Применение метода вектор-функций Ляпунова к задаче нормирования воздействий

Задачи нормирования внешних воздействий возникли, прежде всего, в связи с проблемами охраны окружающей среды. Применительно к экологии задача нормирования состоит в определении для каждого из источников антропогенных воздействий таких пределов, при соблюдении которых исключаются нежелательные изменения природной среды и обеспечиваются приемлемые для здоровья человека условия [4]. Однако подобная постановка оказывается полезной и при решении других прак- тических проблем исследования или проектирования сложных систем, например химических, экономических, а также систем автоматического управления.

1.    Постановка обобщенной задачи нормирования

Рассматривается объект, динамика которого описывается системой

x = f ( t , x , p ), ^{x (} t o ) = x о e X o ,

Здесь x ( t ) e X ( t ) c R N - состояние объекта, X 0 - множество начальных состояний, вектор p -внешние воздействия или возмущения. Для каждого p e Р правая часть системы определена при t e T = [ 1 ₀ , t f ] и x e X ( t ). Предполагается, что решение системы (1) понимается в смысле Каратеодо-ри, существует и продолжимо на T для всех x ₀ e X ₀ и p e Р . Множество решений с данными x ₀ , p обозначим через X ( 1 0 , x 0 , p ).

Пусть даны множества Р c R" ⁰, 8 c R ” , Г c R nf , В c R^p , T f c ( 1 0 , +^ ), Л с P x 8 x Г x В x T f и заданы p ₀ (x ₀ ): X ₀ ^ R ” ⁰ - векторная функция оценки начальных состояний, p ( t , x ):( t e T , x e X ( t )) ^ R ” и p_f ( x ): X ( t f ) ^ R nf - вектор-функции, оценивающие, соответственно, текущее состояние и состояние в конечный момент времени, p p ( p ): Р ^ R np - векторная функция оценки текущих возмущений. Пусть фиксирован некоторый набор λ = { δ , ε , γ , β , t_f } из множества Λ .

С использованием введенных понятий определим свойство технической устойчивости S_T ( λ ) системы (1):

V x 0 ^e X 0 : p ₀ ⁽ x 0 ) <  5  V p ^{e p} : P p ⁽ p ) <  ^e

V x e X ( 1 ₀ , x ₀ , p )   V t e T  p ( t , x ( t )) <  s & p f ( x ( t f )) <  y .

Неравенства между векторами в (3) понимаются как покомпонентные.

Чтобы подчеркнуть зависимость свойства от данного λ , будем называть его также свойством λ -технической устойчивости.

Данное определение свойства технической устойчивости включает в себя известные определения ( A, Л , 1 ₀ , T ) -устойчивости по Четаеву [11], практической устойчивости [8], [9], [1], [13], [12] сильной и слабой Т-устойчивости [5]. При конкретизации заданий множеств допустимых текущих и начальных состояний и оценочных функций ρ ₀ , ρ , ρ_f в определении (3) свойство S_T ( λ ) можно получить из более общих понятий практической устойчивости, данных Р. Абдуллиным [7].

Обозначим через Л_х c Л множество наборов Л , с которыми выполняется свойство S_T ( Л ) . Пусть на множестве Λ определена скалярная функция ϕ ( λ ) . Теперь обобщенную задачу нормирования можно поставить следующим образом: найти min ф(Л) на множестве л П A s .

Данная постановка охватывает многие из известных, например задачу нормирования воздействий В. Гурмана, Г. Константинова [2], [3], [4].

Особенностью поставленной задачи нормирования является то, что ограничения в ней не записаны аналитически, а представлены в виде требования выполнения динамического свойства. Поэтому стандартные методы оптимизации, предполагающие знание и возможность вычисления выражений, описывающих критерий и ограничения, здесь неприменимы. В связи с этим естественно эту задачу решать следующим образом: формировать некоторые процедуры, позволяющие конструктивно проверять, по крайней мере, достаточные условия технической устойчивости. Это приводит к тому, что множество ΛS оптимизируемых значений параметра λ, допустимых требованием технической устойчивости, заменяется, вообще говоря, более узким множеством AS0 c AS, на котором выполнено достаточное условие технической устойчивости. В итоге вместо точного решения задачи мы получаем лишь верхнюю оценку критерия, которая тем точнее, чем ближе достаточные условия к точным условиям технической устойчивости. Если по смыслу задачи эта оценка нас устраивает, то можно считать, что мы имеем некоторый практически приемлемый способ решения задачи нормирования. Несмотря на то, что мы перешли к достаточным условиям технической устойчивости, которые также не заданы в виде формул, для них можно построить процедуру проверки, опираясь на методы функций Ляпунова. А сами способы решения задач оптимизации должны позволять применять процедурные (алгоритмически описанные) способы проверки ограничений. Одними из таких методов, например, являются генетические алгоритмы, реализованные в пакете Matlab.

