Применение интерактивных форм обучения при изучении элективных курсов на примере темы «Матрицы»

Современные требования федеральных образовательных стандартов включают в себя формирование навыков сотрудничества со сверстниками, участие в учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности [1, с. 6], что делает обязательным применение интерактивных форм обучения в рамках школьных программ. Также все большее внимание уделяется и включению в образовательный процесс различных элективных курсов, в рамках которых учащиеся могут углубить свои знания по интересующим их предметам и получить дополнительные полезные сведения. Для успешного преподавания таких элективных курсов (в силу того, что они не являются обязательными для всех школьников, и информация, получаемая на таких курсах, не входит в программы единых государственных экзаменов по изучаемым дисциплинам) учителю необходимо особенно тщательно подходить к вопросу о создании мотивации к изучению именно этого курса, поддерживать интерес к изучаемому материалу. Для этой цели очень уместным и эффективным является включение в уроки самых разнообразных интерактивных форм обучения. В настоящей ра- боте мы приведем несколько примеров того, как можно включать интерактивные формы в преподавание элективного курса по теме «Матрицы».

Наиболее распространенными формами являются проведение соревнований и работа по микрогруппам. Например, для закрепления умения вычислять определители матриц, учитель раздает карточки, на которых рядом с каждой буквой алфавита написано число. На доске выписываются определители, которые надо подсчитать и найти соответствующие буквы; дети, разбившись на группы, составляют из букв слово, которое может служить темой нового занятия. Задание можно выполнять на скорость, выделяя победителей.

При изучении правил умножения матриц можно провести деловую игру. Учащиеся вновь разбиваются на небольшие команды по 6-8 человек, и каждая команда придумывает себе некоторое производство и определяет себе 2-4 вида продукции, которую оно может выпускать из одних и тех же материалов (также применяются 2-4 типа материалов). Далее детям предлагается придумать нормы расхода материалов на каждый вид продукции и составить матрицу материальных затрат. В результате каждая команда составляет условие задачи, например, таким образом (аналогичные задачи рассматриваются, например, в работе [2, с. 3 – 7]): «Кондитерская фабрика выпускает карамель трех видов (дети придумывают названия каждому виду) и использует для этого сахар и сироп. Нормы расхода сахара и сиропа характеризуются матрицей:

А = 5 4 , 1 4 где каждый элемент показывает, сколько единиц сырья расходуется на производство килограмма продукции каждого вида». Затем каждая команда делает краткую (регламент – 30 с.) рекламу своей продукции, участники других групп подают свои заказы на продукцию данной фирмы. В результате получается вопрос задачи. Например, необходимо выпустить 100 кг карамели первого вида, 80 кг – второго вида, 130 кг – третьего вида, сколько килограммов сырья нужно закупить Вашей фирме. Далее дети самостоятельно или при наводящих вопросах учителя (которые обычно сводятся лишь к тому, чтобы уточнить, можно ли записать данные и результат, используя матрицы, как их удобно расположить, какой размер имеют данные матрицы, матрицей какого размера должен быть результат) находят решение, которое может выглядеть примерно следующим образом:

«План выпуска можно задать с помощью матрицы С:

С = (100 80 130),

Затраты сахара составляют 2 × 100 + 5 × 80 + 130 = 730 кг, а сиропа – 3 × 100 + 2 × 80 + 4 × 130=980 кг, по- этому затраты ресурсов можно записать в виде про- изведения матриц

S = C × A = (100 80 130) × 5 2 = (830 980).

1 4

Такую задачу каждая команда несколько раз реша- ет для своего производства и различных заказов от других команд. Ответы в письменной форме передаются учителю в виде заказов на сырье. Учитель контролирует правильность решения (в некоторых ситуациях проверку можно доверить отдельной группе учащихся – фирма поставщиков сырья). В результа- те многократного решения задачи для разных заказов дети приходят к выводу об удобстве матричной формы записи решения.

При изучении свойств матриц данную игру можно развить далее. Например, ассоциативный (соче- тательный) закон умножения матриц А(ВС) = (АВ)С можно проверить следующим образом.

Пусть цена 1 кг сахара – 30 рублей, а 1 кг сиропа – 20 рублей. Рассчитайте суммарную стоимость продуктов, необходимых для планового выпуска карамели. Решение: Цены на расходные материалы за- пишем в матрицу

В:

В =

Суммарные расходы можно рассчитать по формуле

R = 830 × 30 + 980 × 20 = 44500 руб., что допускает матричную запись

R = SB = (CA)B = (44500). Возможен и другой способ определения общих расходов на производство: сначала найдем матрицу стоимостей сырья на килограмм продукции каждого вида:

3 3150

\            \\

T = AB = 5 2 ×      = 190 ,

1 4110

а затем общую стоимость расходных материалов:

R = CT = C(AB) = (100 80 130) × 190 = (44500).

