Приближенные решения многомерных сингулярных интегральных уравнений и быстрые алгоритмы их нахождения

Под многомерным сингулярным интегральным уравнением в пространстве Rn понимается уравнение вида.

a(x)u(x) + У K(x,x — y)u(y) dy = v(x), x E Rm,

Rm где K(x,y) — это так называемое ядро Кальдерона — Зигмунда [8, 11] и интеграл в (1) понимается в смысле главного значения j K(x,x — y)u(y) dy =

Rm

lim

ε→0

N→∞

/ ε<|x-y|

K(x,x — y)u(y) dy.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция K(x,y), определеиная на Rm x (Rm \ {0}), называется ядром Кальдерона - Зигмунда, если она. удовлетворяет следующим условиям:

• 1)    K(x,tx) = t^-mK(x,y) (Vx E Rm, Vt > 0);

• ²⁾    Jm..,K Ц.Л d = 0(^V x ^{E Rm)};           _

• ³⁾    K(x.^y)| 6 C, К(x,^ дифферешщруе» и» Sm^-1 (^Vx ^{E Rm)}, Sm^-1 - елшт-я mC

Вопросы разрешимости (нётеровости) уравнений типа. (1) исследовались в работах многих авторов в различных функциональных пространствах. Уравнения типа. (1) (например, в случае замены Rm ограниченной областью или поверхностью в пространстве) часто встречаются в различных задачах математической физики [13, 14], и вопросы нахождения их решения имеют первостепенное значение. Однако теоретические исследования, основанные, как правило, на. локальном принципе [10], приводят лишь к условиям

нётеровости и вычислению индекса оператора. Поэтому в данной работе мы для простейших типов уравнений (1) попытаемся обосновать схему дискретизации уравнений и нахождения приближенного решения, дать оценку погрешности дискретного решения и показать, что к таким уравнениям можно успешно применить быстрое преобразование Фурье.

Мы рассматриваем уравнение (1) в случае, когда ядро K(х, у) не зависит от полюса х, т. е. имеет вид

au(x) + j

Rm

K(х - y)u(y) dy = v(x),

x ∈ R^m.

Казалось бы, уравнение (2) решается просто применением преобразования Фурье, но это только теоретически. С компьютерной точки зрения нужны дискретные (и к тому же конечные) наборы точек, имитирующие (моделирующие) уравнение (2). В связи с этим мы сначала предлагаем заменить уравнение (2) дискретной системой, а затем уже рассматривать ее возможные конечные аппроксимации. Некоторые предварительные соображения, связанные с этим, были описаны в работах авторов [4-7].

• 2.    Дискретный сингулярный интегральный оператор

Для многомерного сингулярного интегрального оператора

(Ku)(x) = j K(х

Rm

^-y)^u(y) dy

мы предлагаем рассмотреть следующий дискретный аналог:

(Kdud)(x) = 52 Kd(х - у) [ud(y) - ud(x)] hm, x E Zm,               (3)

yczm где мы будем придерживаться следующих обозначений.

В m-мерном прострапство Rm определим целон!клеииую решетку (mod h)Zm. Полагаем K(0) = 0 ii обоз1 тачаем Kd сужешie ядра. K(х) iia. Zm, ud - функция дискретного аргумента, определенная на решетке Zm и, наконец, сумма ряда (3) понимается как предел частичных сумм lim

N→∞

52 Kd(X - y)[ud(y) - ud(х)] hm, yezmhQn где

Qn = х E Rm : max х| 6 N 16k6m

Символом 'h мы будем обозначать гильбертово пространство функций дискретного аргумента L2(Zm) со скалярным произведением

(ud,Vd) = 52 Ud(X)Vd(X) TeZm и соответствующей нормой

\ 1/2

kudk'2 = h

52 |ud(x)|²hm

TeZm           ;

Хорошо известно, что при сформулированных условиях на ядро оператор K ограниченно действует в пространстве L₂(R^m) [8, 11]. С учетом этого нетрудно установить, что справедлива

Теорема 1. Имеет место оценка kKdud\\e2 6 ckud Нг2, hh где постоянная c нс зависит от h.

