Приближенное решение нелинейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода

экспонента позволяет оценить значения следующим образом:

a

E1 (0+)    . -_x ( V a e R ⁺ );

j E1 (t) dt < + № .

Рассмотрим численное решение нелинейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода, имеющего слабо сингулярное ядро. Это уравнение является обобщением линейного случая, подробно описанного в [2–7, 8, 9, 10, 11]. Так, в [12–15] рассматривается f (x) = j s (|x - y|) R [f] (y) dy + g (x) 0

( V x E [0,1]),

где R[ ^ ] — нелинейная Фреше функция, дифференцируемая на открытом множестве Q в L ¹ ([0,1] , C) , g E L ¹ ([0,1] , C) и s является слабо сингулярной функцией, т. е. s (0 ⁺ ) = + то .

Класс интегральных уравнений представляет большой математический интерес благодаря различным приложениям в физике, технике и биологии [16]. Потому что она эквивалентна задаче нелинейных дифференциальных уравнений с краевыми условиями (см. [17, 18]). Это связано с возможностью применения теории неподвижной точки и метода Ньютона — Канторовича для нахождения локально единственного решения, т. е. такое решение существует и единственно в шаре с центром в заданной точке пространства, но мы не можем гарантировать отсутствие другого решения вне этого шара (см. [19]).

Отдельное направление в данной области посвящено изучению существования и единственности решений тех уравнений, которые вообще приводят к локальному существованию [14, 20, 21]. С другой стороны, работа, представленная в этой статье, относится к численному анализу, предназначенному для аппроксимации решения, которое предполагается существующим и единственным в открытом множестве из L ¹ ([0,1] , C). Это направление представляет большой математический интерес благодаря разработке новых и более эффективных методов: А. Альтюрк (A. Alturk) [22] использует теорему о промежуточном значении для преобразования интегрального уравнения в нелинейную систему уравнений, а затем — метод линеаризации для получения его решения. Д. А. Хаммад и др. (Hammad et al.) [23] используют кубические сплайны для дискретизации этого уравнения, в отличие от К. Малекнежад и др. (K. Maleknejad et al.) [24], которые использовали вейвлеты для получения другой формы нелинейной системы. В [21] этот подход описан как дискретизация/линеаризация, что не так эффективно, как линеари-зация/дискретизация. Предлагаемый в данной работе метод является методом линеа-ризации/дискретизации, поскольку начинается с построения последовательности типа Ньютона, которая представляет собой линеаризацию рассматриваемой задачи. Эту последовательность невозможно вычислить численно, поэтому предлагается использовать метод свертки и рядов Фурье, описанные в [9]. Метод дискретизации был разработан для линейных интегральных уравнений Фредгольма, он позволяет переходить от одной итерации к другой для вычисления членов рассматриваемой последовательности Ньютона. Это означает, что данная работа позволяет адаптировать метод свертки и рядов Фурье для обработки нелинейных интегральных уравнений методом Ньютона — Канторовича. Другими словами, данная работа позволяет адаптировать метод Ньютона — Канторовича к трактовке слабосингулярных ядер методом свертки и рядов Фурье.

Очевидно, что сложность численного решения заключается в двух моментах. С одной стороны — это нелинейность. В этом случае применимы методы приближения Ньютона — Канторовича [19] в отличие от сингулярности, которую сложно преодолеть из-за пространства L1 ([0,1] , C), в котором необходимо найти решение.

Математические исследования очень заинтересованы в численной обработке этого слабо сингулярного класса ядра [2, 3, 5–7, 9–11, 25–27]. Но авторы остановили свой выбор на методе регуляризации сверткой с последующим разложением в ряд Фурье [5–7, 27], потому что он предлагает наилучшее приближение линейного оператора, полученного из производной Фреше в последовательности Ньютона — Канторовича.

С другой стороны, нелинейный член нашей последовательности Ньютона — Канторовича будет приближаться более классическим и достаточно эффективным способом — как “hat function pro jection” [4, 10, 28].

Применение этих трех методов приводит к построению последовательности Ньютона — Канторовича конечного ранга, которая легко программируется и обрабатывается машиной. Покажем, что эта последовательность (укажите, как сходится последовательность — абсолютно, условно, равномерно, неравномерно) сходится и дает хорошее приближение решения.

