма 2.4 [11]. Пусть для фиксированного А > 0 последовательность {an} такова, что: ∞ lim (1 — t)x X antn = 0, t ■.

n=0

и существует C > 0 такое, что an > —C(n + 1)^x-1. Тогда

P^n lim a n^+^ (n + 1)^x

= 0.

• 3.    Достаточные условия принадлежности классу ϑλ

Здесь приводятся достаточные условия принадлежности оператора классу ϑλ . Так как мы используем технику преобразования Березина и операторы, рассматриваемые здесь, являются диагональными относительно ортонормированного базиса {e^λ_n}, то в первую очередь заметим, что для таких операторов преобразование Березина имеет вид

∞

A(z) = (1 — |z|²)^2+A£ |en(z)|²(A_en,en)_A.

n=0

Теорема 3.1. Пусть A — линейный оператор в A^(), диагональный относительно стандартного базиса {еП} в пространстве Ax() и пусть {Yx(n)} — его диагональ, т. е. Yx(n) = (Aen enix. Если существует C > 0 такое, что

(dn)2Yx(n) — (dn-i)2Yx(n — 1) > -C(n + 1)x, n > 1, то стремление к нулю преобразования Березина A(z) при |z| ^ 1- влечет компактность оператора A. Другими словами, если для оператора A выполняются условия теоремы, то A ∈ ϑλ.

<1 Заметим, что оператор A компактен если и только если последовательность {Yx(n)} сходится к нулю при n → ∞. Рассмотрим преобразование Березина оператора A. Заменяя t = |z|², получаем

∞∞

A(z) = (1 — t)^x+2X(d^x)²Yx(n)tn = (1 — t)^x+1X(dn)²Yx(n)(tn — tⁿ⁺¹) n=0                         n=0

= ^{(1 —}t^)x+1 (⁽d^x)2Yx^{(0) — (}d^x)2Yx^{(0)t + (}d^x)2Yx^(1)t

• ^{—    (dx)2Y}x⁽¹⁾t^{2 +}• • • ^{+ (}d^x)2Yx^(n)tn ^{— (}dn^)2Yx^(n)tn^{+1 +} . . . ^

= (1 — t)^x+1((d^x)²Yx(0) + ((d^x)²Yx(1)

• ^{—    (d}O^)2Yx⁽⁰⁾)t +-----+ (^(dxn^)2Yx^{(n) — (}dn-1^)2Yx^{(n — 1)})^tn ⁺ • • • ^

= (1 — t)^x+1 ( (d0^x)²Yx(0) + XX ((dxn)²Yx(n) — (dn-1 )²Yx(n — 1)) tn ) .

n=1

Обозначим bo = (dg)²YA(0), bn = (dn)2YA(n) -(d^-^YACn —1), n = 1, 2,... Таким образом

∞

A(z) = (1 —t)^A+1 Vb - , t = |z|.

n=0

Из условий теоремы следует lim_t-1— (1 — t)^A+1 РП=о bntn = 0. Кроме того, в силу определения последовательности {bn} имеем: bn > —C(n + 1)^A, n > 1. Так как выполнены

условия леммы 2.4, то

n _bk lim т—. ,⁰а м n-» (n + 1)^A+1

= 0.

Поскольку P»=_obk = (d^A)²YA(n), будем иметь limn-» (n+dnA+TYA(n) = 0. Окончательно по формуле Стирлинга получаем

lirn d'     = lirn Г("+ A + 2)     =    1

—» (n + 1)^A+¹     n-» Г(А + 2)n!(n +1)^AA1   Г(А + 2) ■

Следовательно, lim_n-» Yx(n) = 0, и оператор A компактен. B

Следствие 3.2. Пусть A — линейный ограниченный оператор в пространстве Бергмана AA(), диагональный относительно стандартного базиса {e^} и пусть {та(п)} — его диагональ. Если последовательность п(та(п) — Yx(n — 1)) ограничена, то A Е ^а-

<1 Справедливо соотношение

⁽dn⁾²YA^{(n) — (}dn-1⁾²YA^{(n —}1)= __________1__________

(n + 1)A              B(n, A + 1)(n + 1)A x (ya(n) — Ya(n — 1)) +       .(A +1)     A Ya(n).

B (n,A + 1)(n + 1)^A

Очевидно, первое слагаемое эквивалентно _Г(a+1)n(YA(n) — Ya(n - 1)) и, следовательно, ограничено. Из ограниченности оператора A следует ограниченность последовательности {Ya(n)}. Второе слагаемое эквивалентно rp+i) Ya(n) и также ограничено. Таким образом, существует C > 0 такое, что

⁽dn⁾²Ya^{(n) — (}dn-1⁾²YA^{(n —}1) (n + 1)^A

Следовательно,

⁽dn⁾²YA^{(n) — (}dn-1 ⁾²Ya^{(n —}1)

(n + 1)^A

>—c (n = 1, 2,...)

или

(dn)²Ya(n) — (dn-1)²YA(n — 1) > —C(n + 1)^A (n = 1, 2,...).