2.    Достаточное условие λ- технической устойчивости

В настоящей работе предлагаются некоторые методы решения задачи, основанные на векторных дифференциальных неравенствах и вектор-функциях Ляпунова (ВФЛ).

Обозначим через U_ε = {( t , x ) : t ∈ T , x ∈ X ( t ), ρ ( t , x ) ≤ ε } множество состояний системы (1), допустимых свойством S_T ( λ ) (вектор ε в определении U_ε тот же, что в заданном наборе λ ).

Пусть на некотором открытом множестве Ωε ⊆ T × RN , содержащем Uε , определена непрерывная по t,x функция v(ε, t, x) со значениями в Rk . Будем предполагать, что функция v локально удовлетворяет условию Липшица по x ; кроме того, будем считать, что в каждой точке t,x v имеет вправо по t производную по любому направлению g ∈ RN v′(ε, t, x, g) ≡ lim (v(ε, t +α, x+αg) -v(ε, t, x)). α→0+ α

Согласно результатам из [6], в этом случае v имеет правую производную V в силу системы (1), вычисляемую по формуле

• V< £ , t , X , p ) = V ‘ (£, t , X , f ( t , X , p )).                                           (4)

В соответствии с определениями из [6] будем называть функцию v вектор-функцией Ляпунова (ВФЛ), если в Ω_ε выполнено векторное дифференциальное неравенство

• ^V ( ^£ , t , x , p ) <  f (^£, t , V(^£, t , x ), p_p ⁽ p )) ,                                   (5)

где функция f_c ( ε , t , y , p_c ) со значениями в R^k определена и удовлетворяет условиям Каратеодори [10] (непрерывна по y , измерима по t и локально ограничена суммируемой функцией) в области Y_ε ⊆ T × R^k , содержащей значения t , v ( ε , t , ⋅ ) , и удовлетворяет там условию Важевского (квазимонотонно не убывает по y : ∀ i =1, k f_cⁱ ( ε , t , y , p_c ) ≤ f_cⁱ ( ε , t , z , p_c ) если y ≤ z , yⁱ = zⁱ [7], [6]. ^,

Порожденная этой функцией fc система дифференциальных уравнений y = fc (£, t, У, pc ), (t, У )G Y£ , pc G ^c ^ Pp (^), ^c C Rn              (6)

называется системой сравнения (СС).

Положим Y_£ 0 ^ v ( 1 0 , X 0 ) и будем предполагать, что V y 0 е Y_£ 0 V p_c е P_c : p_c <  в , где в принадлежит набору λ , решения y ( t , t ₀ , y ₀ , p_c , ε ) системы (6) определены на T (так как f_c удовлетворяет условиям Каратеодори, рассматриваются К-решения СС). Множество решений СС с данными t ₀ , y ₀ , p_c , £ обозначим через У ( 1 0 , у 0 , p_c , £ ).

Имеет место следующая

Теорема. Пусть существует ВФЛ v ( ε , t , x ) , удовлетворяющая всем вышеперечисленным, а также следующим условиям:

• 1)    ∀ x ₀ ∈ X ₀ ∩ Ω_ε ( t ₀ ) v ( ε , t ₀ , x ₀ ) ≤ q ₀ ( ρ ₀ ( x ₀ )) ,

• 2)    ∀ t ∈ T ∀ x ∈ Ω_ε ( t ) ∩ X ( t ) ρ ( t , x ) ≤ q ( t , v ( ε , t , x )) ,

3)∀x∈Ωε(tf)∩X(tf) ρf(x)≤qf(v(ε,tf,x)), где q0(ρ0) , q(t, y) , qf (yf ) – неубывающие соответственно по ρ0 ∈ Rn0 , y , yf ∈ Rk вектор-функции со значениями в Rk , Rn , Rnf .

Пусть еще СС (6) обладает свойством X_c -технической устойчивости с р _{0 c} ( y ) ^ y , P c ⁽ t , y ) = q ⁽ t , y ), P ffc ⁽ y )= q f ⁽ y ), P pc ⁽ P c ) = P c и ^ c = ^{{ 5} c , ^S c , Y c , P c , t f }, где ⁵ c = q 0 ^{( 5} ), ^S c = ^S , Y c = Y , β_c = β , т.е. выполняется свойство S_Tc ( λ_c ) :

^V У 0 ^{G Y} s 0 :   P o c ⁽ У 0 ) <  5 c  V P c G P c : P pc ⁽ P c ) <  ^в

^V y ⁽ t ) ^G J ⁽ t o , y o , P c , s )   ^V t ^G T  P c ( t , y ⁽ t )) <  S c &  P fc ⁽ y ⁽ t f )) <  Y c .

Тогда система (1) λ -технически устойчива.

Теорема обобщает достаточные условия практической устойчивости с ВФЛ из [8]. Когда практическая устойчивость понимается в смысле, данном нашим определением S_T ( λ ) , она охватывает также результаты Р.Абдуллина [7], являясь более удобной для применения и вычисления необходимых количественных оценок.

• 3.    Построение ВФЛ и СС для квазилинейных систем

Процедуру построения вектор-функции Ляпунова и системы сравнения рассмотрим для систем следующего вида x = Ax + Bg (t, x, p),                                        (8)

где A , B - постоянные матрицы размерности N x N и N x m соответственно, p - внешнее воздействие (возмущение) с оценочной функцией ρ_p .

Относительно нелинейности g ( t , x , p ) предполагается, что при всех t g T , x g X ( t ) , p g P

I g ( t , x , p )| <  H o ^ 0 x | + НФ(\GX |) + D^ ( P p ),                       (9)

где H, Go, H , G , D - матрицы размерностей соответственно m x m , m x N , m x m,, m x N и 0     0                                                                                                   g0      g0                   f g mm m x m . Модули понимаются как покомпонентные. Вектор-функция Ф(R): R g ^ R f непрерывна, 0

не убывает в области определения, Ф (0) = 0; вектор-функция У ( P_p ): Rn^p ^ R ^f 0 не убывает по P_p .

Оценочные функции ρ ₀ , ρ , ρ_f в свойстве (3) считаются определенными следующим образом:

P 0 ( ^x 0 ) = R 0 ^x |, P ( ^x ) = I Rx l, P f ( ^x ) = | ^R f ^x |,                         ⁽¹⁰⁾

где R ₀ , R , R_f – матрицы соответствующих размерностей, причем R ₀ имеет ранг N (и значит, n 0 ^ ^{N ).}

Следуя [7], в качестве ВФЛ будем использовать вектор-функции с компонентами, образуемыми из модулей линейных форм фазовых переменных,

v ( x ) = Sx ,                                        (11)

показавших себя одними из наиболее эффективных в приложениях; они позволяют конструктивно провести необходимые построения и вычисление количественных оценок. Здесь S – неособенная, вообще говоря, комплексная N x N матрица, преобразующая матрицу A к почти диагональной форме.

Для введенной ВФЛ (11) система сравнения, соответствующая системе (8), получается явно и имеет вид:

y = Py + МФ ( Ky ) + NP ( p_c ),                          (12)

где P = xkw + I B ? IH ₀ I G ₀ S - |, xkW = ( a jj ) - позитивная матрица размерности N x N , образуемая из

.4 по правилу a ii = Rea ii , a ij =| ii j | при i ^ j , i , j = 1, N , ^k = SAS ¹, Й = SB , M =| J B | H , K =| GS -1|, N =| B I D , P c = P p .

В условиях 1) – 3) теоремы можно принять q ₀ ( ρ ₀ ) = Q ₀ ρ ₀ , q ( y ) = Qy , q_f ( y ) = Q_f y , где постоянные неотрицательные матрицы Q , Q ₀ , Q_f вычисляются по формулам:

Q 0 =| SR 0 |, Q =| RS ^{- 1} |, Q f =| R f S "^,|.

Здесь R 0 - полуобратная к R ₀ (размерности N x n ₀ ) такая, что R 0 R = I_N .