• 2.    Постановка задачи

Пусть X = L ¹ ([0,1] , C) — банахово пространство функций с интегрируемым модулем на [0,1] . Пространство X имеет следующую норму:

H v H x = J I V ^{(x)| dx (V} V ^€ X )-

На этом пространстве определим пространство ограниченных эндоморфизмов на X, обозначим его через BL (X) , которое имеет норму

Н А Н = sup {Н Ау Н х : Н у Н х = 1 } ( V А € BL (X)).

Рассмотрим задачу (1), где g € X и s является слабо сингулярной частью (см. [5-7, 9]) такой, что

	' (1) s € L 1 ([0,1] , R);
	(2) s убывает и положительна;
(Ai)       <	(3) lim s (x) = + ^ ; x → 0 + ε
	(4)   ( 3 C> 0) ( 3 y > 0) ( V e > 0) / s (y) dy <  Ce ^

Эти ограничения слабее, чем требуется в [2, 10] и R-регулярной части, такие, что существует открытое множество Q = 0 в X такое, что R — нелинейная Фреше функция на Q [9], т. е.

R ‘ [y]x € X ( V у € Q, V x € X ), и предположим что функция R ^′ является l-липшицевой, т. е.

⁽³l > ^{0) (V}у,' ^{€ Q) || R [} v ^] - ^R ‘ Mil ^ l W v - 'II-

Это уравнение является нелинейным случаем уравнения, изученного Х. Геббай (Guebbai et al.) [6, 9].

Построим приближенное решение уравнение (1). Собственно построение разобьем на два этапа.

Сначала построим последовательность типа Ньютона — Канторовича, для которой определим необходимое условие ее сходимости. Затем воспользуемся методом свертки и разложения в ряд Фурье, чтобы получить возможность запрограммировать полученную последовательность.

Для удобства понимания сформулируем задачу следующим образом:

Найти f Е X, S (f ) = 0 x , где

S ^{( f} )^(x) = ^{f (} x) - 1s ^(| x - y I ) R ^{[f] (}y) dy - g ^{(x) (v}x ^Е [° ^1]).

Предложение 1. S является производной Фреше, причем

S ’ ⁽у) ^ф(x)

= ф (x) - J

s ( | x

^- y | ) R ‘ И ^{ф (}y) dy

( V у Е X, V ф Е X ).

Кроме этого, функция S ‘ является L-липшицевым на Q.

<1 Для любых у Е Q и ф Е X

R [у + ф] - R [ф] = R [у] ф + о(ф).

Тогда для любого x Е [0,1] получим

S (у + ф)

^- S ⁽ у) = ^{ф (x)}

У S ( | x - y | ) (R [у + ф] (y) - R [у] (y) )dy 0

= ф (x) -

s ( | x

— y V ) ^{R [}у^{] ф (}y) dy ^{+ о(ф)}.

Т. е. S является производной Фреше на Q. Тогда при любых у Е Q, ф Е X и x Е [0,1] получим, что

S ’ ⁽у) ^{ф (x)} =

1 ф (x) — У 0

s ( | x

— y | ) R ^[у^{] ф (}y) dy.

Чтобы доказать, что S ‘ является L-липшицевым на Q, достаточно взять L = maxo^y^i f ¹ s( | x - y | )dx. >

Таким образом, данное уравнение рассматривается при следующих условиях:

Предполагается, что существует Q открытое множество из X, в котором уравнение (1) имеет единственное решение f ^∞ ∈ X, т. е.

S (f '       "x .

Это единственное решение предполагается проверить

(A2) : ^ S ‘ (f '      ^ = d> ".

• 3.    Последовательность Ньютона — Канторовича

Сформулируем и докажем достаточное условие для следующей известной последовательности Ньютона — Канторовича [19]:

f 0 € Q, fk+1

= f k —

[ s ' (f k )] 1 S(f k ).

Теорема 1. Для любой f0 € Q такой, что I f 0 — f “ | X C (2Ld) ¹ , существует C1 > 0 такое, что для любого к ^ 0

I f ^k+1 — f ' X c c I f ^k — f ' X.

<1 Пусть функция f € Q такая, что If — f “|x C (Ld) 1. Тогда s ' (f) = s ' (f “) + s ' (f) — s ' (f “) = s ' (f “) {i — [s ‘ (f “)]-1 (s ‘ (f “) — s ' (f))} , но [S‘ (f '     (S' (f“) — S' (f)) C dL^f“ — f |x C 1.

