Пример двойной группы Фробениуса порядковыми компонентами как у простой группы S_4 (3)

Пусть G — конечная группа. Обозначим через ш ( G ) спектр группы G, т. е. множество всех порядков ее элементов. Множество ш ( G ) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга—Кегеля) GK (G) группы G, в котором вершинами служат простые делители порядка группы G и две различные вершины p и q соединены ребром тогда и только тогда, когда pq Е ш ( G ) . Обозначим число компонент связности графа GK (G) через s = s(G), а множество его связных компонент — через { n i (G) | 1 6 i 6 s } ; при этом для группы G четного порядка считаем, что 2 Е n i (G). Для натурального числа n обозначим через п(п) множество всех простых чисел, делящих n. Тогда | G | можно записать в виде произведения m 1 • m 2 • ... • m s , где m i — натуральные числа с n(m i ) = n i (G) для i = 1,..., s. Числа m i , m 2 ,..., m s называются порядковыми компонентами группы G. Пусть OC (G) = { m i , m 2 , ..., m s } — множество порядковых компонент группы G.

Группа G называется двойной группой Фробениуса, если G = ABC , где A, AB — нормальные подгруппы группы G , и AB , BC — группы Фробениуса с ядрами A , B и дополнениями B , C соответственно. Через F 20 обозначим группу Фробениуса порядка 20.

В [2, § 4] сформулирована следующая

Гипотеза. Если G — конечная неабелева простая группа с несвязным графом GK (G) и H — конечная группа с OC (G) = OC ( H ) , то G = H.

Работа [4] открыла большой цикл работ, в которых эта гипотеза была подтверждена для многих конечных неабелевых простых групп.

В статье [6] утверждается, что конечная неабелева простая группа не может иметь то же множество порядковых компонент, как у группы Фробениуса или двойной группы Фробениуса.

В этой заметке мы строим пример двойной группы Фробениуса H c OC ( H ) = OC (S ₄ (3)), где S 4 (3) обозначает простую симплектическую группу степени 4 над полем порядка 3. Тем самым мы получаем контрпример к утверждению из [6] и к упомянутой гипотезе.

• ¹    Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 07-01-00148.

  
  

Зиновьева М. Р., Кондратьев А. С.

Заметим, что в статье первого автора [1] доказано, что конечная простая группа, изоспектральная двойной группе Фробениуса, изоморфна U 3 (3) или S 4 (3).

Наши обозначения и терминология взяты из [3, 5].

Пусть G = S 4 (3). Тогда s(G) = 2, m i = 2 6 • 3 4 , m 2 = 5. Построим двойную группу

Фробениуса H = ABC , где | А | = 2 4 • 3 4 , | В | = 5, | С | = 4. Так как A — ядро группы

Фробениуса AB, то A нильпотентна, а значит A = A2 х A3, где A2 — силовская 2- подгруппа в A и A3- силовская 3-подгруппа в A. Предположим, что 1 < Ф(A2) < A2. Так как числа 2, 4, 8 не сравнимы с 1 по модулю 5, то Ca2 (B) = 1, противоречие. Значит, Ф^2) = 1, поэтому подгруппа A2 элементарная абелева. Аналогично, подгруппа A3 элементарная абелева.

Убедимся, что в группах GL 4 (2) и GL 4 (3) есть подгруппа, изоморфная F 20 . Рассмотрим сначала группу GL 4 (2) = A § . Пусть X = { i | 1 6 i 6 8} — множество точек, на котором естественно действует группа S g , E = { 1, 2, 3,4, 5 } С X. Стабилизатор в S 8 подмножества E равен L i х L 2 , где L i = S(E) = S 5 , L 2 = S (X \ E ) = S 3 . Так как L _i = M 1 h t 1 i , L 2 = M 2 h t 2 i , где M _i = A 5 , M 2 = A 3 , | t i | = | t ₂ | = 2, то стабилизатор в A 8 подмножества E равен (M i х M 2 ) h t i t 2 i . Так как M i h t i t 2 i = S 5 и в S 5 есть подгруппа, изоморфная F 20 , то и в GL 4 (2) есть такая подгруппа.

Рассмотрим теперь группу GL 4 (3). По [5] группа GL 4 (3) содержит подгруппу GO - (3), изоморфную 2 х S 6 , а S 6 содержит подгруппу, изоморфную S 5 . Но в S 5 есть подгруппа, изоморфная F 20 , поэтому и GL 4 (3) содержит такую подгруппу.

Построим двойную группу Фробениуса H с OC ( H ) = OC (S 4 (3)). Положим K i = E i h f i ,t i i < Hol(E i ), где E i = 2 4 , | f i | = 5, | t i | =4 и h f i ,t i i = F 20 , K = E 2 h f 2 ,t 2 i <  Hol ( E 2 ), где E 2 = 3 4 , | f ₂ | = 5, | t ₂ | =4 и h f _i ,t _i i = F ₂₀ . Рассмотрим в группе K _i х K ₂ подгруппу E i E 2 h f i f 2 , t i t 2 i , где h f i f 2 , t i t 2 i = F 20 . Тогда G — двойная группа Фробениуса с OC (G) = OC (S 4 (3)).