Приближенный метод решения задач множественного рассеяния в полупространстве

Задача учета множественного рассеяния в условиях влияния либо границ волновода, либо наличия множества рассеивателей, когда нельзя пренебречь многократным переотражением волн между ними, не является тривиальной. Эта тематика активно рассматривалась в последнее время отечественными и зарубежными авторами [1–11]. При этом для решения проблемы приходилось применять довольно громоздкие математические методы.

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

В работе [12] построен достаточно простой и эффективный метод расчета амплитуды рассеяния при падении на рассеиватель волны сложной формы на том основании, что такая амплитуда рассеяния удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца. В настоящей работе этот результат используется для простейшего случая множественного рассеяния, когда рассматривается возмущение исходной амплитуды рассеяния только в первом порядке, т. е. рассматривается влияние только однажды переотразившихся волн. Это может быть правомерным в случаях, когда вторичными переотражениями можно пренебречь.

РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ

Вначале приведем некоторые результаты работы [12]. Пусть начало координат привязано к включению (является либо его геометрическим центром, либо просто находится внутри области, занятой включением). Пусть далее й„ (x, d) — каноническая амплитуда рассеяния (ар), т. е. ар данного включения в случае, когда на него падает плоская волна, имеющая в начале координат единичную амплитуду и нулевую фазу с волновым вектором kd , где d = (sinαcosβ, sinαsinβ, cosα) есть единичный вектор, задающий направление распространения плоской волны, k — волновое число. Когда падающая волна uinc (x) в общем случае представляет собой совокупность плоских волн со спектром g(d)

u inc ( x ) = ∫ g ( d ) e ^{i k d ⋅ x} d s ( d ),                (1)

Ω ^'

то результирующая ар u _∞ ( x ˆ ) вычисляется следующим образом:

• u „ ^{( x )} = J g ^{( d )} й„ ^{( x} , ^{d )}d s ^{( d )}.             ⁽²⁾

Ω ^'

Здесь Ω ^' — область определения спектра падающей волны; d s ( d ) = sin α ⋅ d α ⋅ d β — элемент

x поверхности единичной сферы; x =  =

x

= (sin θ cos ϕ , sin θ sin ϕ , cos θ ) — вектор на единичной сфере, направленный в точку наблюдения; u _∞ ( x ˆ) — ар включения, характеризующая угловое распределение поля рассеяния на включении при его облучении полем u _inc( x ) .

Если функция uinc (x) является решением однородного уравнения Гельмгольца во всем простран- стве x g R3 (так называемое целое решение), то в ее представлении по плоским волнам участвуют только однородные плоские волны и интегрирование в (1), (2) осуществляется по поверхности единичной сферы 0=0 (область видимости). Если же uinc (x) является решением однородного уравнения Гельмгольца только в бесконечной подобласти R3 и удовлетворяет условиям излучения Зоммерфельда на бесконечности (так называемое излученное решение), то интегрирование в (1), (2) происходит как в области видимости (однородные плоские волны), так и вне ее (неоднородные плоские волны).

Отметим, что в случае, когда область О совпадает с областью видимости а е [0, п\, в е [О,2 п \, функция (1) носит название волновой функции Герглотца (Herglotz wave function) [13]. В этой же работе приведены некоторые свойства функции Герглотца.

Далее при рассмотрении ар включения будем под ней понимать отклик в функции угла прихода плоской волны единичной амплитуды и нулевой фазы в точке ее геометрического центра. Под диаграммной функцией источника первичного поля принимаем амплитуду излученной им плоской волны с нулевой фазой относительно геометрического центра источника в функции угла. В случае когда u _inc ( x ) — излученное решение (здесь ( R , 8 , ф ) — координаты относительно центра источника)

• u ..* =      u ^Ty¹ e k    ' =

π -ТО-ТО z ^π

• -1 2п 2

= — j" d e j" u ( d ) e^{1 kR}(sin^a sin ⁸co^{s(в - ф ) + cos a cos 8} ) sin a d a ,   (3)

2 π _{0     0}

выражение (2) записывается в виде u „ (8, Ф, R о,8о,Фо) =

π o T-iTO ik π 2

= — J J u ( a , в ) u„ ( 8 , ф,a,в ) x

2 π _{0 0}

X e i kR o (sin a sin 8 o cos( в - ф o ) + cos a cos 8 o ) sin a d α d β .