Тогда по теореме Неймана получим существование [S ‘ (f )] , причем || S ‘ (f )    || C 2d.

Пусть к ^ 0. Предположим, что | f ^k — f “ | x C (2dL) ^-1 . Тогда

I f ^k+1 — f “ | _X = f ^k — f “ — [ s ' (f ^k )] 1 { s (f ^k ) — S (f “ )}

C

fk — f “ — [ s ‘ (f ^k )] ¹ S ' (J “ ){/ ^k — f “ }

+ O (У/ ^k — f “ H X),

[ s ' (f ^k )] - 1 S ' (f “ ) = I + [ s ' (f ^k )] ^-1 x [ s ' (f “ ) — S ' (f ^k )] .

Получим

Il f ^{k +1}

— f “ H x

C

— [ s ' (f ^k )] ¹ [ s ' (f “ ) — S ' (f ^k )] (f ^k — f “ )

+ O (Ifk — f “ I X)

X

C 2dL l f ^k — f “ I X + O ( I f ^k — f “ I ) ² . ▻

Следствие 1. Если ||f ⁰ — f “ | x < min (C1 1, (2dL) ¹ ), то для любого к ^ 0

2k

I f ^k — f “ H x C c - ¹ (C1 | / ⁰ — f “ H x)k^₊ “ ^ °-

< Доказательство очевидно. >

• 4.    Последовательность Ньютона — Канторовича конечного ряда

• 4.1.    Построения SN( • ) . Пусть m ^ 2 и р : R ^ R — регуляризирующая функция, имеет вид:

Рассмотрим последовательность типа Ньютона — Канторовича, для которой существует приближенное численное решение в отличие от последовательности, описанной в предыдущем разделе, которая остается теоретическим инструментом, неприменимым на практике.

Чтобы определить новую последовательность, нужно построить два приближения. В первую очередь используем метод регуляризации свертки и ряды Фурье для построения оператора конечного ранга SN( • ), N ^ 1, который в норме сходится к S ‘ ( • ).

Во-вторых, основываясь на предположении регулярности для R[ ^ ], построим S m ( • ), M ^ 1, одно приближение для S ( • ) методом ««интеграции продукта».

• (1)    р(х) = 0 ( V х Е ] -№ , 1[ U ]1, + то [);

• (2)    р ( — х) = р (х) ( V х Е R);

• ⁽³⁾    / - 1 Р ( у ) dy = 1;

• (4)    р (х) > 0 ( V х Е R);

• (5)    р Е C ^m (R, R).

Расширим функцию s на R для любого х Е [1, 2], s(x) = s(2 — х) для любого х Е R, s(x + 2k) = s(x) для любого к Е Z, т. е. s стала четной и 2-периодической функцией на R.

Для N ^ 2 и f Е fi определим следующий интегральный оператор:

1 _N                1

SN ^(f М^х) = У^(х)

—

2 ao j p(y) dy — ^ aj cos(jпx) j cos(jny)R ‘ [f ]у (y) dy

—

N 52 aj ^sin j =1

⁽ Т^{пх )} j o

si ^{n( jn}y ^{) R} ‘ ^{[ f} My) dy

( V у Е X, V х Е [0,1]),

где для любого 0 С j С N aj =

/7 ■■ (

- 1 - 1

m х — N- m+Y y

^ cos(jпx) dy dx.

Подробнее см. [5–7, 9].

Теорема 2. Для любого сколь угодно большого N и любой f Е fi

| S ‘ (f) — SN (f) | С ^ R ‘ [f ] | f2 ^{3- Y} C sup р(х) \       -1

^{+ 2к}т 11 ^{р ( т )} II l 1 ([ - 1,1],R) II ^s H l ¹ ([0,1],R) (³ + ^{ln N} /) ^{N Y} m ^+Y ,

■ « (-1)jm+j где Km = n 2^j=o (2j+i)m+i является постоянной Фаваре.

< Для e = N- mT» определим оператор где

Se (f )У(х)

У^{(х) —} j

8е ^{( х —} y^)R ‘ ^[f]^⁽y) dy

( V у Е X, V х Е [0,1]),

5 _е (х)

= j р ⁽ у)8 (|

m

i

x

—

N m+Y y

I) dy

( V х Е [0,1]).

