Приближенное решение дифференциальных уравнений с отражением аргумента

При исследовании дифференциальных уравнений с отражением аргумента встает вопрос о том существует ли их решение и как его построить. Такого рода задачи часто встречаются при описании процессов в экологии, в теории популяции и многих других задачах.

Исследованию    дифференциальных уравнений с отражением аргумента, особенно построению его приближенного решения, посвящено сравнительно мало работ. Некоторые статьи [1-3] посвящены вопросам существования, единственности и ограниченности решений дифференциальных уравнений с отражением аргумента. В работе [4] изучается система нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка.

В медицинской биологии возникают уравнения, являющиеся частным случаем уравнения с запаздыванием, вида x'(t) = f (t, x (t), x (-1))         (1)

при условии x(0) = x0, где t е (-да,+да), а f (t, x (t), x (-t))  определена и непрерывна вместе с частными производными при

- да <  x < +да . Существование и единственность решения рассматриваемой задачи доказаны в работах [1, 3].

Приближенное решение будем строить методом осциллирующих функций с шагом h . Отрезок [ - L , L ] разбиваем на N четных

„       ,  2 L    _ частей с шагом h =   , а приближенное ре-

шение на каждом частичном промежутке строим в виде

x ⁽ t ) = a ⁽ t ^{- ih} ) ⁺ b ,       ⁽²⁾

где i =

NN

2 ,   2+1’"'’

N

- 1. Коэффициент b₀

находим из начального условия, коэффициенты b - из условия непрерывности решения в

точках t = t :

x , — 1 ( ih ) = x i ( ih ), x , (( i + 1) h ) = x i _{+ 1} (( i + 1) h ), (3)

где i =

NN

,        + ¹,'”’

N

- 1.

Подставив (2) в (3), получаем a, j (ih - (i -1)h) + b 2 = at (ih - ih) + b,

bi = ai-1(h -(i-1)h) + bi-!, bi = a, -ih + bi -1, b-1 = a,-2 ((i -1) h - (i - 2) h) + b-2, bi-1 = a,-2 h + bi-2, b-2 = a,- 3 ((i - 2) h - (i - 3) h) + b- 3, bi-2 = ai-3h + b,-3,

• • •• ••• •••

• b = a_oh + b .

Для нахождения коэффициентов a

которое удовлетворяет дифференциальному уравнению x'(t) = f(t. x,(t). x,(-t)) + V, (t)

и начальному условию: x_t (0) = x ₀. Невязка ^ , ⁽ t ) = a , ^{- f (} t . a , ⁽ t ^{- ih} ) ^{+ b}, . ^a - , - 1 ⁽ t ^{+ (} i ⁺ 1) ^h ) ^{+ + b} - , - 1 )

при t , <  t <  t , ₊₁ , где

NN

, =-- ,-- + 1

,...

N ,0,1,2,..., у -1

воспользуемся условиями осциллируемости невязки:

^ i ⁽ t ) = x ⁽ t ) ^- f ⁽ t , x i ⁽ t ), x i ⁽ t )),

(i+1) h j ^-( t) dt = 0, ih

где i =

N

—

N

, + 1 22

,...,

0,1,2,..

N

•,

—

Для определения коэффициентов а и

a^ имеем формулы ai = (f (J,, а, , A - i) + f (J,, а, + 0 ai (J, - ih), dx - i-1

A - i + 0 a -^1 ( J , + ( i + 1) h )) a - i - 1 ( J + ( i + 1) h ))/ ( 1 -

-f(Ji,A, +0a,(J, -ih),A-(. +0a^(J, + dxi

+ ( i + 1) h ))( £ - ih ));

a - m = (. f ( J - m. A i , A - i ) + f ( J - i . A - i + d x

+ 0 a — i — 1 ( J — i — 1 + ( i + 1) h ), a , +0 _ai ( J — i — 1 - ih )) • ■ a , ( J - , - 1 - ih ) )/( 1 -

- ^f ( J - , - 1 , A - , +0 a - , - 1 ( J - , - 1 + ( i + 1) h ).

