Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения с применением рядов Чебышева

В работе рассматриваются сингулярные интегральные уравнения первого рода. на. отрезке с определенной весовой функцией. Сингулярные уравнения такого типа, имеют широкое применение в задачах теории трещин, теории упругости, электродинамики, аэродинамики, что подчеркивает важность разработки численных методов их решения.

Наиболее ранней работой в этом направлении является работа. М. А. Лаврентьева. [1], в которой одна, практическая задача, гидродинамики сводится к сингулярному интегральному уравнению и обосновывается определенный численный метод решения таких уравнений. Про эту работу Н. И. Мусхелишвили в своей книге [2, с. 352] пишет: «Дальнейшая разработка, этого и аналогичных методов приближенного решения сингулярных интегральных уравнений является, как мне кажется, одной из важнейших очередных задач теории этих уравнений». После этого рядом исследователей были разработаны различные методы численного решения сингулярных интегральных уравнений, одним из которых является «метод дискретных особенностей», предложенный С. М. Белоцерковским и обоснованный его учеником К. И. Лифановым [3-4].

Указанный метод до сих пор является одним из актуальных методов в теории приближений. Отметим, что этот метод дает приближенные значения решения в конечном числе точек. Во многих случаях требуется получить аналитическое приближение решения, годное на. всем отрезке. К этому типу методов принадлежат методы, связанные с многочленами Чебышева.

В настоящей работе впервые предлагается метод с применением рядов Чебышева. [5, с. 322] для приближенного решения сингулярных уравнений на. отрезке интегрировния. Суть метода, заключается в том, что задача, решения сингулярного интегрального уравнения, после замены плотности рядом Чебышева, сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов данного решения. После нахождения коэффициентов разложения C 1 ,C ₂ ,... ,Cn, приближенное решение получается в аналитическом виде, что позволяет найти значения неизвестной функции во всех точках отрезка. [—1; 1].

2. Ряды Чебышева

Рассмотрим функцию f. определеппуто на отрезке [—1,1] и принимающую действительные либо комплексные значения. Предположим, что на этом отрезке ее можно разложить в ряд по многочленам Чебышева первого рода, т. е. существуют постоянные a o ,a 1 ,... такие, что

∞ f (x) = X 0ai Ti (x).

l =0

Известно, что многочлены Чебышева Ti (x) = cos(larccosx) (l = 0,1,...) ортогональны на отрезке [—1,1] с весом (1 — x²)^-2 и

У ( i - x² ) ² T^2(x) dx = ( ⁿ,

к = 0, к >  0.

Умножая обе части равенства (1) на (1 — x²) 2 Tk (x)

и интегрируя по отрезку

получаем следующие формулы для коэффициентов ak ряда (1):

[-1 , 1]

2         ^-1

ak = —    (1 — x²) ² f (x) Tk (x) dx, к = 0,1,...

-1

Отсюда с помощью подстановки x = cos t получаем равносильную, и часто более ную формулу

выгод-

π ak [f ] = —   f (cos t) cos ktdt, к = 0,1,...

π

Величину ak [f] пазе>вем к-м коэффициентом Чебышева функции f. а ряд

∞

52 0 ak [f ] Tk(x)

k =0

— рядом Чебышева функции f. Здесь символ P определяется формулой

m      1

52 aj = 2 ai ⁺ ai +1 ⁺ ‘" ⁺ a™, m > ^L j = l

3. Вычислительная схема для решения сингулярного интегрального уравнения

Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение вида

- [ т⁰^ dt + - [ k(x,t) То(t) dt = f (x), π t - x π

-1

-1

Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения рядами Чебышева. 17 где k(x,t),f (x) G Hr (a) (r > 1.0 < a 6 1) — заданны e функции (Hr (a) — класс функций, имеющих непрерывные производные до порядка r — 1, а производпая порядка r удовлетворяет условию Гёльдера с показателем a). Индексу к = 1 уравнения (2) соответствует решение вида

»0 (t) = -й= ,                            (3о)

у 1 — t²

где ^(t) является достаточно гладкой функцией на отрезке [—1,1]. Тогда уравнение (2) примет следующий вид:

KV = 1 / дД-о ^ dt + 1 / /Д-о ^ k(x, t) ^(t) dt = f (xL(3)

nJ V1 — t² t — x nJ V1 — t²

-1-1

Заменим неизвестную функцию y(t) ее разложением в ряд Чебышева:

^(t) = XX Ck Tk-i(t),(4)

k=1

где Ck — неопределенные коэффициенты. Подставляя в уравнение (3), получаем следующее уравнение:

полученное разложение ^(t)

п /

-1

-1 — t2

t-x

∞

X Ck Tk-i(t) )dt k=1

1       k ( x, t )

⁺ п/ -

-1

∞

£ CkTk - i (t)} dt = f (x)

k =1

ИЛИ

X ^х Ck ' 1 / vrbr • T ' dt + ^X Ck 1 / -S Tk - () dt = f <^ k=1        - 1 ^{v 1} t                  k=1      - 1 ^{v 1} t

Используя формулу обращения (см. [3, с. 39])

1 /   1   . tjHSl dt = ( ⁰- ^k = i.