Очевидно, что

| s ‘ (f) - SN(f ) || 5 || s ‘ (f ) - Sf) || + || S(f) - SNf) | , I ^s ‘ (f ) - s (f ) i 52 | R ‘ [f] || s - s < | l _{1 (}[₀,_1|,r₎ , ^{| S}e ^{( f} ) ^{- S}N ^(f ^l ⁵ 2 ^{| R [f] 1} || se ^{- S}N ^|| L 1 ([O,1|,R)-

Аналогично доказательству теоремы 2 из [9] получим

II^{s -} se ^ L ! ([0,1|, R ) ^{5 2}2 — ^Y C SUP P^(x)N - m^ -

— 15x51

Аналогично доказательству теоремы 3 из [9] получим

Ilse ^{- S}N ||l 1 ([0,1|,R) ^{5 K}m ^{|| p (} m) ¹¹ L i ([ — 1,1^ ||s H l ¹ ([o,1|,R) (3 + Ь N )N ^{Y m} + ^Y . >

Предыдущая теорема позволяет построить приближение SN (f k ), сходящееся по норме к S ‘ (f k ), которое удобно использовать для доказательства сходимости предлагаемого метода. Кроме этого, SN (fk ) имеет конечный ряд, эквивалентный матрице, поэтому программируется на практике.

• 4.2.    Построения S m ( • ) . Построим программируемую численную аппроксимацию части S m ( • ). Идея построения основана на методе «интеграции продукта». Для этого нужно добавить следующие предположения:

• (1)    ( V f е Q n C ⁰ ([0,1], С)) R[f] е C ⁰ ([0,1], С),

• (2)    R[f - ] е C ⁰ ([0,1],С).

Теперь построим приближение функции S(f), f е C ⁰ ([0,1], С). Для этого определим подмножество

M > 1, h = M, yp = ph, 0 5 p 5 M-

Применяя метод «интеграция продукта», получим, что при всех x е [0, 1]

S m (f )(x) =

^{f (x) -} I ^s(| x

- y |)nMR[f ](y) dy - g(x),

где Ур 5 У 5 Ур+i и пм R[f](y) = (y-hyp R[f](yp+i)) + (yp+h-y R[f]) -

Тогда при всех x е [0, 1] получим

M —i sm(f)(x) = f(x) - ^ {R[f](yp+i)ap(x) + R[f](yp)ep+i(x)} - g(x) p=0

такой, что при любом x е [0,1] и 0 5 p 5 M - 1

ар (x) =

y p+1

h j s(| x - У |)(У - Ур) dy, yp

^e p+1 ^(x)

y p+1

= h/s(| x - y |)(yp+i- y) dy.

y p

Для M ^ 1 определим

A m = max^R[f “ ](x) - R[f ^x ](x)| : | x - x | < MM }.

Зная, что R[f “ ] G C ⁰ ([0,1], C), тогда очевидно limM ,“ A m = 0.

Теорема 3. Пусть M > 1 и при любой f G X П C ⁰ ([0,1], C) такая, что Il f - f “ И х 5 Am . Тогда

| S(f) — S m (f) H x 5 « S « L 1 ([0,1],R)(l « f - f “ II X" +2(1 + lI Rf “ ] » ) A m ).

• <1    Имеем

^ S(f ) - S m (f) И х = j |S(f)(x) - S m (f)(x)|dx

1     1

= // s(

x -

y I )(^R[f](y) ^{- n}MRf ^](y)) dxdy

max 05y51

j ^{s(|x -} y V ) dx j ^{| R[f](}y)

- ПМ R[f ](y) ^| dy.

Далее,

|| R[f] - пм R[f] H x 5 ||R[/] - R[f “ ] H x + Wf“ ] - пм R[f “ ] H x

+ | пмR[f] - пм R[f “ ] | х 5 2 | R[f] - R[f “ ] | х + | R[f “ ] - пм R[f “ ] | x. Кроме того,

H R[f ]

-

R[f “ ] | х = I R ' [Af + (1 - Л)/ “ ](f - f “ )dA

X

I (R ' [Af + (1 - A)f “ ] - R ‘ [f “ ])(f - f “ )dX 0

+ ^R'[f “ ](f - f “ ) И х

X

5 2 Il f - f “ H X- + | R ‘ [f “ HH f - f “ H x.

Используя леммы из [5, 10], получим || R[f “ ] - пм R[f “ ] | х 5 A m , и так как

max 05у51

/ s( |

x ^- У | ) ^{dx 5 2} H ^s H l ! ([0,1],R),

получим результат. >

• 4.3.    Программируемая последовательность. Для приближения к f ^∞ рассмотрим последовательность

fNN,м выбран из X, fN+Ml = fiN,M - [SN(fiN,M)] [SM(fiN,M)] , h ^ 0.