В зависимости от уровня обучающихся, каждая группа может проделать эти рассуждения индивидуально, либо, если дети более слабые, то можно организовать фронтальную дискуссию относительно поиска второго способа решения данной задачи, выбрав наиболее интересную задачу из предложенных командами. Учитель задает вопрос, нельзя ли сразу узнать расход средств на выпуск каждой единицы товара, не зная заранее размер заказа.

При изучении темы «обратная матрица» учащиеся могут быть включены в исследовательскую игру. В начале урока учитель описывает детям ситуацию.

Рассмотрим задачу, похожую на ту, которую вы решали на прошлом уроке, но пусть для производства конфет используются также сгущенное молоко (для изучения темы «обратная матрица» необходимо, чтобы рассматривалась квадратная матрица, на прошлом занятии таких матриц могло не быть). Матрица расходов записана на доске.

1 3 2

А = 3 2 1 .

1 4 5

Как подсчитать расходы сахара, сиропа и сгущенки, если необходимо выпустить 10 кг конфет первого типа, 20 кг – второго, 30 кг – третьего? Дети предлагают решение

1 3 2

(10 20 30) 3 2 1 = (100 190 190)

1 4 5

Ответ: требуется 100 кг сахара, 190 кг сиропа, 190 кг сгущенного молока.

Теперь поставим вопрос иначе: пусть имеется 200 кг сахара, 320 кг сиропа, 40 кг сгущенного молока. Как узнать, сколько конфет можно произвести?

Дети делятся на группы и обсуждают возможные решения. В результате могут быть получены решения разными способы. Например, задача может быть сведена к системе линейных уравнений или к матричному уравнению. В некоторых случаях решение может быть получено методом подбора, возможно рассмотрение частных случаев, в которых используется неполный объем продуктов. В таком случае целесообразно сравнить полученные решения и выбрать среди них экономически наиболее выгодное, а также наиболее рациональное с математической точки зрения. Если учащиеся затрудняются с поиском решения, то возможна следующая серия вспомогательных вопросов:

Как бы мы решали эту задачу, если бы у нас был только один вид продукта, и использовался только сахар? (В этом случае дети легко находят решение, так как задача сводится к простейшему линейному уравнению). Можно ли свести задачу к такому уравнению, если за неизвестную взять матрицу? Как будет выглядеть данное уравнение? (Уравнение имеет вид XA = B. В случае затруднения можно дополнительно рассмотреть случаи с двумя продуктами и двумя типами сырья). Как решать данное уравнение? Существует ли деление матриц? Каким действием можно заменить деление? (Умножением на обратное). Ученики сами отвечают на заданный вопрос, сообщают тему и задачи урока (обратная матрица).

Один из примеров применения алгебры матриц в практических задачах – задача межотраслевого баланса. Она состоит в нахождении матрицы валового (общего) выпуска Х, который при заданной матрице расходов А позволит выпустить на продажу заданное количество продукта (конечный продукта, обозначаемый матрицей В). «Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли. При этом каждая отрасль выступает с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями. Связь между отраслями отражается в таблице межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 году американским экономистом В. Леонтьевым» [3, с. 56]. Подобного рода задачи также возможно решать со школьниками в рамках элективного курса.

Урок-дискуссия. Описание проблемной ситуации. Пусть предприятие добывает уголь, а затем на тепловой электростанции вырабатывает электроэнергию. При добыче 1 тонны угля 7 % расходуется на внутренние нужды, также расходуется 0.14 единиц электроэнергии. При производстве электроэнергии на одну условную единицу расходуется 0.12 тонн угля, а также 10% электроэнергии расходуется на внутренние нужды. Определить, сколько всего необходимо добыть угля и выпустить электроэнергии (валовой продукт), если поступил заказ на приобретение 100 условных единиц электроэнергии и 200 тонн угля (конечный продукт).