Сравнение (4) с (2) дает лк .

g ( d ) = —u ( a , в ) e 2 π

i kR о (sin a sin 8 o cos( в - ф o ) + cos a cos 8 o )

Здесь uˆ(kx, ky) , uˆ(d), uˆ(α,β) — спектр плоских волн (диаграммная функция) первичного поля в записи от различных переменных. В (4) рас- сматривается геометрия, когда включение находится в начале координат, а источник находится в точке x = xo = (Xo,yo, zo) = (Rо,8о,Фо).

Далее, согласно [12], функция u„(8,ф,Rо,8о,фо) из (4) является решением уравнения Гельмгольца относительно переменных (R0 ,θ0 ,ϕ0) и может быть представлена в виде ряда u„ (8, ф, Ro ,8, ф) = —Fn(8,ф,8o, фо),(6)

то \ > т > O ‘ о * ' O 7 q                 / 7 D \ n         *' '

^R о n =O     ^{( kR} O )

где функции F_n ( θ , ϕ , θ ₀ , ϕ ₀ ) определяются из следующего рекуррентного соотношения:

F = —

n

. —— (sin 8O-^-) + 2in^ sin 8O d8O

1 S2

+ —2--^-T + n (n -1) I Fn 1, sin2 8O дфоJ а F0 равна

F o ( 8 , ф , 8 о , ф о ) = и(8 о ,Ф о ) u то ( 8 , ф , 8 o , ф о ).

Рассмотрим далее следующее пространство, состоящее из двух полупространств. Первое Л 1 = { ( x , y , z ) , x , y g R², z >  о } представляет собой однородное жидкое полупространство плотностью ρ и скоростью звука c . Второе Л ₂ = { ( x , y , z ) , x , y g R², z <  о } представляет собой в общем случае некоторое слоисто-неоднородное по переменной z полупространство и характеризуется коэффициентом отражения V ( 8 ) . Здесь, как обычно, под коэффициентом отражения V ( 8 ) понимается амплитуда отразившейся под углом θ в полупространство Л 1 от границы z = O плоской волны, вызванной падением из Л 1 на границу под углом п - 8 исходной плоской волны единичной амплитуды и нулевой фазы в начале координат (обычно в силу симметрии V ( 8 ) = V ( п - 8 ) в таких случаях говорят о равенстве углов падения и отражения). Пусть для простоты рассмотрения источник акустических колебаний является шарообразным телом радиусом a , обладает сферически симметричной внутренней структурой и излучает первичную сферическую волну давления p

Р ^{( x )} = ^P o

e i k x-x ₀

x-x ₀ ^.

Здесь x ₀ = ( 0,0, z 0 ) — координаты центра источника; x — координаты текущей точки; P ₀ — амплитуда сферической волны. Сам излучатель в поле сторонней первичной волны является рассеивателем. Также для простоты примем, что для рассеяния имеет место длинноволновое приближение для канонической ар (существенны только монопольный и дипольный моменты):

u „ ( x , d ) = A + 4 cos Y =

= A + A 1 (sin 6 sin acos(9 - в ) + cos 6 cos a ).    (10)

Здесь γ — угол между векторами x ˆ и d ; A ₀ и A ₁ — постоянные коэффициенты, зависящие от частоты и свойств включения и среды.