^п - 1 —1 — t² t ^{— x} (Uk-2(x), k = 1

и квадратурную формулу Мелера (см. [6, с. 132])

1 Г 1 ы 1 'm^   2k — 1 А п -стf(t)dt”m^fl -■•

- 1                         ^{k =1}

где Uk-2(x) — многочлен Чебышева 2-го рода

sin((k — 1)arccos x)

Uk^x = —-1—x?—'

получаем	∞          ∞ m X Ck Uk-2(x) + X Ck • mm X k(x,xj ) Tk - 1 (Xj) = f (x),             (8) k =2                k =1         j =1
где	xj = cos —----n, j = 1, 2,..., m. 2m

Уравнение (8) имеет не единственное решение [2, с. 167, 280], это решение зависит от произвольного параметра (см. [3, с. 73], [4, с. 342]). Чтобы найти единственное решение уравнения (8) вводится условие (см. [2, с. 73], [4, с. 342], [7, с. 164])

1 [-Жй dt = Co.                       (9)

^п J v 1 — t ²

-1

где C o — произвольная постоянная, определяющая ^(t). Таким образом, единственное решение ^(t) зависит от Co. Подставляя в (9) вместо y(x) его представление (4), будем иметь

XX Ck11 -k=^ dt = Co.(10)

k=1    п -1'

Уравнения (8) и (10) будем рассматривать как систему. Далее в (8) придавая x значения xi = —1 + ih. h = n^. i = 1,...,n — 1, при m = n. получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных C1, C₂,..., Cn,...

^            ^

Е Ck Uk-2(Xi) + Е Ck • n Е k(Xi,x) Tk-i(xj) = f (Xi), i = 1, 2,... , n — 1, k=2               k=1

∞ n

E c^ ETk- 1 (xj) = Co.

k=1

В дальнейшем будем рассматривать приближенное значение функции ^(t) в виде

n

V(t) « X Ck Tk — 1 (t).

k =1

Тогда, вместо (11) будем иметь систему линейных алгебраических уравнений порядка. n х n:

n                 nn

E CkUk-2(Xi) + E Ck • n E k(Xi,xj) Tk-1(Xj) = f (Xi), i = 1, 2,...,n — 1, k=2               k=1

nn E Ckn EMxj) = Co.

k=1

Решение системы (12) относительно неизвестных C 1 ,C ₂ ,... ,C _n дает нам приближенное решение уравнения (2) в виде

V o ^(t)

-1 — t2

n

•     Ck Tk-1(t).

k =1

• 4.    Обоснование вычислительной схемы и оценка погрешности

Пусть X — пространство функций y(t) Е Hr (а). Норма в пространстве X определяется формулой

ИМ-ГМ |t1 — t2|e

IMI = ll^(t)kC [-1;1] + SUP ti=t2; 0<в<а

n

Через Xn обозначим пространстве) функций многочленов yn(t) = 52 akt^k e нормой k=0

llT-(t)|| = ИУ-ФИсцц]

|y-(t1) - T—(t 2 )|

SI ;      |t1 - t2|^в

0 <в<а

K          XX обратный оператор K-1. Обозпапим через Pn оператор, проектщмлопщй пространство X па пространство Xn по (формуле

PnHt)] =

Е k=1

Tn (x)

(t - Xk)Tn (xk )

^(Xk ).

Известно [9, c. 342], что для константы Лебега справедлива оценка ||P_— || 6 C ln n.

Приближенное решение уравнения (3) будем искать в виде функции

n

T-(t) = 52 Ck Tk-i(t).

k =1

Коэффициенты Ck определяются из системы линейных алгебраических уравнений, представленной в операторной форме уравнением

р

n

1    у--— nJ У—2 (t - x) dt + nJ VT-Г

-1                         -1

• P- [k(x,t)y-(t)] dt

= Pn[f (x)],

(-3)

где P_n [^(t)] — оператор проектирования на множестве интерполяционных полиномов степени n по узлам нулей полиномов Чебышева первого рода. Воспользовавшись формулами (6) и (7) уравнение (13) можно переписать в виде

К -у- = ¹ /        • Tn^ dt + ^Л /         • P-[k(x,t)] у- (t) dt) = Pn[f (x)]. (-4)

nJ V- - t² t - x             V - - t²

-1                             -1

Применим метод коллокации к уравнению (3). В операторной форме он имеет вид

^{К-у -} ^Jv-rt ⁵

-1

Tn(t) t-x

dt + Pnx

- / -1

-

V- -12

k(x, t) yn (t) dt

= P-Xf (x)].

