Прикладные и методические аспекты изучения дифференциальных уравнений студентами технических специальностей

1Полоцкий ГУ, г. Новополоцк, Беларусь 2Белорусский НТУ, г. Минск, Беларусь

В процессе проектирования обучения математике студентов технических специальностей необходимо учитывать ряд важных методических требований. Выделим основные из них: необходимость изложения большого объема материала по различ- дому из читаемых разделов дисциплины можно найти литературу, где приводятся примеры задач с уклоном в специальность обучаемого. Вместе с тем, необходимо отметить, что в ряде случаев данные задачи имеют весьма искусственные формулировки, которые не отражают объективные условия реальной жизни. Указанная проблема не возникает при изучении раздела «Дифференциальные уравнения», язык и инструментарий которого могут описывать бóльшую часть физических явлений и процессов. Моделирование с их помощью определенной прикладной ситуации позволяет решить также и определенный круг методических задач: формирование абстрактного мышления, умений анализировать поставленную проблему, систематизации имеющихся знаний и использования математического языка для описания реальных ситуаций окружающей среды.

По приложениям дифференциальных уравнений имеется много разноплановой и разноуровневой литературы. Например, известная монография В.В. Амелькина «Дифференциальные уравнения и приложения» может быть использована не только со студентами, но и в средней школе при работе с одаренными учениками. Многоплановое и разностороннее обобщение моделей на базе дифференциальных уравнений приведено в работе «Динамические системы и модели биологии» авторов А.С. Братуся, А.С. Новожилова и А.П. Платонова.

Одной из наиболее интересных и доступных для восприятия студентами нам представляется классическая модель Лотки – Вольтерра взаимодей- ствия двух популяций, которая описывается систе- мой уравнений:

dx

— = ⁽ a - by ) x ,

t dy

— = (-c + dx) y, I dt где a, b, c,

d > 0. Члены данной системы определяют следующие величины: ax – естественный прирост жертв в отсутствие хищников, byx – гибель жертв при встрече с хищником, cy – гибель хищников при нехватке пищи, dyx – прирост хищников за счет потребления жертв. Данная модель широко приме- няется при моделировании различных ситуаций, которые можно трактовать как один из случаев модели «хищник-жертва», имеет ряд модификаций в различных приложениях. Для технических специальностей отдельный интерес представляет построение на ее базе модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой. В процессе моделирования указанного взаимодействия роль жертвы отводится загрязнению, а роль хищника - природе. Основное предположение изучаемой модели состоит в том, что окружающая среда активно абсорбирует и перерабатывает загрязнение вплоть до некоторого предела. Построение модели выполняется в несколько этапов и позволяет детально ознакомиться и описать все нюансы взаимодействия системы: «окружающая среда - загрязнение». Заметим также, что помимо многообразия методических возможностей привлечения модели Лотки-Вольтерра на этапе обучения студентов математическому моделированию реальных процессов, она также может стать эффективным методологическим средством при изложении студентам основ качественной теории дифференциальных уравнений.