Применение дважды непрерывно дифференцируемого S-сплайна

1.    Дважды непрерывно дифференцируемый 5-сплайн

Рассмотрим на отрезке [а, Ь] равномерную сетку xk=a + kh, k = О,...,К, h = (b-а)/К - шаг сетки. Разобьем отрезок [а, Ь] на группы, для этого введем ещё одну равномерную сетку ^=а + 1Н, Н = mh, те Z. Таким образом, переходя из одной группы в другую, мы осуществ ляем сдвиг системы координат и рассматриваем каждый I -й полином на отрезке [О,Л]. Пусть значения приближаемой функции на этой сетке у = [у0,уъ...,ук^еRx+1. Обозначим:

множество полиномов степени п с фиксированными коэффициентами а₀,а_х,а₂. Рассмотрим функционал:

м

Ут/+к) • к=0

В классе Pg ищется такой полином g_t, который минимизирует функционал

м ф' (м) = X (м(£ + kh) - yml+k )2   min(a3, а4,..., а„)

и удовлетворяет следующим условиям:

<''.=&-.(£,-£-.) = &-,(#). 4=£А^Н\ 4=^_,(Н), пр_И1^0,...,к-1.   (1)

Здесь при / = 0 g_l_₁(//) = g_L__x(H) есть условие периодичности 5-сплайна. Так как «;=^,(ох«:=«;(ох ^j=«7(о)/2, то условия (1) есть условия гладкой склейки двух последовательных полиномов. В непериодическом случае начальные коэффициенты а^,а^,а₂ задаются начальными условиями у₀,уд jJ/2¹. Можно предполагать, что значения заданной функции у_к известны с некоторой точностью, например, они есть результаты каких-либо измерений. Будем предполагать тогда, что с уменьшением шага к будет увеличиваться точность измерения, а

Математика

именно, будем предполагать, что если периодическая функция f е С⁶[а,Ь] задана в узлах равномерной сетки x_k=a + kh, к = О,...,К своими значениями у_к, то \у_к - f(x_k)\ < Ch^6+£, f > 0. Здесь L - число групп, на которые разбита исходная таблица значений приближаемой функции С⁶[а,Ь] или число полиномов, составляющих сплайн. Кроме того, здесь М+1 - количество точек осреднения, и+1 - количество точек, входящих в область определения Z-ro полинома gj, ^ - точка привязки полинома gj, М-т + 1 - число таких точек, значения которых участвуют при определении двух соседних полиномов, составляющих 5-сплайн, М >т + \. В дальнейшем степень полинома и = 5.

Определение, S-сплайном назовем функцию 5” _м{х) , которая совпадает с полиномом gi(x) на отрезке ^<х< £_/+1.

2.    Существование и единственность S-сплайна

Теорема 1. Пусть числа т и М >3 таковы, что собственные числа матрицы U не равны корню степени L из единицы (здесь L -число полиномов, составляющих сплайн). Тогда для любой периодической функции f(x), заданной на отрезке [а,Ь] своими значениями у_к в точках x_k=a + kh,h = (b-a)/К, существует и единственен периодический сплайн S_m ,м№)- Для непериодического случая условия на собственные числа матрицы U не требуется.

3.    Сходимость S-сплайна

Теорема 2. Пусть периодическая функция f(x)e С ⁶[а,Ь] и пусть выполнены предположения

\f(x_k)-y_k\6+s, в >0 .                                 (2)

Пусть, кроме того, собственные числа матрицы U по модулю меньше единицы. Тогда периодический сплайн S„ _м(х) с узлами на равномерной сетке имеет дефект 3 (т.е. S^_м(х) еС²[а,Ь]) и для х е [а,Ь] справедливы следующие оценки:

1           ахИ

/? = 0,1,2,3,4,5; х^^ при —3,4,5 .

Аналогичные оценки справедливы и для непериодического случая.

Теорема 3. Пусть £ = т/М <£*. Тогда при достаточно малых т и больших М собственные числа матрицы устойчивости по модулю меньше единицы.

Это условие устойчивости S-сплайнов аналогично условию устойчивости для кубического случая [1]. Для случая малых значений М (при 3 < М < 20 ) в результате расчета были получены значения собственных чисел матрицы U. Оказалось, что при т/М<£* <1 все собственные числа матрицы U меньше единицы. Некоторые наиболее интересные полученные значения т и М, при которых достигаются наименьшие значения max^l и аппроксимация S-сплайнами устойчива, представлены в таблице.

