Приближенное решение обратной граничной задачи теплообмена методом регуляризации А.Н. Тихонова

Хорошо известно, что обратные задачи теплообмена обладают целым рядом характерных особенностей, а их решение и практическое использование сопряжено с определенными трудностями, обусловленными с одной стороны их некорректностью, а с другой высокими требованиями, предъявляемыми к точности решения этих задач. Однако, при надлежащей разработке теории и создании эффективных алгоритмов, методы решения обратных задач теплообмена являются достаточно эффективными и открывают новые возможности в тепловых исследованиях. Широкое практическое распространение данные задачи получили в таких отраслях науки и техники, как машиностроение, авиационная и космическая техника, энергетика, металлургия.

Настоящая статья посвящена исследованию и решению обратной граничной задачи теплообмена [1, с. 33] методом регуляризации А.Н. Тихонова 2-ого порядка [2]. Получено приближенное решение данной задачи, а также оценка погрешности приближенного решения.

Постановка прямой задачи

Пусть тепловой процесс описывается уравнением дu(x,t) д2u(x,t) .        . ....

\ =    '/ ,0 < x < 1,0 < t < to,(1)

д tд u (x,0) = 0; 0 < x < 1,(2)

u(0, t) = h(t), t e [0,t0],(3)

где h ( t ) e W 2 [0, 1 0 ], || h ( t )| \^ = j h ²( t ) dt + j | h ''( t )| 2 dt , 00

h (0) = h '(0) = h (10) = h'(10) = 0,(4)

и j" h2(t)dt + j" |h''(t)|2 dt < r12,(5)

где r ₁ – некоторое известное число,

u(1, t) = 0, t e [0,10].(6)

Рассмотрим классическое решение      u ( x , t )     задачи (1)–(6), то есть

u ( x , t ) e C ([0,1] x [0, 1 0 ]) n C²¹ ((0,1) x (0, 1 0 ]).

Из теоремы, сформулированной в [3, с. 190], следует существование и единственность такого решения. Решение задачи (1)–(6) имеет вид

^

u ( x , t ) = (1 - x ) h ( t ) + ^ vn ( t ) sin n nx ,                                (7)

n = 1

Математика где t, vn (t) = [e-(nn) (t-T)h '(t)dT.(8)

ⁿⁿ 0

Исследование гладкости решения u ( x , t )

Из (8) следует, что

2, vn(t) = —-[1 -en) t]h'(t).(9)

( n n )³

Из формул (7) и (9) следует, что u(x,t)g C([0,1]x[0,10]).(10)

Теперь перейдем к исследованию непрерывности функции ut '( x , t ). Для этого продифференцируем общий член ряда (7) по t

3 t 2                          ^-П)21

[--fenn) (t-т)h'(т)dT]'t = 2h'(t)e--------[1 -e^nn) t].(11)

n n 0                          n n

Из (11) и признака Абеля следует, что для любого достаточно малого £ >  0 ряд из производных сходится равномерно на прямоугольнике [ £ ,1 - £ ] x [ £ , 1 ₀ ].

Таким образом

u ( x , t ) g C ^2Д((0,1) x (0, 1 0]),                                      (12)

а из (10) и (12) следует, что решение задачи (1)-(6), определяемое формулой (7), является классическим.

Из (4), (7) и (9) следует, что для любого x u (x, t0) = 0.                                                (13)

Постановка обратной граничной задачи

Предположим, что в постановке прямой задачи (1)-(6) функция h ( t ), определяющая граничное условие (3), неизвестна и подлежит определению, потому вводится дополнительное условие u ( x ₀, t ) = f ( t ), x ₀(0,1), t g [0, t ₀].                                       (14)

Из (7) и (14) следует, что f (t) = (1 - x 0) h (t) + £ Vn (t ) sin nnx0.                               (15)

n = 1

Предположим, что при f ( t ) = f ₀( t ) удовлетворяющем (15) существует решение h ₀( t ) g ^ ₂²[0, 1 ₀], удовлетворяющее (4) и (5), но f ₀( t ) нам не известна, а вместо нее даны f ₅ ( t ) g L ₂[0, 1 ₀] и число 5 >  0, такие, что t 0

J| f 5 ( t ) - f ) ( t )|² dt <  5 ².                                          (16)

Требуется по f _s ( t ) и 5 определить приближенное решение h _g ( t ) и получить оценку || h ₈ ( t ) - h 0 ( t )|| L 2 .

Введем линейный оператор A , отображающий пространство L ₂ [0, 1 ₀] в L ₂ [0, 1 ₀ ] и определяемый формулой

Ah ( t ) = - 2 j K ( t , т ) h ( т ) d T ,                                    (17)

где

K ( t , T ) = ^ n ne ^{- ( n n )2(} t ^-T ) sin n nx ₀.                                  (18)

n = 1

Заметим, что при условии h ₀( t ) е W^[0, t ₀] и выполнении условия (4), обратная граничная задача (1)-(2), (5), (6), (14), (16) эквивалентна интегральному уравнению

Ah ( t ) = f ( t ); h ( t ), f ( t ) е ^[0, 1 0 ].                                  (19)

Известно, что задача решения уравнения Вольтерра первого рода в пространстве L ₂[0, t ] некорректна и потому для её решения используем метод регуляризации А.Н. Тихонова [2].