Отметим, что { fN^M } k>0 прекрасно программируется и доступна на практике.

Лемма 1. Пусть задана f G C0([0,1], C) такая, что ||f — f “|х С (4dl) 1, и достаточно большое N , что можно найти sup {||S‘(f) — SN(f)||; ||f — f“^х С (4dl)-1}.

Тогда [S'N(f )] ^-1 существует, причем || SN (f ) ^-1 | С 2d.

<

SN (f) = [ s ‘ (f “ )] [i — [S ‘ (f “ )] ^{- 1} ( s ‘ (f “ ) — SN (f ))]-

Отсюда получим

|| [ s ‘ (f “ )] ^{- 1} ( s ‘ (f “ ) — SN(f))|| c || [ s ‘ (f “ )] ^-1 (S ‘ (f “ ) — s ‘ (f)) ' ||

+ || [ s ‘ (f “ )] ^-1 (S ‘ (f) — S n (f))|| c di ^ f “ — f ^ X + d ^ s ‘ (f) — S n (f)|| c 1 + 4 = 2.

Покажем, что приближение к f “ G L ¹ C C ⁰ ([0,1], C) строится с помощью непрерывной функции fNM . ▻

Лемма 2. Пусть заданы N, M G N . Если fNM G C ⁰ ([0,1], C), то { fNM } _N > ₀ C C ⁰ ([0,1], C).

• < 1 Воспользуемся методом математической индукции.

Предположим, что fNM G C ⁰ ([0,1], C), тогда S m (fN, _M ) G C ⁰ ([0,1], C), так как

Ь } M=0 C C ⁰ ([0,1], C).

Но

{ ^cos(jnfsinj^)}^ J [I] ^C C ⁰ (^[0,1],C).

Тогда получим

[ ^s N ^(fN,M)] SM^(fN,M) ^{G C 0} (^[0, ^1], ^C )-

Окончательно приходим к тому, что fN+M = fNN,M — sm(fN,M)G C0([0,1], C)- +

Теперь сформулируем и докажем основную теорему о сходимости последовательности ^{flN,M } k ^ 0-

Теорема 4. Пусть заданы 6 G [0,1], f°,M G C ⁰ ([0,1], C) такие, что | f°,M — f “ | х С 5(4dL) ^-1 , N — достаточно большое, чтобы

Cn = fN,M, If — f “1х С 6(4d)-1, и достаточно большое M такое, что

, lim B / N,m — f “ И х С ++ A m .

k ^ + “    ’             8 — 7o

Тогда

△ m С ⁶(^(8—Г)<^4dL) ^-1 -                   (2)

2d 8 — 4

• <    Воспользуемся методом математической индукции.

Предположим, что k > 0, H fNNM — f “ | х С 6(4dL) ^-1 . Тогда

SN(fN,M) = s‘(f“) [i — [s‘(f“)]-1(s‘(f“) — sn(fNM))], но, с другой стороны,

\ [ s ‘ (f '       s ‘ (f ' - SN(fN,M)) \ <  d \\ s ‘ (f ' - SN(fN,M) \

^+d \\ ^S ‘ ^{( f}k,M ) ^- SN ^{( f}N,M ) \ ^ ^dL \ ^f ^ ^{- f}N,M \ X ^{+ dC}N ^ 4 ⁵ +4 ⁵ = ^⁵

Тогда ||[SN(fN,M)]-1\ ^ 2-5. Отсюда имеем k+1    ∞ k       ∞     ′ k    -1 ′ k          ∞

J N,M f = fN,M f     ISN ^{( f}N,M )J ISM ⁽ fN,M ) S⁽f ))

= / [I - [SN (fNM )] ^-1 S ‘ ((1 - M.M + Xf ” )№„ - f ~ ) dy

+ [SN fNM )] ^-1 (S fNM ) - SM ( / Nm )).

