Применение дробно-рациональных интерполяций для решения краевых задач с особенностями
Автор: Семисалов Борис Владимирович
Рубрика: Математическое моделирование
Статья в выпуске: 4 т.15, 2022 года.
Бесплатный доступ
Статья посвящена разработке, реализации и тестированию нового метода решения сингулярно-возмущенных краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными второго порядка в прямоугольной области. Для приближения решения в методе использованы прямые (тензорные) произведения дробно-рациональных функций, полученных из интерполяционных полиномов с узлами Чебышева, записанных в барицентрической форме, с помощью специальной замены переменной. Замена делается с целью адаптации положения узлов интерполяции к особенностям искомой функции и приводит к их сгущению в окрестности больших градиентов решения. Для аппроксимации нелинейных уравнений используется сочетание итерационного метода установления и метода коллокаций, что позволяет свести задачу на каждой итерации к решению матричного уравнения Сильвестра. Такой подход приводит к существенному снижению времени вычислений. Высокая эффективность метода продемонстрирована на примере тестовой краевой задачи в квадрате, решение которой имеет пик в центре области, обусловленный наличием у неизвестной функции полюса в комплексной плоскости.
Сингулярно-возмущенная краевая задача, дробно-рациональная интерполяция, метод коллокаций, быстрая сходимость
Короткий адрес: https://sciup.org/147240329
IDR: 147240329 | DOI: 10.14529/mmp220401
Список литературы Применение дробно-рациональных интерполяций для решения краевых задач с особенностями
- Achieser, N.I. Theory of Approximation / N.I. Achieser. – N.Y.: Frederick Ungar, 1956.
- Trefethen, L.N. Approximation Theory and Approximation Practice / L.N. Trefethen. – N.Y.: SIAM, 2013.
- Stahl, H.R. Best Uniform Rational Approximation of x
- on [0, 1] / H.R. Stahl // Acta Mathematica. – 2003. – V. 190. – P. 241–306.
- Nakatsukasa, Y. The AAA Algorithm for Rational Approximation / Y. Nakatsukasa, O. Sete, L.N. Trefethen // Journal on Scientific Computing. – 2018. – V. 40, № 3. – P. 1494–1522.
- Семисалов, Б.В. Быстрый нелокальный алгоритм решения краевых задач Неймана–Дирихле с контролем погрешности / Б.В. Семисалов // Вычислительные методы и программирование. – 2016. – Т. 17, № 4. – С. 500–522.
- Семисалов, Б.В. Об одном подходе к численному решению задач Дирихле произвольной размерности / Б.В. Семисалов // Сибирский журнал вычислительной математики. – 2022. – Т. 25, № 1. – С. 77–95.
- Riesz, M. ¨U ber einen Satz des Herrn Serge Bernstein / M. Riesz // Acta Mathematica. – 1916. – V. 40. – P. 43–47.
- Taylor, W.J. Method of Lagrangian Curvilinear Interpolation / W.J. Taylor // Journal of Research of the National Bureau of Standards. – 1945. – V. 35. – P. 151–155.
- Dupuy, M. Le calcul num´erique des fonctions par l’interpolation barycentrique / M. Dupuy // Comptes rendus de l’Academie des Sciences. – 1948. – V. 226. – P. 158–159.
- Salzer, H.E. Lagrangian Interpolation at the Chebyshev Points xn, = cos( /n), = O(1)n; Some Unnoted Advantages / H.E. Salzer // Computer Journal. – 1972. – V. 15. – P. 156–159.
- Бабенко, К.И. Основы численного анализа / К.И. Бабенко. – М.: Наука, 1986.
- Дзядык, В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В.К. Дзядык. – М.: Наука, 1977.
- Higham, N.J. The Numerical Stability of Barycentric Lagrange Interpolation / N.J. Higham // Journal of Numerical Analysis. – 2004. – V. 24, № 4. – P. 547–556.
- Schneider, C. Some New Aspects of Rational Interpolation / C. Schneider, W. Werner // Mathematics of Computation. – 1986 – V. 47. – P. 285–299.
- Tee, T.W. A Rational Spectral Collocation Method with Adaptively Transformed Chebyshev Grid Points / T.W. Tee, L.N. Trefethen // SIAM Journal on Scientific Computing. – 2006. – V. 28. – P. 1798–1811.
- Baltensperger, R. Exponential Convergence of a Linear Rational Interpolant Between Transformed Chebyshev Points / R. Baltensperger, J.-P. Berrut, B. No¨el // Mathematics of Computation. – 1999. – V. 68. – P. 1109–1120.
- Семисалов, Б.В. К вопросу о приближении гладких функций с погранслойными составляющими / Б.В. Семисалов, Г.А. Кузьмин // Труды Института математики и механики УрО РАН. – 2021. – Т. 27, № 4. – С. 111–124.
- Идимешев, С.В. Дробно-рациональная аппроксимация в начально-краевых задачах с фронтами / С.В. Идимешев // Вычислительные технологии. – 2020. – Т. 25, № 2. – С. 63–79.
- Gottlieb, D. Theory and Application of Spectral Methods / D. Gottlieb, M.Y. Hussaini, S.A. Orszag // Spectral Methods for Partial Differential Equations. – Philadelphia: SIAM, 1984. – P. 1–54.
- Blokhin, A.M. Numerical Method for 2D Simulation of a Silicon MESFET with a Hydrodynamical Model Based on the Maximum Entropy Principle / A.M. Blokhin, A.S. Ibragimova // SIAM Journal on Scientific Computing. – 2009. – V. 31. – P. 2015–2046.
- Schmidt, M. Setup and Test of a Laser Doppler Velocimeter for Investigations of Flow Behaviour of Polymer Melts / M. Schmidt, E. Wassner, H. M¨unstedt // Mechanics of Time-Dependent Materials. – 1999. – V. 3. – P. 371–393.
- Kosheleva, K.B. Modeling of the Three-Dimensional Flow of Polymer Melt in a Convergent Channel of Rectangular Cross-Section / K.B. Kosheleva, G.V. Pyshnograib, M.Yu. Tolstykhc // Fluid Dynamics. – 2015. – V. 50. – P. 315–321.
