Применение дробно-рациональных интерполяций для решения краевых задач с особенностями
Автор: Семисалов Борис Владимирович
Рубрика: Математическое моделирование
Статья в выпуске: 4 т.15, 2022 года.
Бесплатный доступ
Статья посвящена разработке, реализации и тестированию нового метода решения сингулярно-возмущенных краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными второго порядка в прямоугольной области. Для приближения решения в методе использованы прямые (тензорные) произведения дробно-рациональных функций, полученных из интерполяционных полиномов с узлами Чебышева, записанных в барицентрической форме, с помощью специальной замены переменной. Замена делается с целью адаптации положения узлов интерполяции к особенностям искомой функции и приводит к их сгущению в окрестности больших градиентов решения. Для аппроксимации нелинейных уравнений используется сочетание итерационного метода установления и метода коллокаций, что позволяет свести задачу на каждой итерации к решению матричного уравнения Сильвестра. Такой подход приводит к существенному снижению времени вычислений. Высокая эффективность метода продемонстрирована на примере тестовой краевой задачи в квадрате, решение которой имеет пик в центре области, обусловленный наличием у неизвестной функции полюса в комплексной плоскости.
Сингулярно-возмущенная краевая задача, дробно-рациональная интерполяция, метод коллокаций, быстрая сходимость
Короткий адрес: https://sciup.org/147240329
IDR: 147240329 | УДК: 519.632.4+519.651 | DOI: 10.14529/mmp220401
Application of rational interpolations for solving boundary value problems with singularities
In this paper, we develop, implement and test a new method for solving singularly perturbed boundary value problems for non-linear partial differential equations of the second order, which are posed in a rectangular domain. In order to approximate a solution, the tensor products of rational functions are used in the method. These functions are obtained from barycentric interpolation polynomials with Chebyshev nodes by means of a special change of variable. The purpose of this change of variable is to adapt the locations of interpolation nodes to singularities of the desired function, which leads to concentration of them in the neighborhood of large gradients of the solution. To approximate the non-linear equations, a combination of iterative and collocation methods is used. This allows to pass to the matrix Sylvester equation at each iteration and to reduce considerably the run time of algorithm. High computational performance of the method is demonstrated on the example of test boundary value problem in square domain with a known solution, which has a peak in the centre of the domain. Such singular behaviour is related with the presence of pole of the desired function in complex plain.
Список литературы Применение дробно-рациональных интерполяций для решения краевых задач с особенностями
- Achieser, N.I. Theory of Approximation / N.I. Achieser. – N.Y.: Frederick Ungar, 1956.
- Trefethen, L.N. Approximation Theory and Approximation Practice / L.N. Trefethen. – N.Y.: SIAM, 2013.
- Stahl, H.R. Best Uniform Rational Approximation of x
- on [0, 1] / H.R. Stahl // Acta Mathematica. – 2003. – V. 190. – P. 241–306.
- Nakatsukasa, Y. The AAA Algorithm for Rational Approximation / Y. Nakatsukasa, O. Sete, L.N. Trefethen // Journal on Scientific Computing. – 2018. – V. 40, № 3. – P. 1494–1522.
- Семисалов, Б.В. Быстрый нелокальный алгоритм решения краевых задач Неймана–Дирихле с контролем погрешности / Б.В. Семисалов // Вычислительные методы и программирование. – 2016. – Т. 17, № 4. – С. 500–522.
- Семисалов, Б.В. Об одном подходе к численному решению задач Дирихле произвольной размерности / Б.В. Семисалов // Сибирский журнал вычислительной математики. – 2022. – Т. 25, № 1. – С. 77–95.
- Riesz, M. ¨U ber einen Satz des Herrn Serge Bernstein / M. Riesz // Acta Mathematica. – 1916. – V. 40. – P. 43–47.
- Taylor, W.J. Method of Lagrangian Curvilinear Interpolation / W.J. Taylor // Journal of Research of the National Bureau of Standards. – 1945. – V. 35. – P. 151–155.
- Dupuy, M. Le calcul num´erique des fonctions par l’interpolation barycentrique / M. Dupuy // Comptes rendus de l’Academie des Sciences. – 1948. – V. 226. – P. 158–159.
- Salzer, H.E. Lagrangian Interpolation at the Chebyshev Points xn, = cos( /n), = O(1)n; Some Unnoted Advantages / H.E. Salzer // Computer Journal. – 1972. – V. 15. – P. 156–159.
- Бабенко, К.И. Основы численного анализа / К.И. Бабенко. – М.: Наука, 1986.
- Дзядык, В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В.К. Дзядык. – М.: Наука, 1977.
- Higham, N.J. The Numerical Stability of Barycentric Lagrange Interpolation / N.J. Higham // Journal of Numerical Analysis. – 2004. – V. 24, № 4. – P. 547–556.
- Schneider, C. Some New Aspects of Rational Interpolation / C. Schneider, W. Werner // Mathematics of Computation. – 1986 – V. 47. – P. 285–299.
- Tee, T.W. A Rational Spectral Collocation Method with Adaptively Transformed Chebyshev Grid Points / T.W. Tee, L.N. Trefethen // SIAM Journal on Scientific Computing. – 2006. – V. 28. – P. 1798–1811.
- Baltensperger, R. Exponential Convergence of a Linear Rational Interpolant Between Transformed Chebyshev Points / R. Baltensperger, J.-P. Berrut, B. No¨el // Mathematics of Computation. – 1999. – V. 68. – P. 1109–1120.
- Семисалов, Б.В. К вопросу о приближении гладких функций с погранслойными составляющими / Б.В. Семисалов, Г.А. Кузьмин // Труды Института математики и механики УрО РАН. – 2021. – Т. 27, № 4. – С. 111–124.
- Идимешев, С.В. Дробно-рациональная аппроксимация в начально-краевых задачах с фронтами / С.В. Идимешев // Вычислительные технологии. – 2020. – Т. 25, № 2. – С. 63–79.
- Gottlieb, D. Theory and Application of Spectral Methods / D. Gottlieb, M.Y. Hussaini, S.A. Orszag // Spectral Methods for Partial Differential Equations. – Philadelphia: SIAM, 1984. – P. 1–54.
- Blokhin, A.M. Numerical Method for 2D Simulation of a Silicon MESFET with a Hydrodynamical Model Based on the Maximum Entropy Principle / A.M. Blokhin, A.S. Ibragimova // SIAM Journal on Scientific Computing. – 2009. – V. 31. – P. 2015–2046.
- Schmidt, M. Setup and Test of a Laser Doppler Velocimeter for Investigations of Flow Behaviour of Polymer Melts / M. Schmidt, E. Wassner, H. M¨unstedt // Mechanics of Time-Dependent Materials. – 1999. – V. 3. – P. 371–393.
- Kosheleva, K.B. Modeling of the Three-Dimensional Flow of Polymer Melt in a Convergent Channel of Rectangular Cross-Section / K.B. Kosheleva, G.V. Pyshnograib, M.Yu. Tolstykhc // Fluid Dynamics. – 2015. – V. 50. – P. 315–321.