Пусть далее излучатель как рассеиватель приобрел ар u„ (x). Тогда вклад от перерассеянных волн будет определяться источником ik x-x0

P '( x ) = u „ ( x ) |-------1 .               (11)

x-x ₀

Результирующее поле с учетом границы раздела, таким образом, будет суммой полей, созданных исходным источником сферической волны (9) и источником, вызванным полем рассеяния (11), и может быть записано в следующем виде (вывод выражения, сходного с (11), для случая источника вида (9), но направленного и без учета рассеяния, дан в работе [15]):

i kr                        i kr                          i kr

P « Po — + PV(6i) — + u„(6,Ф)— + r               r1                r eikr1

+ u „ (n - 6 1 , Ф)V ( 6 1 )—.               (12)

Здесь r — длина прямого луча; r ₁ — длина луча от мнимого источника; θ , θ ₁ — углы падения от реального и мнимого источников соответственно в текущую точку x .

Таким образом, источник (он же рассеиватель) находится в точке x ₀ = ( 0,0, z ₀ ) , мнимый источник находится в точке x 1 = ( 0,0, - z ₀ ) . Источником первичного поля, вызывающего рассеяние, является мнимый источник. Его поле, очевидно, равно с учетом однократного отражения от границы

π

I X 2 π 2

/ \   k *■ k   Г f    1 k (sin a cos вх + sin a sin ву + ( z + z 0 )cos a )

^u inc ^{( x )} = P 0            e                            ^X

LIT J ^J π _{0 0}

x V ( a )sin a dadp.        (13)

Отсюда находим g ( d ) для поля u _inc(0,0, z ₀)

g (d) = RA12 kz0cos aV (a), 2π а следовательно, как видно из (5),

u(a, p) = P0V (a), или й(ев, Ф0) = u(60) = P V (60).          (14)

Далее, учитывая (10), получаем u x (6,Ф,60, Ф0) =

= A + A 1 (sin 6 sin 6 ₀ cos( ф - ф ₀ ) + cos 6 cos 6 ₀).

Учитывая, что 60 = 0 , получаем ux(6,ф,60 = 0,Ф0) = A0 + A1cos6 .         (15)

Тогда из (8) с учетом (14) и (15) имеем:

^ 0 ( 6 , ф , 6 0 = 0, ф 0 ) =

= F 0 6 ) = P, V (0) ( A 0 + A 1 cos 6 ) .            (16)

Из (6) в нулевом приближении имеем с учетом (16):

i kR 0

u x ( 6 , R ) ~ P 0 —V (0) ( A 0 + A 1 cos 6 ) =

R ₀

= P 0 e ^{i2 kz}^ V (0) ( A 0 + A 1 cos 6 ) .         (17)

2 z ₀

Здесь учтено, что R ₀ = 2 z ₀. Подставляя (17) в (12), для суммарного поля получаем следующее выражение:

ikr                        ikr ee

P = P1 + P2 ~ P0 — + P0 V (61)

rr i2kz0

+ P 0 —V (0) ( A 0 + A 1 cos 6 )— +

2z0

i2 kz ₀i

+ P0 —V(0)(A0 - A1cos61)V(61)—.(18)

2z0

Здесь p ₁ — поле исходного излучателя; p ₂ — поле рассеяния этого излучателя в поле вторичных волн, вычисленное в нулевом приближении:

i kr                        i kr 1

P 1 ~ P , — + P 0 V ( 6 1) — , r                r ₁

e i2 kz 0                                e i kr

Р2 ~ P0   V(0) ( A0 + Aicos 9 )

2z0

i2 kz ₀i

+ P — V (0) ( A - A icos 9 1 ) V(6 1 ) —;

2z0

( r,9 ) — координаты точки наблюдения относительно центра реального источника; ( r ₁, 9 ₁) — координаты точки наблюдения относительно центра мнимого источника.

ВЫВОДЫ

Таким образом, получено итоговое выражение (18), позволяющее рассчитывать суммарное поле исходного сферического источника и его поле рассеяния в длинноволновом приближении, вызванное границей раздела. Выражение получено в приближении однократного рассеяния и в нулевом приближении геометрооптических рядов. Отметим, однако, что все упомянутые ограничения могут быть сняты при необходимости повышения точности решения.