Метод регуляризации А.Н. Тихонова 2-го порядка

Этот метод заключается в сведении уравнения (17)-(19) к вариационной задаче, зависящей от параметра а >  0.

inf{11 Ah(t) - f8 (t) 1|2 +<01 h(t) |2 dt +a ftt01 h"(t) |2 dt: h(t) е W22[0,t0], h(0) = h(t0) = 0}(20)

0*0

Задача (20) эквивалентна интегродифференциальному уравнению

A* Ah (t) + ah(IV) (t) + ah (t) = A* fs (t),(21)

где A* - оператор, сопряженный A , h ( t ) е W ₂⁴[0, 1 ₀] и h (0) = h (0) = h ( 1 ₀) = h ( 1 ₀) = 0.

Известно (см. [2]), что для любых а >  0 и f s ( t ) е L ₂[0, 1 ₀] существует единственное решение h a ( t ) уравнения (21).

Значение параметра регуляризации а = a ( f s ^ определим из принципа невязки [4], которое определяется уравнением

II Ah ^a _g ( t ) - f s ( t )|| ² 2 = s ².                                      (22)

Известно, что при условии || f _s ( t ) ||² > s² уравнение (22) имеет единственное решение a ( f ₈ , 3 ) .

Таким образом, приближенное решение hs (t) уравнения (19) определим формулой hs (t) = ha(/s 8)( t).                                      (23)

Оценка погрешности || h s ( t ) - h ₀( t ) || L 2

Для оценки погрешности введем модуль непрерывности < y ( s , r 1 )

( s , r 1 ) = sup <

|| h ( t )| L ₂: h ( t ) е W ²[0, 1 0 ], h (0) = h '(0) = h ( 1 0 ) = h ' ( 1 0 ) = 0, '

Г ⁰ h ( t )² dt + P I h "( t ) |² dt <  r ²,|| Ah ( t ) Ц²^ <  s ² 00      ²

В работе [5] приведено доказательство оценки

| h s ( t ) - h 0 ( t )| L 2 <  2 ^ < s , Г 1 ),

где h s ( t ) определена (23).

Рассмотрим расширение обратной задачи (1), (2), (5), (6), (14) на полупрямую [10,~). Для этого введем функции u (x, t) и f (t), определяемые формулами

-         I u ( x , t );0 <  x <  1, t е [0, 1 ₀]

u ( x , t ) = 1

[ 0;0 <  x <  1, t >  1 ₀

и

- ₍ t ) = Г f ( t ); t е [0, 1 0 ] f ⁽⁾ [ 0; t >  1 ₀

Из (10) и (13) следует непрерывность функций u(x, t) и f (t), а из (26) следует, что функция u(x, t) является решением задачи du(x,t) д2u(x,t)

—=--- , ,0 < x < 1,0 < t,(28)

д tд

u(x,0) = 0;0 < x < 1,(29)

u(x0, t) = f(t), t > 0,(30)

Математика

и u (1, t) = 0; t > 0.

А функцию h(t) требуется определить, причем u (0, t) = h (t).

Обозначим через H линейное многообразие L ₂[0, ^ ) такое, что h ( t ) e H тогда и только тогда, когда

-     J h ( t );0 <  t <  t о

h ( t ) = {                  ,

[ 0; t >  1 ₀

где h ( t ) удовлетворяет условию (4).

Обозначим через A линейный оператор, действующий из L ₂[0, ~ ) в L ₂[0, ~ ) и определенный на множестве H формулой

Ah ( t ) = f ( t ),                                        (34)

где f ( t ) = u ( x ₀, t ), а u ( x , t ) - решение задачи (28), (29), (31) и (32).

Для оператора A введем модуль непрерывности < у ( £ , r 1 )

∞∞

го ( 3 ,r i ) = suph h ( t ) || L 2 : h ( t ) e H , j | h ( t ) |² dt + j | h ( t )|² dt <  r ²,|| Ah ( t ) 11 2 2 <  d

0                0

Из (24), (33)-(35), (13) следует, что

to ( 3 , r 1 ) = to ( 5 , r ).

Для оценки сверху функций to ( 5 , r 1 ) решим задачу (28)-(31), используя преобразование Фурье по t на полупрямой [0, ~ ).

Обозначим это преобразование через Ft .

Таким образом, задачу (28)-(31) сведем к следующей

∧ где u (x,т) = Ft[u (x, t)],

2 л d2 u(x,т)   . л

-----г— = i T u ( x, т ); 0 < x < 1,0 <  т , д x

∧

u ( x, т ) = Ft [ u ( x , t )], u(1, т ) = 0; т > 0

∧∧   ∧

u ( x 0 , t ) = f( т ); т > 0, u ( x 0 , т ) = f( т ); т > 0

∧ где f(т) = Ft[f(t)].