4.    Фундаментальный S-сплайн

Фундаментальный S-сплайн Bj(x) - это периодический или непериодический S-сплайн, построенный по данным у ^уо,/]»—,№)еК*⁺¹ и y'_oeR, y^eR вида: ^у₍ =бу;1,]-0,...,К^.

к

Легко видеть, что линейная комбинация ^y_}Bj(x) = S(x) является S-сплайном, приближаю-7=0

щам начальные данные {y^i = 0,...,К]. Заметим, что непериодические фундаментальные сплайны дополняются сплайнами с начальными условиями у'_о ,у^, принимающими значения 0 или 1.

Таблица

Собственные числа матрицы U

м	М	А	^2	Аз	max /^	т/М
4	2	-0,008	-0,231-0,131/	-0,231+0,131/	0,265	0,25
5	3	-0,005	0,0549-0,201/	0,0549+0,201/	0,207	0,60
6	2	0,0266	-0,285-0,129/	-0,285+0,129/	0,312	0,33
6	3	-0,008	-0,263-0,0463/	-0,263+0,0463/	0,266	0,50
7	2	0,0732	-0,167-0,305/	-0,167+0,305/	0,347	0,285
7	4	-0,0069	-0,0737-0,214/	-0,0737+0,214/	0,226	0,571
7	6	0,00218	0,116-0,207/	0,116+0,207/	0,237	0,857
8	4	-0,0079	-0,265-0,031/	-0,265+0,031/	0,266	0,50
8	5	-0,00403	0,101-0,178/	0,101+0,178/	0,204	0,625
8	7	0,00180	-0,0466-0,229/	-0,0466+0,229/	0,233	0,875
9	5	-0,00734	-0,124-0,201/	-0,124+0,201/	0,235	0,555
9	8	0,00134	-0,205-0,118/	-0,205+0,118/	0,236	0,888
10	5	-0,0078	-0,263-0,0407/	-0,263+0,0407/	0,266	0,50
10	6	-0,0055	0,0182-0,213/	0,0182+0,213/	0,213	0,60
11	7	-0,00322	0,141-0,147/	0,141+0,147/	0,203	0,636

• 5.    Одномерные квадратурные формулы 6-го порядка в

Рассмотрим интеграл ^f(x)dx. Аппроксимируем подынтегральную функцию 5-сплайном

А

сплайны в интеграл:

в в к        кВ      к

$S(x)dx = j^ y_kB_k(x)dx = ^Уь \B_k{x)dx = ^у_кс_к, А          А ^=0              к=0 а           ^=0

В           Д-1 5 дИк где ск = ^B^x^dx^^J^-^—H1^ - искомые коэффициенты квадратуры. Здесь а”к - i-a коэф-

А          „=0i=0^{z + 1}

фициент и-го полинома в А-м фундаментальном сплайне. Данные формулы имеют 6-й порядок аппроксимации.

• 6.    Двумерные квадратурные формулы б-го порядка для односвязных областей

На плоскости рассматривается область О с границей у, где у задана параметрически. В области рассматривается гладкая функция / (г,<р) . Поместим область в круг радиуса R и введём полярную сетку. Рассмотрим интеграл:

^f(r,

Представим подынтегральную функцию в виде разложения по фундаментальным 5-сплайнам 5-й степени:

f(r,

X X y_iJC_i(_<p)D_J(r) + O(h⁶) = S(r,_<p) + O(h⁶).

Подставив S(r,

в искомый интеграл, получим квадратурные формулы:

г_г1 к₂

^S(r,^)rdrdg> = ^ ^с^уУу , где c^iJ = ^C^DjWrdrdq).        (3)

Й                '=о 7=0                Й

Математика

Для вычисления коэффициентов c^lJ воспользуемся формулой Грина в полярной системе координат:

Q

1 дР_г' Г dtp ,

г dr dtp.

Для нашего случая положим Рг (г, ф) = 0,   Q^ (г, tp) = —С t (tp) ^tD} (f)dt, тогда г о

--(rQ )= С' (tp)D (г) и для квадратурных коэффициентов мы получаем формулы: г дг

c^ij = ^С, (ф) ^tDj (f)dt dtp. г ч о           >

Точность приближения квадратурных формул для круга

Кол-во полиномов	Точность полученной формулы	Коэфф-т улучшения
5	6,47x10-7
10	1,198х10-8	54,3
20	2,033x10"10	59
40	4,26x10’12	48

Точность приближения квадратурных формул для астроиды

Кол-во полиномов	Точность полученной формулы	Коэфф-т улучшения
5	1,28 хЮ-2
10	2,69x10^	47,5
20	4,77 x1g-6	56,4
40	1,03 хЮ-7	46,3

