Приложения метода Мюллера и принципа аргумента к задачам на собственные значения в механике деформируемого твердого тела
Автор: Матвеенко Валерий Павлович, Севодин Михаил Алексеевич, Севодина Наталья Витальевна
Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm
Статья в выпуске: 3 т.7, 2014 года.
Бесплатный доступ
Численная реализация ряда задач механики деформируемого твердого тела приводит к алгебраической проблеме действительных или комплексных собственных значений. При использовании дискретных численных методов, в частности, метода конечных элементов, как с точки зрения погрешностей соответствующего численного метода, так и с точки зрения механического содержания изучаемых задач, имеет смысл решать лишь частичную проблему собственных значений. Данное обстоятельство определяет требование к алгоритму, состоящее в том, что собственные значения должны находиться в порядке их возрастания. В работе предлагается алгоритм решения алгебраической проблемы собственных значений, основанный на использовании метода Мюллера. Демонстрируется, что алгоритм эффективен, но имеет лишь один недостаток, связанный с условием нахождения корней в порядке возрастания при решении алгебраической проблемы комплексных собственных значений. Для устранения этого недостатка к данному алгоритму предлагается дополнительная процедура на основе принципа аргумента. Описывается методика нахождения собственных значений, созданная на основе метода Мюллера и принципа аргумента. Приведены ссылки на работы, которые содержат приложения рассматриваемого алгоритма в задачах механики деформируемого твердого тела.
Алгебраическая проблема собственных значений, частичная проблема собственных значений, метод мюллера, принцип аргумента, комплексные собственные значения
Короткий адрес: https://sciup.org/14320733
IDR: 14320733 | УДК: 519.6/531 | DOI: 10.7242/1999-6691/2014.7.3.32
Applications of Muller’s method and the argument principle to eigenvalue problems in solid mechanics
Numerical implementation of the problems of solid mechanics leads to an algebraic problem of real and complex eigenvalues. Using discrete numerical methods, in particular, the finite element technique, it makes sense to solve only the partial eigenvalue problem both from the standpoint of errors of the corresponding numerical method and the mechanical content of the problems under study. This determines the requirement for an algorithm which implies that eigenvalues must be sought in ascending order. In the present paper, we propose an algorithm to solve an algebraic problem of complex eigenvalues using the Muller method. It is shown that even though the algorithm is an efficient one, it has a drawback related to the condition for evaluating roots in ascending order. In order to eliminate this disadvantage, we apply an additional procedure based on the argument principle to the developed algorithm. A technique for calculating eigenvalues that is built upon the Muller method and the argument principle is described. Relevant studies that demonstrate the use of the proposed algorithm for solving the problems of solid mechanics problems are discussed.
Список литературы Приложения метода Мюллера и принципа аргумента к задачам на собственные значения в механике деформируемого твердого тела
- Matveenko V.P., Kligman E.P. Natural vibration problem of viscoelastic solids as applied to optimization of dissipative properties of constructions//J. Vib. Control. -1997. -Vol. 3, no. 1. -Р. 87-102.
- Матвеенко В.П., Клигман Е.П., Юрлов М.А., Юрлова Н.А. Моделирование и оптимизация динамических характеристик smart-структур с пьезоматериалами//Физ. мезомех. -2012. -Т. 15, № 1. -С. 75-85.
- Troyanovskii I.Ye., Shardakov I.N., Shevelev N.A. The problem of the eigenvalues and modes of rotating deformable structures//J. Appl. Math. Mech. -1991. -Vol. 55, no. 5. -P. 733-740.
- Шевелев Н.А., Домбровский И.В. Численное моделирование динамического поведения пространственных элементов машиностроительных конструкций//Вычисл. мех. сплош. сред.-2008. -Т. 1, № 2. -С. 106-112.
- Шевелев Н.А., Домбровский И.В. Численный анализ динамических характеристик вращающихся деформируемых конструкций//Вычисл. мех. сплош. сред.-2010. -Т. 3, № 1. -С. 93-104.
- Bochkarev S.A., Matveyenko V.P., Shardakov I.N. Numerical analysis of panel flutter in shells of revolution//J. Vib. Control. -1997. -Vol. 3, no. 1. -Р. 33-54.
- Matveenko V.P., Nakaryakova T.O., Sevodina N.V., Shardakov I.N. Stress singularity at the vertex of homogeneous and composite cones for different boundary conditions//J. Appl. Math. Mech. -2008. -Vol. 72, no. 3. -Р. 331-337.
- Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз, 1963. -655 с.
- Lanczos C. An iteration method for the solution of the eigenvalue problem of linear differential and integral operators//J. Res. Nat. Bur. Stand. -1950. -Vol. 45, no. 4. -P. 255-282.
- Francis J.G.F. The QR transformation -Part 2//Comput. J. -1961. -Vol. 4. -P. 332-345.
- Кублановская В.Н. Методы и алгоритмы решения спектральных задач для полиномиальных и рациональных матриц//Численные методы и вопросы организации вычислений. XII, Зап. научн. сем. ПОМИ. -CПб.: ПОМИ, 1997. -Т. 238. -С. 7-328.
- Muller D.E. A method for solving algebraic equations using an automatic computer//Mathematical Table and Other Aids to Computation. -1956. -Vol. 10, no. 5. -P. 208-215.
- Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1973. -736 c.
- Protopopov V.V. Computing first order zeros of analytic functions with large values of derivatives//Numerical Methods and Programming. -2007. -Vol. 8. -Р. 311-316.
- Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. -М.: Наука, 1966. -Т. 2. -620 c.