Таким образом, семейство дискретных операторов (3) равномерно ограничено по h.

• 3.    Символы операторов и обратимость

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Символом оператора K называется преобразование Фурье ядра K(x) в смысле главного значения

7(£) =

lim

6—>0 N—га

K (x')e't^:xdx.

e<|x|

Если применить преобразование Фурье к уравнению (2), то мы получим уравнение

(а + 7(£))u(£) = v(C), необходимым и достаточным условием разрешимости которого в пространстве L2(Rm) будет [8, 11]

inf |а + ст(О > 0, £ Е R^m.

Функцию a + 7(^) мы называем стизолом оператора al + K, I — единичный оператор.

С дискретным оператором K_d мы тоже свяжем символ 7_d(O ^ Е [-nh^-1, nh^-1]^m, определяемый многомерным рядом Фурье

МО = X K(Х)е^^г^h^m,

TEZm где частичные суммы берутся по дискретным кубам QN П Zm, и которые представляют собой периодическую функцию в Rm с основным щ"бом периодов [-nh-1, nh-1]m [12].

Соответственно, символом дискретного сингулярного уравнения

(aI + Kd )ud = vd,

мы называем функцию a + a_d(O, ^ Е [—nh^-1, nh^-1 ]^m.

В работе [17] был приведен замечательный факт, утверждающий, что множества значений символа, а(£) 11 ad(£) совпадают, откуда немедленно вытекало, что уравнение (2) и его дискретный аналог (4) разрешимы или неразрешимы одновременно. Таким образом, если мы имеем решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (4), естественно ожидать, что при малых h > 0 оно будет близко к решению исходного уравнения (2).

• 4.    Оценка близости операторов K и Kd

Обозначим через Ph оператор сужения на решетку Zm, т. е. оператор, сопоставляющий каждой функции, определенной на Rm, набор ее дискретных значений в узлах решетки Zm. Следуя [18]. дадим следующее

Определение 3. Мерой аппроксимации операторов K и Kd в линейном нормированном пространстве X функций, определенных на Rm, называется операторная норма kPhK - KdPhkXd, где Xd — нормированное пространство фуикцин. определенных на решетке Zmm с нормой, индуцированной нормой пространства X.

В качестве пространства Xd наряду с пространством 'h мы будем использовать пространство Ch, которое представляет собой пространство функций ud дискретного аргумента X Е Zm с нормой

||udllch = max^|ud(^x)|. x∈Z_h^m

Другими словами, пространство Сь — это пространство сужений функций и Е С(Rm) на. узлы решетки Zm. Здесь стоит заметить. что оператор K не ограничен в пространстве С (Rm), однако он ограничен в пространстве L2(Rm), и хорошо известно, что если правая часть уравнения (2) обладает какой-то гладкостью (например, удовлетворяет условию Гёльдера), то решение уравнения (2) (если оно существует в L₂(Rm)) обладает той же гладкостью [8].

Определим дискретное пространство C_h(a,e) как пространство функций дискретного аргумента X Е Zm с конечной нормой

1ЫЬ(а,в) = kudkCh + sup ----- |x- . У| д, x,yezm   (max{1 + |x|, 1 + |y|})e удовлетворяющих условиям

|ud(X)| 6

c

(1 + |x|)e-a ’

|ud^(X) - ud^(y)| ⁶ c "----- ^|X- - ^yl —-g , (max{1 + |x|, 1 + |y|})^e

(VX,y Е Rm, а,в> 0, 0 < a < 1).

Континуальным аналогом этих пространств служит пространство H^Rm) функций, непрерывных на. Rm п удовлетворяющих сс.товням Гёльдера. с показателем 0 < a < 1 ii с весом (1 + |x|)^e (ем. [1]). Из результатов [1]. в настпостп вытекает, что оператор K является линейным ограниченным оператором K : H(Rm) ^ H(Rm) при условии m < в < a + m.

