Приложение тройных интегралов

Геометрические приложения тройных интегралов

Геометрическое приложение - вычисление объема любого пространственного тела.

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой у=Kf ^х^у^-и

В цилиндрических координатах объем тела равен

У ⁼ Iff P^pdpdz

В сферических координатах, соответственно, используется формула

V ⁼ J'£f Р^п&^Р^Ф^-

<7

Пример

Найти объем шара x2 + y2 + z2 ≤ R2.

Решение.

Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y

≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. Получаем

%  5   %

и    w       ООО

В результате получена известная формула для объема шара радиусом R. Физические приложения тройных интегралов

Масса и статические моменты тела

Пусть тело занимает объем U и его объемная плотность в точке M(x,y,z) задана функцией ρ(x,y,z). Тогда масса тела m вычисляется с помощью тройного интеграла:

т =   ^^’ y^}dxdydz.

D’

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выражаются формулами

^^PPP^t^X²)^^- M^ = ^xp[x,y,z}dxdydz, М_кг = ^yp(x,y,z)dxdydz.

и                           и                           и

Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам:

Если тело является однородным с плотностью ρ(x,y,z) = 1 для точек M(x,y,z) в области U, то центр тяжести тела зависит только от геометрии тела и называется центроидом.

Моменты инерции тела

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz определяются выражениями

^rjJppf^J^^^A 4z = JJ^M*’^)^^’ /7г = JJp2p(*,;n,z)^^ и                           и                           и а моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy, Oz вычисляются по формулам

4 ⁼ /Ж^ + z²^p{x,y,z)dxdydz, 1_у = ДДх² + z²^p(x,y,z)dxdydz, 4 ⁼ ДИ*² + y²)p(x,y,z)dxdydz.

Как видно, справедливы соотношения

1=1+1 I =1 +1 I =1 +1

Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл

4 ⁼ /Ж^ ^"^ ⁺^'^p(x,y,z')dxdydz

Момент инерции относительно начала координат можно выразить через моменты инерции относительно координатных плоскостей:

^0 ⁼ Цу⁺ ^1⁺^г

Тензор инерции

Используя рассмотренные выше 6 чисел Ix, Iy, Iz, Ixy, Ixz, Iyz, можно составить так называемую матрицу инерции или тензор инерции тела:

Данный тензор является симметричным, и, следовательно, его можно привести к диагональному виду при определенном выборе осей Ox', Oy', Oz'. Значения диагональных элементов (после приведения тензора к диагональному виду) называются главными моментами инерции, а указанные направления - собственными векторами или главными осями инерции.

Если тело вращается вокруг оси, не совпадающей с главной осью инерции, то оно будет испытывать вибрации при высоких скоростях вращения. Поэтому, при конструировании таких устройств необходимо, чтобы ось вращения совпадала с одной из главных осей инерции. Например, при замене шин автомобиля проводится их балансировка: небольшие грузики добавляются к колесам, чтобы обеспечить совпадение оси вращения с главной осью инерции и исключить вибрации.

Гравитационный потенциал и сила тяготения

Ньютоновым потенциалом тела в точке P(x,y,z) называется интеграл

^(^.г)-Jfp(гл.^^^.

Г =-^-хр^гУ?^^

где ρ(ξ,η,ζ) - плотность тела, и                             .

Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы m и заданного распределенного тела с плотностью ρ(ξ,η,ζ) по формуле

F = ~Gm grad a, где G - гравитационная постоянная.

Пример

Найти массу шара радиуса R, плотность γ которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

Решение.

По условию, плотность γ задана соотношением γ = ar2, где a - некоторая постоянная, r - расстояние от центра. Массу шара удобно вычислить в сферических координатах: