Преобразование Дарбу для простейшей феноменологической бранной модели

В работе [1], авторы рассмотрели модель описывающую семейство параллельных 3-бран, погруженных в объемлющее пятимерное пространство, заполненное гравитацией и скалярным полем. Действие системы имеет вид:

S = / d%dypg^i[ ₁₆ piG ⑸ R ⁽⁵⁾ - (▽；) - V( 。 ) ) — x/ d ⁴ x q |F| b b ( 。 ) ， (1)

где пятимерные координаты ( xj y), 儿 =0,1,2, 3; b-я брана расположена в точке у = у ь , g ⁽⁵⁾ = | g ab | , где g ab - пятимерная метрика, g )“ - метрика заданная на b-ой бране, натяжение на которой обозначается %, а потенциал V(0) считается функцией от внешнего (bulk) скалярного поля ф = 0(у). Решение полевых уравнений, получающихся варьированием действия ищется в виде ( [1]):

ds ² = dy ² + A(y) (-dt ² + e ^2Ht S _ik dx i dx k) , (2) где A(y) - "масштабный фактор" подлежащий определению, а H=const - эффективный параметр Хаббла на бране. Если H = 0, то брана стационарна, а если H > 0, то имеем брану расширяющуюся в режиме де Ситтера.

Получаемая система уравнений может быть записана в суперсимметричном виде, если ввести суперпотенциал W(ф) определенный соотношением ф = W ‘ (ф)/2, где точка обозначает производную по y, а штрих производную по ф. Если H = 0, то справедлива формула

V(ф) = W ‘ ² /8 - W ² /6. (3)

Используя это соотношение, авторы [1] развили простой способ построения точных решений полевых уравнений (см. также, [2], [3]), суть которого заключается в подборе W(ф) и последующем нахождении несингулярных (как на бране, так и в объемлющем пространстве) решений. Авторы [1] изучили модели с четным, нечетным и показательным потенциалами (четные суперпотенциалы ранее рассматривались в [4], а нечетные впервые введены в [5]). Там же описано обобщение описанной техники на нестационарные браны ( H = 0) и кратко рассмотрено применение этого метода для возможного решения проблемы малости космологической постоянной и проблемы иерархий. Очевидным недостатком описанного метода является его феноменологический характер. В работе [6] описана регулярная процедура построения точных, несингулярных решений для уравнений изученных в цитируемых работах. Основная идея нашего подхода может быть сформулирована следующим образом: суперсимметричная связь между V(ф) и W(ф) типична для формулировки суперсимметричной квантовой механики (ССКМ). В свою очередь, ССКМ может быть реализована с помощью преобразований Дарбу (ПД) для уравнения Шредингера [7], [8], [9], [10], использование которых позволяет строить интегрируемые, несингулярные потенциалы, если опорные функции, входящие в крамовские определители, имеют перемежающиеся нули [7], [11]. Поэтому, совершенно естественной выглядит попытка написать непосредственно ПД для полевых уравнений и использовать их для генерации точных решений. Наличие простых алгебраических связей между скалярной кривизной и суперпотенциалом показывает, что правильное применение ПД для построения несингулярных потенциалов в ССКМ, позволит развить и систематическую процедуру для построения несингулярных решений (R = а ) в теории бран, которая, тем самым, будет носить регулярный характер в отличие от "феноменологического подхода" изложенного в [1]. В частности, для построения бесконечного семейства точных несингулярных решений методом ПД требуется знание лишь одного точного решения такого вида, которое служит "затравкой" для построения всего семейства. Другой способ использования ПД - построение цепочек дискретных симметрий и изучение их замыканий. Применение такой техники позволяет строить новые точные решения, которые выражаются через трансценденты Пенлеве и их высшие обобщения.

Эти замечательные свойства, а также обобщение на динамическую брану были описаны в [6], однако при изложении оказалась пропущена простая феноменологическая модель описанная в [15]. Несмотря на ее простоту, оказалось, что эта модель допускает ПД и возможность построения богатых наборов точных решений. Целью этой работы является описание дискретных симметрий и вывод обобщенных формул Крама для данной модели.

• 1.    Феноменологическая модель

Рассмотрим действие для вещественного скалярного поля ϕ при наличии браны:

S ф = / d ⁴ xdy ^ g (2 g AB д А фд в ° - 2 V(y)°²}                     (4)

где x A = (x ^M , y) - координаты в пятимерном пространстве-времени. Предполагается наличие симметрии орбифолда, а влияние браны учитывается в потенциале V(у), для которого часто используется асимптотическое приближение V(у т а ) т с ² > 0, где c - некоторая вещественная константа. При отсутствии гравитации, варьирование (4) приводит к уравнению движения

-д 評 ф + d y ° - V(у)° = 0,                            (5)

т.е. спектр 4-масс определяется соотношением:

т ² ф = Р * Р н Ф = (— д ； ф + V (у)) ф.                            (6)

• (6)    является одномерным стационарным уравнением Шредингера с собственными значениями m ² . Очевидно, дискретный, неотрицательный спектр будет определять набор частиц на бране.

Уравнение (6) допускает известную изоспектральную симметрию - преобразование Дарбу (ПД) [12], [13]. Если опорная функция ПД не обращается в нуль в области определения потенциала V(у), то последовательность этих преобразований (допускающая компактное представление с помощью определителей Крама) меняет (уменьшает или увеличивает) дискретный спектр на конечное число уровней или не меняет вообще. Какая из трех указанных ситуаций реализуется, определяется асимптотическим поведением опорной функции [14] (см. также [16]). Таким образом, уже в этой простейшей задаче, можно находить явный вид потенциала V(у), который будет приводить к заданному спектру масс. Нас будет интересовать возможность использования формализма ПД при учете гравитации. В этом случае действие примет вид

S g

₁6n/ ^{d 4 x}pW ・         ⑺

В последнем слагаемом интегрирование проводится по бране с индуцированной метрикой g ^V , а Л - пятимерная космологическая постоянная.