Для пространств C_h(a,e) имеет место

Теорема 2. Справедлива оценка kKd udkCh(a,e) 6 ckud 11 Ch (а,в), m < в < a + m, где постоянная c no зависит от h.

Мы дадим оценку меры аппроксимации операторов K и Kd в пространстве C_h(a,e). Это позволит дать оценку погрешности решения при замене континуального оператора K его дискретным аналогом Kd.

Теорема 3. Для меры аппроксимации операторов K и Kd справедлива оценка kPhK - KdPhkch(a,e) 6 ch^a, где постоянная c не зависит от h, a < а, в > в.

C Требуется доказать справедливость следующих двух оценок: |((PhK - KdPh)u) (x)| 6 cih^a,

|[(PhK - KdPh)u] (x) - [(PhK - KdPh)u] (y)| 6 C2h“ sup x,yGZm

lx - y|a

(max{1 + |x, 1 + |y|})e

с постоянными ci, С2, не зависящими от h. Начнем с оценки (5):

((PhK - KdPh)u) (x)

= / K(x - y)[u(y) - u(x)] dy - X K(x - y)[u(y) - u(x)]h^m

Rm                           y^Zm

=   / K(x - y)[u(y) - u(x)]dy - X  K(x - y)[u(y) - u(x)]h^m

Rm\QN                          yGZm\QN

+ X / (k(x - y)[u(y) - u(x)] - K(x - y)[u(y) - u(x)]) dy

= I1 + I2 + I3, гДе Qh(y) — куб c iщнтром в y G Zm и ре бром h.

Первые два слагаемых представляют собой «остатки на бесконечности» континуального и дискретного сингулярного интеграла, и лишь третье слагаемое оценивает близость между сингулярным интегралом и соответствующей кубатурной формулой. Поэтому начнем с I₃.

1) Если x = у, то j K(x - y)[u(y) - u(x)] dy 6 c

Qh(y)

6c

J |x - y|^m Qh(y)

2) Если x = y,x G QN, то обозначив

Qh(y) dy

-

[     ■         dy

|x - y|m

a(i + |y|)e‘

I3,n = J {^K(x - y)[u(y) - u(x)] - K(x - y)[u(y) - u(x)]) dy, Qh(y)

разобьем его на два

I3,n = j [K(x - y) - K(x - y)] [u(y) - u(x)] dy

Qh(y)

⁺j K^{(x -y)[u(}y)^- u^(y)] = I31n⁺I32n.

Qh(y)

Поскольку |X — y| ~ |Х — у |, имеем dy

|x — y|m(i + |y|)e ‘

I /2) 1<       [

^|13,п^{| 6}ch /

Qh(y)

Для оценки I(^ нам понадобится следующая оценка для ядра Кальдерона - Зигмунда

।K(x—у) - к(x— у)| 6 _с|_x-yy+.

которая легко получается с помощью элементарных выкладок.

С учетом этого

¹1^{(1) 1}< ch / ^|1з,п^{| 6} ch /

Qh(y)

dy

|x — y|m+i-a(1 + |y|)e •

Остается собрать вместе оценки (7)—(9), просуммировав по кубам Qh(y) С Qn. Отметим, что оценка. (7) в единственном числе.

Разбив Rm на. два. множества

и

имеем для

A = y у Е Rm : |x — у| >

B = yy Е Rm : |X — y| <

RN = /

QN

1 + |x| |

2 J

1 + |x| 1

2 J ,

dy

|x — y|m(1 + |y|)e

следующую оценку (напомним, |X — y| > h/2).

RN 6

AB

dy

|x — y|m(1 + |y|)e ‘

На множестве A справедливы опенки

/

A

dy

|x — y|m(1 + |y|)e

c

6 (1 + |X|)m

j (1 + yy|)^{e 6} c^{(1 + |x|) в,}

A

поскольку в > m.