Так как выполняются условия теоремы 3.1, то A Е ^a. B

Рассмотрим теперь теплицевы операторы с радиальными символами a(z) = a(|z|). Имеем (см. [12, 13]):

тх⁽ⁿ⁾ = hTaen, eni a = ^(a+

1)(dn)²у

z|²ⁿa(z)d^ a (z)

= 2(A +

1)(d n)^{2   1}

a(r)r²ⁿ⁺¹(1

— r²)^Adr =

1              Г1

B(n + 1,A + 1) Уо          1 - ^r)Adr

Теорема 3.3. Пусть a(z) — радиальная функция, a(Vr)(1 — r)^AG L¹[0,1), TA ограниченный оператор на AA(). Положим

b(r) = a(л/r) -

(1 — r)^A+1

j a⁽Vs^{)(1 —s)}

^λds,

B⁽⁰⁾(r) = b(r),

Bj (r) = /1

r

B^ 1) (s)ds (j = 1, 2,...).

Если существует номер j G N такой, что B^j)(r) = O((1 — r)j) при r ^ 1, то T^ G ^д.

C Рассмотрим

— n(YA(n) — YA(n — 1)) =

n

B(n,A + 1)

^ a(Vr)(1 — r)

^A+1r"^-1dr—

уТ^+уу / ^a(Vr^{)(1 — r)A}r"^dr. B ⁽n, A⁺ 1) Jo

Второе слагаемое ограничено в силу ограниченности оператора T ^λ. Рассмотрим первое слагаемое, которое запишем в виде

B(n,A + 1) 1" a^¹- ^r)

n

^д+1r"^-1dr =      n-----

B(n, A + 1)

^X j0 (^a(Vr) ^—(1 _— r)_A+1 ^ a^(Vs^{)(1 —}s/ds)) ^{(1 — r)A+1}Tn ¹dr

+

B(n,A + 1) / rn^dr

n

j a(Vs)(1 — s) ^ds.

Имеет место соотношение:

n

B(п, A + 1) Уо

b(r)(1 — r)^A+1r^n-1dr ~ (A + 1)YA₊₁(n — 1), n ^ to.

Используя результаты из [12], замечаем, что последовательность YA+‘(n) ограничена.

Далее, интегрируя по частям, будем иметь

n

B(n,A + 1)    '"-‘dr

j a(Vs)(1 — s)^Ads

= B(n, A + 1) j₀ “^{(V7)(1 — r)Vdr} = ^{YA(n —} ■

Последовательность YA(n — 1) также ограничена. Остается применить следствие 3.2. B

Рассмотрим оператор теплица Т^А с символом a(z) постоянным на окружностях в метрике Бергмана e(zi,Z2) = | ln |i-Z1Z2|⁺|Z1-Z2| с центром в точке z = zo G . Ясно, что тогда a_z0(z) = a(a_z0(z)) является радиальной функцией. Как следствие, из теоремы 3.3 получаем следующий результат.

Теорема 3.4. Пусть a(z) функция, постоянная на окружностях в метрике Бергмана с центром в точке z = zo, a(az0(Vr))(1 — r)A G L1 ([0,1)), TA — ограниченный оператор на Ад (). Положим

1          /"1

b^(r) = ^a(azo⁽Vr)) ^-(1 - r)_A+1 J ^a(azo⁽Vs^{))(1 - s)}dss,

Bb"(r) = b(r), Bj(r) = / Bbj^-1)(s)ds (j = 1, 2,...).

r

Если существует номер j E N такой, что B^(j)(r) = O((1 - r)^j) при r ^ 1, то TA E ^A-C Введем на A^() унитарный оператор U^ следующим образом:

²^ 2 ^{+ 1}

(UAf)(z) = Cz^A0(z)f(azo(z)),   CA(z) = ⁽₍₁ Jz^A+2 .

Непосредственные вычисления дают:

^(Uzo T^a- (w)^Uzo ^f)(z) = Czo^(z)[ ^(azo (wW ^(azo^(w))CAo ^(w)K^{A (a}zo ^(z)^,w)d^A ^(w) a

= ^{(X + 1)C}zo^(z)j ^(azo^(w))^{f (a}zo (w^^Czo ^(w)KA(azo ^(z),w)(1- ^|w|2)Ad^^(w).

Производя замену переменной w = az_o (С) и используя свойства преобразования Мебиуса, получаем

(Uzoта^0_о(w)Uzo f )(z) = (A + 1)Czo(z) [(C)f (OCzo (azo(C))K(azo(z),azo(C))

a

X (^ ^- z"¹²')² (1 - |azo(C)|²)^Ad^(C).

|1 - Z"C|⁴

Далее, имеем

K^{А (a}Z0 ^(z),aZ0 ^(С)) =

(1 - Z"Z)^A+2(1

-

zoC)^A+2

(1 -|zo|²)^A+2

K^A(z,n   Czo (azo (C)) = (Czo (C))^-1-

Таким образом,

(UZo Т^ (w)UA f )(z) = (^X + 1) [ (CW)K^A(z,C)(1 - ICI²)^AdO a

• = [ (C)f (C )K ^A(z,№a(£) = ^f )(z).

a

Так как оператор U_z^λ₀унитарный, то для компактности оператора T_a^λнеобходимо и достаточно, чтобы оператор T^_a(w) с радиальным символом a(a_zo(w)) был компактен. B