Рис. 1. Астроида

Пусть выполнены условия устойчивости матрицы U, т.е. т_х< М^*, т₂< М₂^ и пусть / g С⁶^^), где О^ ой, т.е. предполагается, что функция / непрерывна и шесть раз дифференцируема в несколько большей области. Пусть также h = тах(/г₁,й₂). Поместим область в круг К радиуса R. Введём полярную систему координат, взяв за начало координат центр круга К. Продолжим функцию / в K\Q_S тождественным нулём. Обозначим S(tp,r) - tp-r - сплайн, приближающий таким образом продолженную функцию / на круге К. Доказана следующая теор^арема 4. Пусть S(tp,r) - (р-г - сплайн, приближающий функцию f пусть (М-m)h< p(y_s,у). Здесь р(у^,у) - расстояние между границами областей О_г и О соответственно. Тогда справедлива оценка:

Xj-lX2-l

Q              <=0 у=0

Здесь y_tj = /(ф,г) - значения функции/ в узлах сетки, весовые коэффициенты c'^J определены формулой (4), суммирование производится лишь по тем индексам, для которых (ф^г^еС! _s.

7.    Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в односвязной области

Рассмотрим уравнение Пуассона в области D\

\ д ( ди г дЛ дг

(r,

С граничными условиями:

u(r’^)\dD=^r’^’

где граница области D задана параметрически:

Рис. 2. Область D, погруженная в круг радиуса 1

Уз sm(^>) + cos(^>) ’

Уз sin(^) - Уз cos(<^) ’

фе[0,л]

фе[л,5л/3]

Ф^ [5 л/3,2л-]

Поместим D в круг радиуса 1. Далее, будем рассматривать полярную систему координат с центром в центре круга. Построим полярную сетку по г и по ^.

Представим решение уравнения в виде:

К\-\К2-\

<г,ф)=^ YufiW»D№>                   (7)

г=0 у=1

где С,(ф) и Dj(f) - периодический и непериодический фундаментальные одномерные сплайны на отрезках [0,2л-] и [0, 1] соответственно. Домножим исходное уравнение на г. Теперь будем домножать полученное уравнение скалярно на Ci(

д'

D I

д2и дг2

Ъ 1 о2

Т- + --J Cl (ф)О_к (г)Мф = - [^(r, (p)Ci ty)D_k {r')r²drdф. dr г дф

D

Подставим в левую часть выражение (7):

Математика

Zuu \\(c^D^                       =

- Wpkr^C^D^r^drdtp.

D

Здесь существенно, что выражения, стоящие под знаком интеграла в левой части является произведением функции от переменной г на функцию от переменной <р, поэтому, применяя формулу интегрирования по частям, можно избавиться от производных высоких порядков (например, при решении уравнения ^u(r,

под знаком интеграла появятся производные 3-го и 4-го порядка от фундаментальных сплайнов, в то время как существует лишь непрерывная производная 2-го порядка, но интегрируя по частям, можно свести подынтегральное выражение к такому, в котором будут лишь производные 1 и 2 порядка).

Последнее уравнение ввиду произвольности выбора Ink представляет собой систему для определения коэффициентов и^. Чтобы сделать систему полной, необходимо учесть граничные условия, которые дадут недостающее число уравнений:

^иуС^Щг)

dD

Интегралы в (8) вычисляются при помощи квадратурных формул для области D, коэффициенты которых находятся по формулам:

Я f i c‘J = jc^tp) ^rDj(r)dr dtp +

5л/3       (r^fp)

2л

( гг(<Р)

О

<0

J Сф<р) | rDj(r)dr d(p+ j C^tp) J rDj(r)dr dtp,

к О

5л!3

1                          V3

где к фр) = —т=-------------, r₂ (^) =--г------■

V3 sin(^) + cos(^)          sin(^)-y3cos(^)

Из системы уравнений (8) и (9) получаем коэффициенты и^ разложения решения (7) по фундаментальным сплайнам, т.е. искомое приближенное решение.

Вышеописанным методом решалась задача:

• \ d (          1 д²и ,    .    . „

= (r,tp)eD

Jr dr \ dr ) г dtp                 .

М(Г>^)|Э£> =r2 sin2(^)-(r2 ~!)/4

При ^ = 12, ^2=6 точность решения составила 0,7927 x1g^-4 . График решения представлен на рис. 3.

Рис. 3. Решение уравнения Пуассона на области D