На множестве B, переходя к сферическим координатам с центром в X, получаем

/

B

dy

|х — y|m(1 + |у|)в

1+1 x |

2 dt , 1 + |XI ⁶c J т-c'"-ж¹.

h

С учетом (8) получаем

X Z(2)

^I3,n

n

6 ch^a ln

1 + |X| h

Далее, суммируя оценки (9), нам нужно оценить интеграл rN

=/

QN

dy

|Х - y|m+l-a(1 + |y|)e •

Используя то же разбиение A + B, имеем

/(...) 6 с,

A

1+1 x |

/

B

dy

|Х - y|m+1-a (1 + |y|)e

6c

h

dt t2-a

= с

(1 + |x|)1-a

-

6 ch-1+a.

Собирая вместе оценки для (9), получаем

X I¹)

7 ,13,n n

6 chα .

С учетом всех полученных оценок имеем

|I₃ | 6 с h^a In^+x h

.

Оценки интегралов I₁, I₂ очень похожи. В частности,

|I3| 6 с

∈R^m\QN

dy

|X — y|m-a (max{1 + |y|, 1 + |x|})e

c

Rm\QN

dy

|x - y|m-a(1 + |y|)e

c

Rm\QN

dy        c lyfm-a+в 6 Nв-a

(N выбрано достаточно большим).

Устремляя N iс ж, окончательно получаем

_     1 + 1X1

|((P_hK — K_aP_h)u) (X) | 6 соnst • h^a In —h—.

Вторая оценка доказывается с помощью более громоздких выкладок, и мы не будем здесь на этом останавливаться. Отметим только, что оценка (9) доказывает близость операторов K и Kd в Ch-нормс. в

• 5.    Вычислительные алгоритмы

Из результатов предыдущего раздела вытекает, что теоретически можно ожидать сходимость дискретного решения к континуальному при изменении шага решетки. Однако практическое нахождение решения дискретного уравнения (4) — это бесконечная система линейных алгебраических уравнений — наталкивается на проблему выбора конечной аппроксимации.

Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений уже рассматривались в математической литературе [9], где предлагались и обосновывались проекционные методы их решения. В применении к уравнению (4) схема выглядит следующим образом. Если обозначить PN оператор сужепня (проектор) Zm на дискрсчный куб Zm П QN, то уравнение (4) заменяется конечной системой линейных алгебраических уравнений

Pn(aI + Ka)u_d,N = Pn Vd-                           I ll)

Теоретические исследования, как правило, ограничиваются обоснованием перехода от (4) к (11), что подразумевает следующее

Утверждение. Если уравнение (4) однозначно разрешимо в пространстве 'h то для достаточно больших N уравнение (11) однозначно разрешим о на подпространстве PN th

С практической точки зрения такое утверждение малоэффективно, поскольку при малых h и больших N спетема (11) может оказаться огромных размеров, и с вычислительной точки зрения труднореализуема.

На наш взгляд, более прагматичной выглядит следующая схема конечной аппроксимации. По дискретному ядру Kd и заданной правой части vd строятся их периодические аппроксимации посредством сужения на QN П Zm и периодического продолжения на Zm. Их мы обозначим KdN i1 vdN соответственно. Вместо уравнения (4) мы рассматриваем уравнение aud,N(x) + X Kd,N(x - y)ud,N(x)hm = Vd,N(x), x E Zm,           (12)

yczm и в действительности это конечная система линейных алгебраических уравнений с так называемой циклической сверткой [15, 16]. Аппарат дискретного преобразования Фурье и свойства символа многомерного сингулярного интеграла позволяют обосновать разрешимость уравнения (12) при больших N, быстрое преобразование Фурье - отказаться от решения систем линейных алгебраических уравнений и ограничиться двукратным вычислением преобразования Фурье (прямого и обратного). Кроме того, сравнение численных результатов для простейших типов тестовых уравнений (как регулярных, так и сингулярных), полученных с помощью проекционных методов и быстрым преобразованием Фурье показало их близкое совпадение и серьезный выигрыш по времени (на порядок) в пользу последнего даже в одномерном случае [7]. По всей видимости, при увеличении размерности эта разница будет становиться более ощутимой.