^d x - i - 1

A , +0 a i ( J - i - 1 - ih ))( J - i - 1 + ( i + 1) h )).

Здесь Ai = b₀ + ( a _x + ... + a ₀) h ,

A_l = b0 - (a_x +... + a ._x)h, t < Ji < ti+1. t -, -1 < J ,-1 < t-1, 0 <0<1 причем

Найденные значения a_;и b, подставим в (2). Получим приближенное решение x, (t),

есть функция кусочно-непрерывная, осциллирующая, имеющая на данном промежутке непрерывную производную.

Для простоты изложения рассмотрим предложенный метод нахождения приближенного решения в случае линейных уравнений вида x'(t) = P(t) x(t) + g(t) x(t) + r(t)    (4)

на отрезке [-L, L] с условием x(0) = x₀. В этом уравнении функции p(t), g(t) и r(t) непрерывны на [-L, L ].

Отрезок [-L, L] разобьем на N частей с шагом h, а приближенное решение на каждом частичном промежутке будем строить в виде (2)

x, (t) = a, (t - ih) + b ,

NN где , =--,--+1.

2   2

-,...,

N у -1. Коэффициент b0

находим из начального условия, для определения коэффициентов b получаем формулы

^b, = a, -1^{h + b}i-1 = a, -1^{h +}a,-2 ^{h + b}i-2 = = h(a,_x + a,₂ + a_{; 3} +... + a₀) + b₀,

i = 1,

I ...

N

, у -1, если 0 < t< L ;

^bi = ^bi+2

—

ai+1^{h -}ah = ^bi+2

= b₀ -h(a_j +...+ a_t),

NN

, =--,--+1

2   2

,...,

...

^{- (a},+1 ^{+ a},)^h =

-1, если

-L< t< 0.

...

Используя условие невязки

осциллируемости

^i⁽t) = x,'⁽t) ^-P⁽t)x,⁽t) ^-g⁽t)x, (^-t) ^-r⁽t). ⁽⁵⁾

(i+1)h j ^,( t) dt = 0, ih

NN где i = -у ,y +1

.,...,

N

,0,1,2,..., у -1, получим

систему двух уравнений для нахождения a _t и

a_i__x на каждом из двух промежутков.

Если 0 < t < L, то условие осцилли-руемости примет вид (i+1) h f (ai - Р(‘)(ai (‘ - ih) + b0 + h(ai-1 + ••• + a0)) -ih

- g⁽t⁾⁽a - i-1 ⁽t^{+ (}i⁺1) ^h) ⁺b 0 - ^{h (}a-1 ⁺••• ⁺a - i-1 )) -

- r (t)) dt = 0, i = 1,2,,,,, N -1

В случае - L< t< 0 получим

(i+1) h

f(a - Р(t)(ai(t- ih) + b0 - h(a-1 + ••• + a )) - ih

- g⁽t⁾⁽a - i-1 ⁽t^{+ (}i⁺1) h) ⁺b 0 ^{+ h(}a - i-2 ⁺••• ⁺a 0» -

- r (t)) dt = 0, i = — ,-y +1,...,-1.

Мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными для нахождения коэффициентов a_t, a_, •

Итак, будет построено приближенное решение данной задачи методом осциллирующих функций на промежутке [- L, L ] •

Покажем, как можно оценить погрешность в данном случае. Определим погрешность построенного приближенного решения xi (t), удовлетворяющего условию (5) и на чальному условию xt (0) = x0 •

Обозначив u(t) = x(t) - xN (t), получим, что u (t) удовлетворяет уравнению u'(t) = p(t)u(t) + g(t)u(-t) - ^(t)     (6)

и начальному условию u (0) = 0 •

Погрешность будем оценивать на каждом промежутке.