Известно ( [15]), что при наличии тонкой подстройки

^Л = - WG ⑸ ° ² ,                               ⁽⁸⁾

существуют 4-плоские решение, в противном случае геометрия на бране будет (анти) де Ситтеров-ской. Если (8) выполнено, то можно найти решение, отвечающее нефакторизуемой метрике ds2 = а2(у)пн“ dxdxV — dy2,

⑼

где n ^v - обычная матрица Минковского, а(у) - масштабный фактор:

а(у) = e-k|y|,   k = FG ⑸ о, причем последнее соотношение непосредственно выводится из условия сшивки Израэля.

Нефакторизуемая метрика (9) соответствует двум частям пространства де Ситтера с радиусом 1/k, склеенным вдоль вдоль плоской браны, расположенной при у = 0. На фоне метрики (9) аналог уравнения (6) имеет вид

• - D (a ⁴ D^ m) + a ⁴ V(у)Ф т = m ² a ² 田 m ,                       (10)

где произведено переобозначение ф т W, индекс у W введен для удобства (см. ниже), а Df = df/dy = f. Если нас интересует дискретный спектр, то вещественные решения уравнения (10) должны удовлетворять условию нормировки и ортогональности:

/ d^ya2 ^(y)W m ^(y)W n ^(у) = 5 mn .                                ⁽¹¹⁾

На этом этапе задача сводится к поиску аналога ПД для уравнения (10).

Определим опорную функцию искомого преобразования, как решение (10) отвечающее собственному значению n ² ( W n ) , а преобразуемое решение будем считать отвечающим собственному значению m ² . Для того чтобы не загромождать нижеприведенные формулы, условимся использовать следующие обозначения: W m = W, W n = W i . Отметим, что вронскиан W = W(W, W 1 ) = W 1 W — W i W удовлетворяет дифференциальному уравнению:

• •      4a      m2 — n2/

W =--W-----WW1.(12)

aa

В частности при m = n, W = const/a ⁴ , тогда как при отсутствии гравитации и совпадении собственных значений, вронскиан был бы равен произвольной постоянной.

Искомое ПД для уравнения (10) определяется формулами

W т W[1] = a(W — тW) = aW W, W1),

V т V [1] = V — 2т — 2Ta + 3a,

a a т a[1] = a, где т = D lnW 1. В справедливости приведенных соотношений можно убедиться прямой подстановкой соответствующих выражений из формул (13)-(15) в уравнение

• —D (a4DW[1]) + a4V[1]W[1] = m2a2W[1].

Для получения итерационных формул, обобщающих формулы Крама для уравнения Шредингера удобно записать (10) в виде

W = —4ӨW + uW, где Ө = DIn a, u = V — m2/a2. N -кратно преобразованное решение W[N] запишется в виде полинома по степеням производной от изначальной функции W:

N

W[N] = gW(N)+ £ fkW(N-k), k=1

где £ = aN, W(k)= DkW. Таким образом имеется N+1 неизвестных величин ( f1, /2,…，.fN, V[N]), которые можно определить выписав N +1 уравнений связывающих их друг с другом. Эти уравнения получаются следующим образом: вначале подставляем (18) в преобразованное уравнение (17), т.е. в

W[N ] = — 4ӨW[N ] + u[N]W[N ],

где u[N] = V[N] - m2/a2, а величина Ө не меняется в соответствии с (15). На следующем этапе, используя (17) следует понизить порядок у производных W(k)вплоть до величины N, используя соотношения:

W(N +1) = -4ӨФ(N)+ …，W(N+2) = (16Ө2 - 4N0 + u)^(N)…， где многоточием обозначены члены содержащие W(k)с k < N .В результате (19) принимает вид:

N

X Ck 田(k) = 0.

k=0

Считая производные W независимыми переменными, находим решение (20):

C0 = C1 = C2 = ... = CN = 0.

Величина V[N] извлекается из уравнения C n = 0. После вычисления, находим

V^[N] = V + a^{- N} (² f i + 力 )+ О ^

(N - 1)a2 - 3ad .

Величины f k определяются из системы линейных уравнений

N

MN) + Xfk 田 iN—k)， k=1

где Wi с i = 1...N - решения (10) отвечающие своим значениям спектрального параметра. Отсюда fl = -а-N 学1, f2 = aN ¥2,

△n        An где An,i, An,2, An - обычные определители Крама. Формулы (22), (24) полностью решают задачу, вынесенную в заголовок этого параграфа.

Заключение

Таким образом, модель описанная в [15] обладает достаточно нетривиальной структурой для того, чтобы допускать ПД. Разумеется, в общем случае, когда мы не можем явно восстановить форму потенциала V(0) как функцию от ф, однако решения будут иметь заданную асимптотику. Как отмечалось в нашей работе [6], ПД позволяют построить большинство если не все точно решаемые потенциалы. Физический смысл большинства таких потенциалов в теории бран не ясен, однако нашей целью было продемонстрировать эффективность ПД для построения точных решений уравнений пятимерной гравитации с ”bulk”-скалярным полем.

Подводя итог, мы хотим выразить уверенность, что в случае с D = 5 ПД является наиболее эффективным и регулярным способом построения несингулярных решений в теории бран.