Применение априорных оценок интегральной нагрузки гиперболического уравнения Кирхгофа для его редукции к линейному уравнению
Бесплатный доступ
Целью работы является установление априорных оценок для интегральной нагрузки гиперболического уравнения Кирхгофа , моделирующего некоторые нелинейные колебательные процессы. В рассматриваемом случае нагрузкой является рациональная степень m/n линейной функции от нормы искомого решения в пространстве H1(Ω). Для достижения указанной цели производятся интегральные преобразования слагаемых скалярного произведения исходного уравнения и временной производной его решения. Применение интегрального неравенства типа Гронуолла–Беллмана приводит к искомым оценкам. Таким способом установлены априорные неравенства, ограничивающие интегральную нагрузку уравнения Кирхгоффа известной функцией, зависящей от правой части уравнения и начальных условий, а также от знака и вида показателя степени. Показан способ редукции уравнения Кирхгоффа к линейному уравнению путем замены интегральной нагрузки правыми частями этих оценок. Приведен пример такой редукции. Описанный способ установления априорных оценок и последующей редукции нелинейного уравнения к линейному может быть применен к широкому классу нагруженных уравнений, содержащих модуль интеграла рациональной степени искомой функции или ее производной.
Уравнение Кирхгофа, априорная оценка, интегральная нагрузка, редукция к линейному уравнению
Короткий адрес: https://sciup.org/147248178
IDR: 147248178 | УДК: 517.956.35 | DOI: 10.14529/mmph250201
Application of a priori Estimates of the Integral Load of the Kirchhoff Hyperbolic Equation for its Reduction to a Linear Equation
The aim of this work is to establish a priori estimates for the integral load of the Kirchhoff equation. This equation models some nonlinear oscillatory processes. Here, the load is the rational degree m/n of a linear function of the norm of the desired solution in the space H1(Ω). To achieve the specified goal, integral transformations of the terms of the scalar product of the original equation and the time derivative of its solution are performed. The application of Gronwall-Bellman type integral inequality leads to the desired estimates. A priori inequalities limiting the integral load of the Kirchhoff equation to a known function are established. This function depends on the right-hand side of the equation and the initial conditions, as well as on the sign and type of the exponent. The article shows a method for reducing the Kirchhoff equation to a linear equation by replacing the integral load with the right-hand sides of these estimates. An example of such a reduction is given. The described method of establishing a priori estimates and subsequent reduction of a nonlinear equation to a linear one can be applied to a wide class of loaded equations containing the modulus of the integral of the rational degree of the desired function or its derivative.