Но для любого X € ]0,1[

\\ I ^- [SN^(fN, m )] S ‘ (^{(1 - X)f}N, m ^{+ Xf} “ ) \|

= \| [SN^(fN, M )] ^(SN(^fN, M ) ^{- S} ‘ ^(fN, M ) ^{+ S}‘ ^{( f}N,M ) ^{- S} ‘ (^{(1 - X)f}N, M ^{+ Xf} “ )) \| 2d         2d k               (1 + X)5

< 2-5 C ^N Л    - ^LX « ^fN.M ~ f \ x < -Т-2Г'

Тогда

\\ ^fN+M ^{- f X} X < g—4d^|fN, M ^{- f X} v ⁺ 2—^ △ ^M ^ ^{5(4dL) 1} • 8   45                    2   5

Отсюда следует, что

\ ^fN ^{+ M -} f ” \ x ^- 8 - 75^{Д м} < (87-15) ( \ f k ^- f ” \ x ^- 8 - d75^{Д м} ).

Поскольку 81145 < 1, имеет место неравенство (2). >

Следствие 2. Для достаточно большого N limM >  - ^ limk >  - ^ ^ fN м - f ^ Н х = 0.

• < 1 Леммы доказывают справедливость данного следствия. >

• 5.    Численные результаты

Применим описанный метод к следующему уравнению:

f (x) = / 5Eidx - У * ) ^arctan(f ( у ) - У) dy + 1 + x 0

+20 ^xEi(x) + (1 - x)Ei(1 - x) + exp(-x) + exp(x - 1) - 2^ (Vx € [0,1]), f (x) = 1 + x, s(x) = 5E1(x), R[f](x) = arctan(f (x) - x).

Для двух серий испытаний были выбраны

( X                   /693(1 - x2)5,      x € [-1,1], fN,M(x) = x и P(x) = < 5                     , г , n

.                               (0,                        x € [ - 1,1].

Алгоритм. Начинаем предложение с установки значений (N; M; kmax; fext — точ ное решение). Затем мы программируем функцию, которая представляет свертку р*s(x).

Вычисления обычно выполняются с помощью программного обеспечения для компьютерной алгебры (Mathematica, Maple и др.). Начнем расчет с выбора начальной точки f ⁰ , k = 0, и представляем параметры h = _M ¹ и tM = (0, h, 2h, . . . , 1) (узлы метода трапеций). Член F _M ^k вычисляется с помощью квадратичной трапеции. На этом этапе мы вычисляем матрицу A ^k _N , представляющую операцию S _N ^′ (f ^k ), затем решаем задачу A ^k _N Y = F _M ^k и f ^{k +1} = f ^k - Y. Погрешность E _N ^k _,M оценивается путем аппроксимации квадратурой трапеции

E n,m = j ||f k (s) - f “Mil ds.

Повторяем эту процедуру в случае k ^ k _max .

В качестве исходных данных для серии испытаний были взяты следующие наборы:

• 1.    N = 10 и M = 10 , 50 , 100 , 250. Полученные результаты представлены в таблице 1.

• 2.    N = 50 и M = 10 , 50 , 100 , 250. Полученные результаты представлены в таблице 2.

Таблица 1

Серия испытаний с N = 10

N = 10	M =10	M = 50	M = 100	M = 250
k =1	3 . 27 E -1	1 . 05 E -2	1 . 12 E -8	1 . 13 E -12
k =2	2 . 22 E -1	9 . 12 E -3	7 . 82 E -10	9 . 92 E -13
k =3	2 . 01 E -1	7 . 53 E -3	9 . 33 E -11	4 . 89 E - 13
k =4	1 . 09 E -1	6 . 99 E -4	5 . 11 E -11	2 . 09 E -13
k =5	9 . 23 E -2	3 . 86 E -4	6 . 12 E -12	9 . 12 E -14
k =6	2 . 22 E -2	1 . 19 E -4	7 . 44 E -13	3 . 22 E -14

Таблица 2

Серия испытаний с N = 50

N = 50	M =10	M = 50	M = 100	M = 250
k =1	3 . 63 E -1	1 . 38 E -2	8 . 43 E -9	2 . 23 E -12
k =2	2 . 47 E - 1	9 . 43 E -3	8 . 01 E -10	8 . 52 E -13
k =3	2 . 07 E -1	7 . 67 E -3	8 . 96 E -11	3 . 77 E -13
k =4	1 . 89 E -1	6 . 55 E -4	4 . 45 E - 11	1 . 13 E -13
k =5	1 . 02 E -1	4 . 01 E -4	9 . 11 E -12	9 . 45 E -14
k =6	4 . 23 E -2	1 . 89 E -4	6 . 42 E -13	2 . 95 E -14