Пример всюду разрывного биективного отображения f:R -> R, обратное к которому непрерывно в счётном множестве точек

В известном сборнике задач [1] имеется задача 673, которая может быть сформулирована следующим образом: верно ли, что если обратимая функция /: R -> R всюду разрывна, то обратная к ней функция также всюду разрывна?

В качестве контрпримера там же приводится функция

( arctg х, если х е Q,

[л^- - arctg х, если х С Q.

Функция эта всюду определена на В и разрывна во всех точках. Обратная к ней функция такова:

tgx,

gW = -

-tgx,

если |х| < —, tg х е Q, л      Зя" _ если — < х <—, tg х £ О. 2      2

Заметим, что ни одна точка не входит в область определения функции g вместе с некоторой своей окрестностью. Поэтому говорить о непрерывности этой функции можно только в смысле непрерывности по множеству [2].

Автору заметки удалось построить пример (подтверждающий отрицательный ответ к задаче 673), в котором областью определения обратной функции является вся числовая прямая.

Рассмотрим следующую функцию:

• - х, если x^Q,

х, еслихб(0\| ,±-,...И, I (23

О, если х = О,

/(я) = 1                  1

2л, еслих =—, где л g Z, л ть О,

2л

2л +1, если х = л, где п g Z, п Ф О,

• —, если х = ——, где п е Z, п Ф 0.

. п             2л +1

Несложно видеть, что функция / является биекцией 1 -э 1 и всюду разрывна (в т.ч. в точ ке х = 0 - за счёт того, что / — = 2л). Кроме того, эта функция обладает таким свойством:

| /(х) |>| х | для любого х . Поэтому если | /(х) |< 5, где £ - произвольное положительное число, то выполняется неравенство х < £ .Это говорит о непрерывности в нуле функции, обратной к / .

Приведём теперь пример всюду разрывной функции, обратная к которой непрерывна во всех целых точках.

Ниже [х] и {х} обозначают соответственно целую и дробную часть числа х:

Эвнин А.Ю.

Пример всюду разрывного биективного отображения /: R -> К, обратное к которому непрерывно в счётном множестве точек

2 х + — -х, 2

если х t Q,

х, если xeQ, {х} # —, {х} * — +—, где п - 4,5,6, п 2 п

/№ =

+ [х], если{х} =-----,где п = 3,4,5,...,

— н---нГх], если {х} =—,где п = 2,3,4,..., 2 2п                2п

— +------+ [х], если {х} = — +—, где п = 4, 5, 6,....

2 2п - 3                 2 п

Несложно проверить, что / является биекцией R -» R .

Пусть I - множество иррациональных чисел, В - множество рациональных чисел с дробной частью — или — + —, где n е Z, п > 4, А - множество остальных рациональных чисел. Заметим, и 2 п что частичный предел функции /(х) при х-> х0 и х е Z равен х0 тогда и только тогда, когда х0 е Z. Поскольку частичный предел /(х) при х —>• х0 и хе А равен х0, получаем, что в нецелых точках функция /(х) разрывна. Разрывность /(х) в целых точках следует из того, что её частичный предел при х->х0 равен х0+—, если дробная часть х имеет вид {х} =— при 2                                        2п п-2,3,....

Итак, функция /(х) всюду разрывна. В то же время, как нетрудно видеть, обратная к ней функция в целых точках непрерывна.