Применение некоторых численных методов для решения систем с линейным запаздыванием
Автор: Гребенщиков Борис Георгиевич, Загребина Софья Александровна, Ложников Андрей Борисович
Рубрика: Математика
Статья в выпуске: 1 т.15, 2023 года.
Бесплатный доступ
Рассматриваются возможности применения некоторых модифицированных численных методов для уравнений с запаздыванием, линейно зависящим от времени (аргумента). Поскольку запаздывание неограниченно возрастает, требуется применять также некоторые асимптотические методы при анализе поведения решения таких систем. В статье будут установлены асимптотические свойства исследуемых систем, существенно влияющих на точность численного подсчета. Именно, ввиду неограниченности запаздывания, в случае неустойчивости решения систем с запаздыванием для выяснения свойств решения подобных систем полезно знать асимптотические свойства производных, имеющих порядок больше единицы. Зачастую (при условиях, сформулированных в статье) данные производные стремятся к нулю при неограниченном увеличении времени. Это свойство позволяет достаточно эффективно применять некоторые численные методы конечного порядка (метод Рунге-Кутты, модифицированный метод Эйлера с пересчетом и т. д.). В качестве иллюстрации эффективности разработанных методов в статье будет показано применение некоторых модифицированных методов численного счета для изучения процесса вертикальных колебаний полоза токоприемника, движущегося с постоянной скоростью локомотива при взаимодействии с контактным проводом при наличии эластичного закрепления на опоре. Численные методы, изложенные в статье, позволяют исследовать асимптотическое поведение и более сложных систем, содержащих как постоянное, так и линейное запаздывание. Отметим, что применение численных методов для подсчета решения зачастую позволяет выявить не только неустойчивость решения исследуемых систем, но и может быть использовано при стабилизации некоторых систем, содержащих неограниченное (не обязательно линейное) запаздывание.
Линейное запаздывание, численные методы, асимптотическая устойчивость
Короткий адрес: https://sciup.org/147239476
IDR: 147239476 | УДК: 517.9 | DOI: 10.14529/mmph230101
The application of numerical methods to solve linear systems with a time delay
This paper considers the application of modified numerical methods for solving differential equations with a delay which linearly depends on time. Since the delay increases indefinitely, it is also necessary to apply asymptotic methods to analyze the behavior of the solutions of such systems. The paper establishes the asymptotic properties of the systems under study, which significantly affect the accuracy of the numerical calculation. Given the unbounded delay and the instability of the solutions and to clarify the properties of the solution of such systems, it is useful to know the asymptotic properties of the derivatives having an order greater than one. Under the conditions formulated in the article, these derivatives tend to zero as t→∞. This property makes it possible to apply finite-order numerical methods (such as the Runge-Kutta method and the modified Euler method). As an illustration of the effectiveness of the methods developed, the article calculates the vertical oscillations of a locomotive pantograph moving at a constant speed when interacting with the contact wire. The numerical methods allow the study of the asymptotic behavior of more complex systems containing both constant and linear delay. Note that the use of numerical methods for calculating the solution reveal the instability of the solution of the systems under study and can be used to stabilize some systems containing an unlimited (not necessarily linear) delay.
Список литературы Применение некоторых численных методов для решения систем с линейным запаздыванием
- Гребенщиков, Б.Г. Асимптотическое поведение решения одной стационарной системы с запаздыванием / Б.Г. Гребенщиков, В.И. Рожков // Дифференц. уравнения. – 1993. – Т. 29, № 5. – C. 751–758.
- Гребенщиков, Б.Г. О неустойчивости одной системы с линейным запаздыванием / Б.Г. Гребенщиков, С.И. Новиков // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2010. – № 2. – С. 3–13.
- Ким, А.В. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений / А.В. Ким, В.Г. Пименов. – Москва, Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004. – 255 c.
- Штеттер, Х.И. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений / Х.И. Штеттер. – Москва: Мир, 1978. – 461 с.
- On a Functional Differential Equation / L. Fox, D.F. Mayers, J.R. Ockendon, A.B. Tayler // IMA Journal of Applied Mathematics. – 1971. – Vol. 8, Iss. 3. – P. 271–307.
- Ockendon, J.R. The Dynamics of a Current Collection System for an Electric Locomotive / J.R. Ockendon, A.B. Taylor // Proceedings of the Royal Society of London A – Mathematical and Physical Sciences. – 1971. – Vol. 322, no. 1551. – P. 447–468.
- Гребенщиков, Б.Г. Об ограниченности решений неоднородных систем с запаздыванием, линейно зависящим от времени / Б.Г. Гребенщиков // Устойчивость и нелинейные колебания: сб. науч. тр. – Свердловск: УрГУ, 1986. – С. 7–12.
- Сесекин, А.Н. Об одной математической модели управления инвестициями, приводящей к системе с постоянным и линейным запаздываниями / А.Н. Сесекин, А.С. Шляхов // Итоги науки и техники. Серия «Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры». – 2021. – Т. 192. – С. 111–116.
- Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Кук. – М.: Мир, 1967. – 548 с.
- Халанай, А. Качественная теория импульсных систем / А. Халанай, Д. Векслер. – М.: Мир, 1971. – 309 с.
- Красовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н.Н. Красовский. – М.: Физматгиз, 1959. – 211 с.
- Гребенщиков, Б.Г. Об устойчивости нестационарных систем с большим запаздыванием / Б.Г. Гребенщиков // Устойчивость и нелинейные колебания: сб. науч. тр. – Свердловск: УрГУ, 1984. – С. 18–29.
- Гребенщиков, Б.Г. Об устойчивости линейных систем с постоянным запаздыванием и экспоненциальными коэффициентами / Б.Г. Гребенщиков // Математический анализ. Вопросы теории, истории и методики преподавания: межвуз. сб. науч. тр. – Л. : [б. и.], 1990. – С. 138–148.
