Применение некоторых численных методов для решения систем с линейным запаздыванием
Автор: Гребенщиков Борис Георгиевич, Загребина Софья Александровна, Ложников Андрей Борисович
Рубрика: Математика
Статья в выпуске: 1 т.15, 2023 года.
Бесплатный доступ
Рассматриваются возможности применения некоторых модифицированных численных методов для уравнений с запаздыванием, линейно зависящим от времени (аргумента). Поскольку запаздывание неограниченно возрастает, требуется применять также некоторые асимптотические методы при анализе поведения решения таких систем. В статье будут установлены асимптотические свойства исследуемых систем, существенно влияющих на точность численного подсчета. Именно, ввиду неограниченности запаздывания, в случае неустойчивости решения систем с запаздыванием для выяснения свойств решения подобных систем полезно знать асимптотические свойства производных, имеющих порядок больше единицы. Зачастую (при условиях, сформулированных в статье) данные производные стремятся к нулю при неограниченном увеличении времени. Это свойство позволяет достаточно эффективно применять некоторые численные методы конечного порядка (метод Рунге-Кутты, модифицированный метод Эйлера с пересчетом и т. д.). В качестве иллюстрации эффективности разработанных методов в статье будет показано применение некоторых модифицированных методов численного счета для изучения процесса вертикальных колебаний полоза токоприемника, движущегося с постоянной скоростью локомотива при взаимодействии с контактным проводом при наличии эластичного закрепления на опоре. Численные методы, изложенные в статье, позволяют исследовать асимптотическое поведение и более сложных систем, содержащих как постоянное, так и линейное запаздывание. Отметим, что применение численных методов для подсчета решения зачастую позволяет выявить не только неустойчивость решения исследуемых систем, но и может быть использовано при стабилизации некоторых систем, содержащих неограниченное (не обязательно линейное) запаздывание.
Линейное запаздывание, численные методы, асимптотическая устойчивость
Короткий адрес: https://sciup.org/147239476
IDR: 147239476 | DOI: 10.14529/mmph230101
Список литературы Применение некоторых численных методов для решения систем с линейным запаздыванием
- Гребенщиков, Б.Г. Асимптотическое поведение решения одной стационарной системы с запаздыванием / Б.Г. Гребенщиков, В.И. Рожков // Дифференц. уравнения. – 1993. – Т. 29, № 5. – C. 751–758.
- Гребенщиков, Б.Г. О неустойчивости одной системы с линейным запаздыванием / Б.Г. Гребенщиков, С.И. Новиков // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2010. – № 2. – С. 3–13.
- Ким, А.В. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений / А.В. Ким, В.Г. Пименов. – Москва, Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004. – 255 c.
- Штеттер, Х.И. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений / Х.И. Штеттер. – Москва: Мир, 1978. – 461 с.
- On a Functional Differential Equation / L. Fox, D.F. Mayers, J.R. Ockendon, A.B. Tayler // IMA Journal of Applied Mathematics. – 1971. – Vol. 8, Iss. 3. – P. 271–307.
- Ockendon, J.R. The Dynamics of a Current Collection System for an Electric Locomotive / J.R. Ockendon, A.B. Taylor // Proceedings of the Royal Society of London A – Mathematical and Physical Sciences. – 1971. – Vol. 322, no. 1551. – P. 447–468.
- Гребенщиков, Б.Г. Об ограниченности решений неоднородных систем с запаздыванием, линейно зависящим от времени / Б.Г. Гребенщиков // Устойчивость и нелинейные колебания: сб. науч. тр. – Свердловск: УрГУ, 1986. – С. 7–12.
- Сесекин, А.Н. Об одной математической модели управления инвестициями, приводящей к системе с постоянным и линейным запаздываниями / А.Н. Сесекин, А.С. Шляхов // Итоги науки и техники. Серия «Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры». – 2021. – Т. 192. – С. 111–116.
- Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Кук. – М.: Мир, 1967. – 548 с.
- Халанай, А. Качественная теория импульсных систем / А. Халанай, Д. Векслер. – М.: Мир, 1971. – 309 с.
- Красовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н.Н. Красовский. – М.: Физматгиз, 1959. – 211 с.
- Гребенщиков, Б.Г. Об устойчивости нестационарных систем с большим запаздыванием / Б.Г. Гребенщиков // Устойчивость и нелинейные колебания: сб. науч. тр. – Свердловск: УрГУ, 1984. – С. 18–29.
- Гребенщиков, Б.Г. Об устойчивости линейных систем с постоянным запаздыванием и экспоненциальными коэффициентами / Б.Г. Гребенщиков // Математический анализ. Вопросы теории, истории и методики преподавания: межвуз. сб. науч. тр. – Л. : [б. и.], 1990. – С. 138–148.