Решение уравнения (37) имеет вид

где ^ ₀ = -j=(1 + i ), a B( т ) и

Из (38) следует, что

Из (39) следует, что

^л(x , т ) = B( т ) e ^№ x + C( т ) e~ ^{Д 0} x ; т >  0, C ( т ) подлежат определению.

B ( т ) с ^ ^т + C ( т ) e" ^{А 0} = 0 , т >  0.

B( т ) с ^ ^т + C( т ) e" ^{А 0 т} = /( т ), т >  0.

Из (41) и (42) следует, что

- Д0 т     л

в (т) = - —---------^f (т); C (т) =

2sh ^ ₀(1 - x ₀)V т

р ^ 0 т     л

---nr f ( т ) 2sh ^ ₀(1 - x ₀)V т

Из (40)–(43) следует, что

A ^∧ h ^∧ ( τ ) = sh ^{µ 0}(1 ^- x ⁰) ^τh ^∧ ( τ ) = ^∧ f ( τ ), sh µ ₀ τ

где h ^∧ ( τ ) ∈ Ft [ H ], a ^∧ f ( τ ) ∈ L 2 [0, ∞ ) .

Из условий (4) и (5) следует, что

J V1 + т⁴ К о (т )d T <  r ².                                    (45)

Оператор A ˆ , определенный (44), не меняя обозначения, продолжим на все пространство L ₂[0, ∞ ), т.е.

A ^∧ h ^∧ ( τ ) = sh ^{µ 0}(1 ^- x ⁰) ^τh ^∧ ( τ ) = ^∧ f ( τ ),                            (46)

shµ0 τ где h∧(τ) и ∧f (τ)∈ L2[0, ∞) .

∧

Из (46) следует, что A – инъективный линейный ограниченный оператор.

Соотношение (45) определяет оператор сложения D , отображающий пространство L ₂[0, ∞ ) в L ₂[0, ∞ ) и определяемый формулой

∧

Dg ^∧ ( τ ) = g ( ^τ ) , τ ≥ 0, 1 + τ ⁴

и h∧(τ) = D g∧(τ).

Введем класс корректности M ˆ _{r 1}

M ^∧ r ₁ = DS ^∧ r ₁,

∧∧ где Sr1 = S(0,r1) – шар в пространстве L2[0, ∞) с центром в нуле радиуса r1

Если через Mr обозначить подмножество H , такое, что h ( t ) ∈ M_{r 1}

Jh (t)|2 dt+Jh "(t)|2 dt < r12.(50)

Из (47)–(49) и (50) следует, что

M∧ r1 ⊃ Ft[Mr1].(51)

∧∧∧

Введем модуль непрерывности ω(δ, r1) оператора A на множестве M r1 . ∧          ∧      ∧     ∧∧∧

®(3,ri) = Ы(т'Ж2:h(T)e M^Ah(т)||<^[.(52)

Из (50)–(52), (35) и изометричности преобразования F_t следует, что

ω(δ,r1)≤ω∧(δ,r1)(53)

Таким образом, из (25), (36) и (53) следует оценка

||hδ(t)-h0(t)||L2≤ 2ω∧(δ,r1) .(54)

∧

|sh µ ₀ τ |    .

|sh µ ₀(1 - x ₀) τ |

Теперь перейдем к оценке функций ω ( δ , r ₁) . Для этого оценим функцию

Так как эта функция ограничена на любом отрезке, то существует число r ₂ , такое, что

Математика

sup _τ ∈ [0,2]         ⁰          ≤ r ₂ ,

|sh µ ₀(1 - x ₀) τ |

а при τ ≥ 2

| sh µ ₀ τ |     _≤ 8 e ^x 0 ₂ ,

|sh µ ₀(1 - x ₀) τ |

Определим число τ ₀ ≥ 2 таким образом, чтобы при τ ≥ τ ₀

Из (57) следует, что при τ ≥ τ ₀

Так как тут τ ≥ τ ₀

x ₀

e ² ≥ r ₂ .

sh µ ₀ τ         x ₀

≤ 9e   2 , shµ0(1-x0) τ

r 1 _≤

r ₁

,

`

2 ^{τ 2}    1 + τ ⁴

Если τ ₀ ² ≤ e ^{0 2} , то из (58) и (59) следует, что если τ определить формулой

“    1 1 2 I Г )

т = ^ln I I,

• 2 x 2    v 9 J J

то из (60) следует на основании теоремы, доказанной в [6, с. 15], что при τ ≥ τ ₀

∧

ω ( δ , r ₁) ≤

r ₁

4 ,

∧

Или, что ω ( δ , r ₁) ~

In I -1

19 J

- 4

.

Таким образом, из (60), (61) и (54) следует, что при достаточно малых значениях δ справедлива оценка hδ(t)-h0(t)L2≤

r ₁

1 ¹ + 16 x 2 L

In I -1 1 9 J

.