Далее учитель предлагает детям составить матрицу расходов, с чем дети обычно справляются (необходимо обратить внимание на правильность перевода процентов в дробные доли). Далее задается вопрос, можно ли решать эту задачу аналогично тем, которые решались ранее. Дети обычно говорят, что да, можно просто умножить матрицу расходов на вектор конечного продукта. Тогда учитель спрашивает, а можно ли будет просто выпустить полученное количество угля и электроэнергии, хватит ли этого? После обсуждения дети приходят к выводу, что этого не хватит, на производство данного количества продукта нужны будут дополнительные расходы угля и электроэнергии (рассчитаны расходы только на ту часть продукции, которая будет продана, но не на ту, которая пойдет на внутреннее потребление). Далее можно определить эту часть и узнать, какие расходы будут нужны на данную прибавку, но опять можно прийти к выводу, что и данного результата не хватит, так как на производство этой прибавки ресурса вновь окажется недостаточно. Таким образом, дети делают вывод, что получается «бесконечная задача». Учитель предлагает найти выход из ситуации, обозначив количество производимого продукта за неизвестную матрицу. Тогда оказывается, что задача имеет решение: Если Х – это матрица общего выпуска, А – матрица расходов, а В – матрица продукта на продажу, то общий выпуск можно найти, сложив матрицу расходов для данного общего выпуска ХА и матрицу продукта на продажу. В результате, учащиеся приходят к матричному уравнению Х = ХА +В, которое решают с помощью вычисления обратной матрицы. На основании данного примера делается вывод о необходимости матриц в экономике (если в предыдущих примерах матрицы применялись только для удобства и более компактной записи решения, но были возможны другие способы решения тех же задач, то в данном случае решение вообще не удавалось получить без применения матриц). Подробное решение аналогичной задачи можно найти в работе [3, с. 58–59].

Математический турнир. Учащиеся разбиваются на две команды, команды получают задания на вычисление какого-то матричного выражения, содержа- щего, например, неизвестную степень матрицы. Например, вычислить:

nn

[ 11 1    । cos a - sin a i

• a) L , I б) I .                 I (и т.п.) [см. 4, с.84].

• ^ 0 1 )    ^ sin a cos a )

Каждая команда при этом должна не только найти ответ, но и доказать, что данный ответ является правильным для любой степени n. Такое доказательство, как правило, осуществляется методом математической индукции (см. [5, c. 11–12]). Одна из команд представляет свое доказательство, а другая выступает в качестве оппонента (задает вопросы, ищет неточности в доказательстве, указывает на недостаточно обоснованные места). Баллы в турнире начисляются не только за правильность предлагаемого решения, но и за оппонирование (грамотность вопросов, умение правильно вести дискуссию).

Матрицы применяются при решении систем по правилу Крамера [3, с. 40–42] или методом Гаусса [3, c. 44–46]. Для мотивации изучения систем также можно предложить деловые игры, базирующиеся на задачах экономического содержания. Примеры задач экономического содержания можно найти в работах [6, с. 69, с.76, с 106–107], [7, с 5–12], [8, с. 11–20], при этом в большинстве случаев для школьников желательно уменьшить количество условий и ограничений. Вполне достаточным будет использование задач с двумя неизвестными и двумя ограничениями, имеющих единственное решение, т. к. они не требуют применения оптимизационных методов (если количество часов, отведенных на элективных курс, позволяет это сделать, то вполне можно познакомить учащихся с простейшим оптимизационным способом решения таких задач – графическим методом; методика изложения вопроса для школьников изложена в статье [9, с. 17-24]). Описание примера того, как можно организовать дискуссию по данной теме можно найти в работе [10, с. 133].

Тема «матрицы» позволяет применять компьютерные технологии в обучении, учащиеся могут найти решения своих задач при помощи различных компьютерных средств [11, с. 81–87]. Можно с помощь матриц решить с учащимися задачу об оптимальном инвестировании [12, с. 950 – 954], а также предложить ученикам разработать программу (в Excel или в любой другой доступной программной среде) для решения данной задачи. Можно организовать конкурс проектов на лучшую программу для решения данной задачи (о методике организации проектов см. в работах [13 с. 81–83], [14, с. 96–98]). Возможно выполнение учащимися презентаций, посвященных тому, как матрицы применяются в теории кодирования [15, c. 180 – 182], [16, с. 66]; [17, с. 241–247], [18, с. 42–44]. Для детей, не интересующихся информатикой, можно предложить в качестве альтернативы выполнение проекта на историческую тематику [19, с. 133], [20, с. 43–45] (о создателях матричного исчисления, о К. М. Жордане [21, с. 204], о применениях матриц для задания комплексных [5, c. 68] и гиперкомплексных чисел [5, c.74–76] и создателе гиперкомплексных чисел У. Гамильтоне [21, c. 128])

или о применении матриц в геометрии (например, для описания поворотов [22, c. 138]).

Таким образом, можно заключить, что тема «Матрицы» предоставляет богатейшие возможности для применения интерактивных форм обучения, для включения в образовательный процесс междисциплинарных связей, для объяснения роли математики и для повышения заинтересованности школьников в ее изучении.