(-5)

Оценим норму разности

|| K^n   Kn^n ||  

+

nJ V1

-1

^^^^^^^^

П J V—

-1

р x 1 /

Pn π

-1

== ^k(x,t) ^n^(t) dt ^— Px П j ^— ^k(x,t) yn ^(t) dt

-1

= (k(x,t) - kx(x,t) ^n (t) dt t²

дД-о ( ^{k(x,t) —} kn^(x,t) ) ^n^{(t) dt} v 1 — t²

— I1 + I2,

где kn(x,t) — полином наилучшего равно мерного приближения степени n — 1 по переменной x к (]>упкщш k(x,t). Нетрудно видеть, что

I1 6 Cn^e E n_i(k(x,t))|bk,

I_ 6 Cn^e kPnkE n-1(k(x,t))|bk.

И, следовательно,

11 K^n — Kn^n|| 6 CnekPnkEn-1 (k(x,t))k^nk, гДе En(k(x,t)) - -та61 En(k(x,t))-

Из последнего неравенства и общей теории приближенных методов для обратимых операторов [10, с. 517] следует, что при n таких, что q — Cne||K 1kkPn|En

1(k(x,t)) < 1.

существует обратный оператор K -1 . Оценим нор му разности ||K _n — K_n|- Очевидно,

II Kn^n —

К ,№ | - Px -]

-

^1—2 ( ^k(x,t) - Pn^[k(x,t)] ) ^n^{(t) dt}j

6 CnekPnkEn(k(x,t))|bk, где EП

max Et[k(x,t)]. Пусть существует такое no. что при n > no выполняется -16x61 n неравенство

Cne (kPnkEn(k(x,t)) + kPnkEn(k(x,t))) < 1.

Из теоремы Банаха [10, с. 211] следует, что ы — ^nk 6 Cne (kPnkEn(k(x,t)) + kPnkEn(k(x,t))) , где у* и ^n — решения уравнений (3) и (14) соответственно. Таким образом, доказана (см. также [8])

Теорема. Пусть оператор К имеет обратный, функции k(x, t), f (t) G Hr (а) и n такой, что

Cn^e ||K^-1| (e xn(k(x,t))+ E^tn(k(x,t)^ In n < 1.

Тогда система (13) имеет единственное решение и

h* — ^* k 6 o( lnn_s ⁿ       nr+α-β

.

• 5.    Примеры

Приведем несколько простых примеров, иллюстрирующих изложенный выше метод. Пример 1. Рассмотрим уравнение

1 fl . Ж d +1        . (x +1) „(t) dt = x n  v1—t2 t - x n  v1—ё

-1                            -1

с дополнительным условием

• ¹ V • ^ dt ^{= 1}’

• ⁿ J 1- — t ²

  -1

• t. e. Co = 1. Точным решением этого уравнения является функция ^(t) = 1. В этом случае решая систему (12) при n = 3 полу чаем: C 1 = 1, C 2 = 1,324547 • 10^-8, C3 = —3, 973643 • 10^-8 и приближенным решением будет функция

  ^3(t) = CiTo(t) + C2Ti(t) + C3T2(t) = 1 + (1, 324547 • 10^-8)t - (3, 973643 • 10^-8)(2t² - 1) « 1.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

1f 1     • dt . ' ,           • (x + t) ,(t) dt = 3

n V1—t² t - x n v1—t²              2

-1                           -1

с дополнительным условием

¹ f      ^ dt = 0,

• ⁿ J v 1 — t ²

  -1

• t. e. Co = 0. Точное решение ^(t) = t. При n = 3 полу²шем: C 1 = 0. C₂ = 1. C3 = 0, t. e.

^3 (t) = To(t) • 0 + Ti(t) • 1 + T2(t) • 0 = t.

Пример 3. Рассмотрим уравнение

1f 1    .Tt! dt + 1f 1    .(x +1) nt) dt = 3 x nJ er—12 t—x nj vr—12

-1-1

с дополнительным условием п/ v1—12 .^(t) dt =2 ’

-1

Вычисления проводились на языке QBasic с использованием метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. Очевидно, что погрешность для всех |e(t)| 6 0, 2 • 10-6. Эти численные результаты показывают, что выше изложенная вычислительная схема реализуется хорошо.