Введем следующее обозначение: ui (t) = x (t) - xi (t), где i =

NNN

--,---+ 1,•••,1 •

2   22

Проинтегрировав (6) на участке 10 < t < 11, 10 = 0, получим tt u0 (t) - u0 (0) = f p(t)u0 (t)dt + f g(t)u0 (-1)dt -

0                        0

t

-f Mt) dt, так как u (0) = 0, будем иметь ttt u° (t) = f Р(t)u° (t)dt + f g(t)u° (-1)dt - f k (t)dt'

0                        00

Оценим |u0 (t )|, получим max |u„ (t )| < max |u„ (t )| maxi p (t )| h +

0< t < t) 1    0       1       0< t < t) 1   0       1 0< t < t) 1           1

+ max lu . (t)lmaxlg(t)|h + max la. (t)|h• t -) < t <0'    1      1 0< t < tJ        1        0< t < tJ   0     1

Предположим, что max|p(t)|h < 1, это можно сделать, выбрав разбивку или шаг h. Тогда получим оценку |u0 (t )| maxiun (t)| <

0<t< t! ^{1              1}

max^u-1⁽t) maxg⁽t)^h+max ^k(t) h

1 - maxip(t)|h

0< t< t, ^{1            1}

• (7)

Теперь проинтегрируем (6) на участке tj < t < t2:

tt u1 (t) - u1 (tx) = f p(t)u1 (t)dt + f g(t)u1 (-1)dt - t 1                                                                  t 1

t

- f ^j (t) dt, ‘ 1

tt u1 (t) = щ (^) + f p(t)щ (t)dt + f g(t)u (-1)dt - t 1

t

- f ^! (t) dt, t 1

так как щ (tY) = u0 (tj) • Предположим, что maxip(t)|h < 1, это можно сделать, выбрав t !< t < 12            1

разбивку или шаг h . В результате получим maxlu. (t)| <

‘ 1 <‘< ‘ 2¹

max |u_, (t)| max |g(t)|h + max k. (t)|h + max |un (t, )| t_ 2< ‘ < ‘.J              1 t! < ‘ < ‘j1          1 ‘{ < ‘ < ‘j1            1 ‘{ < ‘ < ‘j1              1

1 - maxip(t)|h

‘ 1 <‘< ‘ 2¹

Использовав метод полной математической индукции, получим оценки для |u_; (t)| в случае, если i > 0 и i< 0,

Имеем max   (t )| < t^ t < ti+,1

max \u__t4(t)| max Ig(t)|h + max k (t)|h + max |«._j(t_t)|

_<t-,-1 < t< tJ                t< tj       ¹      ti< t< tj        ¹      ti< t< tj           ¹

1 - max Ip(t)l h ti^t < ti+i при i > 0, max Ip(t)|h < 1 • t 1V

Аналогичным образом получаем формулы при i< 0:

max lui(t)| <

‘is ‘< ti+1'

max lu-i₄(t)| max Ig(t)|h + max к(t)|h + max lui₊₁(ti)| < ‘-i£‘S‘-i+1                     i<‘<‘i+1           '         ‘i<‘<‘i+1             '         ‘i<‘<‘i+1'

Шаг подбирается так, чтобы выполнялось условие h <-----i----г.

max p(t)

t^t ^ t,+1¹

В качестве примера рассмотрим урав- x (t)    x (-1)     _(2

нение xa t) =    + -?—— + e - с начальным t + 5 t2 + 4

условием x(0) = 0, t e [—0,5;0,5], с h = 0,1.

Согласно методу осциллирующих функций решение на каждом промежутке разбиения ищем в виде xi (t) = ai (t — hi) + bi, где i = —5,—4,...0,1,2,3,4.

С помощью рассмотренной выше теории пример был реализован в пакете Mathe-matica, на рисунке изображен график полученного решения, максимальная абсолютная погрешность 0,029.

График построенного решения