Замечание . Матрицы H ₀ , H и функция Φ в оценках (9) могут также зависеть от ρ_p ( p ) , являясь неубывающими по ρ_p ( p ) .

4.    Пример: две параллельные реакции

В реакторе полного смешения протекают две параллельные реакции [4]. Вещество A превращает-

k 1

k 2

ся в продукты реакции B и C по схеме A ^ B , A ^ C .

Обозначим через x , y концентрации продуктов A и B в рабочем объеме реактора. Уравнения модели процесса имеют вид:

.x = q ( u — x ) — k 1 x ² — k ₂ x , V_q

• У = ^k i ^{x —} -y ,

где V – рабочий объем реактора, q – скорость подачи сырья в реактор (скорость входного потока), u – концентрация продукта A во входном потоке. В дальнейшем параметры q , V , k ₁ , k ₂ считаются постоянными.

В нормальном режиме работы реактора будем считать процесс установившимся; состояние равновесия обозначим ( x , y ) , а соответствующую концентрацию вещества A во входном потоке u .

В соответствии с технологическими требованиями на выходе из реактора допустимы колебания концентрации x и y в пределах:

x min <  x <  x max , y„_; <  y <  y„ . y min y y max .

Требуется определить допустимые пределы отклонения концентрации вещества A во входном потоке от u , при которых ограничения (14) не будут нарушены в течение заданного времени t_f .

Обозначим

a ₁ = q^ , u ( t ) = u + Au ( t ), a ₁ u = / ₁ , a ₁ + k ₂ = / ₂ и перепишем систему (13) в виде

x = γ ₁

-

Y 2 x — k ₁ x 2 + a ₁ Au ,

y = k 1 x ² — a 1 y .

Положим

Р о = ( | x _ y | ) ,     5 = 0 , р = col⁽ x , ^— x , y , ^— y ), P f _f =col⁽ x ⁽ t f ), ^— x ⁽ t f ), y ⁽ t f ), ^— y ⁽ t f )),

ε = γ = col( x _max ,

• ^— x min , У max , — У min ) , P p = 1 ^Au I , ^в = w , ^T = ^[0, t f ^], x ⁽⁰⁾ = x , у ⁽⁰⁾ = y ^{. Т} огДа сформУлиро^-

• ванная задача является задачей нормирования с критерием ф(Х) = — w.

Поскольку правые части системы (15) удовлетворяют условиям Важевского, в качестве ВФЛ здесь может быть использована простейшая вектор-функция v = ( V ) , где v 1 = ( x ) , v ₂ = ( — x ) , для которой, учитывая, что x _min <  x <  x _max , очевидным образом получается линейная СС

( Y 1 ^{— (} / 2 ^{+ k} 1 x min ) z 1 ^{+ а} 1 w )

z =

k 1 x max z 1

—

α ₁ z ₂

^— Y 1 ^{— (} Y 2 ^{+ k} 1 x max ) z 3 ^{+ a} i w

X ^k 1 x min z 3 — ^a i z 4 ,

,

z ₁ (0) = x (0), z ₂ (0) = y (0), z 3 (0) = — x (0), z 4 (0) = — y (0). По теореме Важевского ее решения мажорируют решения исходной системы (13). Окончательно получаем, что технологический процесс не нарушится при отклонениях во входном потоке вещества A | Δu | не превышающих w = w = min{ w _*, w ^*} , где

_ ( z 3 (0) e tf ^(Y 2 ^{+ k} 1 x max ) ⁺ x m™X.Y 2 ⁺ k i x max ) Y 1

w*--7-----П----a---x а1 Г e-5(.2+ kxmax) - Л

* _ (z1(0) e tf (Y2 + k1 Xmm) - x max)(Y 2 + ki xmin) Y1 w--7---------1------X----x

• -5( Y + kx ) a11 e (Y 2 1 ™nV -11

Таким образом, использование метода ВФЛ в этом примере позволяет решить задачу в аналитической форме.

Заключение

Особенностью предложенной обобщенной постановки задачи нормирования внешних воздействий является то, что ограничения в ней представлены в виде требования выполнения свойства λ -технической устойчивости. Использование векторных дифференциальных неравенств и вектор-функций Ляпунова позволяет конструктивно проверять достаточные условия данного динамического свойства. Эффективность предлагаемого подхода демонстрируется на примере решения задачи о назначении допусков на концентрации реагентов во входных потоках химического реактора полного смешения.