Приведение возмущенного движения точки на базовую траекторию при наличии геометрических ограничений на дополнительные управления

лицензии, посетите

В работе решается задача совмещения, возмущенного и базового движений управляемой точки в заданный момент времени полета. Базовое движение построено автором в статье [1]. Это совмещение осуществляется дополнительным управлением, которое обнуляет возмущения – разность между возмущенным и базовым движениями. Динамика возмущений адекватно описывается линейным векторным дифференциальным уравнением, являющимся линеаризацией в окрестности пары "базовое управление, базовое движение" исходного дифференциального уравнения управляемого движения точки. В дальнейшем дополнительное управление отключается, и точка продолжает свое движение в соответствии с базовым законом движения, что обеспечивает выполнение всех требований, предъявляемых к ее кинематике. Задача решается в предположении, что на дополнительное управление наложены геометрические ограничения. Обычно они возникают, когда выбор оптимального управления, минимизирующего функционал качества, ограничен требованиями, отражающими технические характеристики устройств и условий эксплуатации. Заметим, что наличие ограничений на состояния и управляющие воздействия в виде уравнений или неравенств существенно осложняет решение задачи оптимального управления.

Некоторые подходы построения решения задачи оптимального управления для этого случая представлены в [2–10].

Тот факт, что динамика возмущений описывается линейными дифференциальными уравнениями, позволяет привлечь к решению задачи обнуления возмущений линейную теорию оптимального управления [11–19]. Например, задачи управления с выпуклыми функционалами качества допускают, как известно [15], естественную двойственность с задачами математического программирования. Данное свойство является следствием общего принципа двойственности, установленного Н.Н. Красовским и сформулированного им в терминах проблемы моментов [15].

Использование этого принципа позволило построить эффективные методы решения линейных задач управления на основе сведения задач минимизации в функциональном (бесконечномерном) пространстве к более простым задачам максимизации в конечномерном векторном пространстве, доставляющим оптимум исходным задачам. Этот подход к решению линейных задач управления, который был досконально изучен в работах Н.Н. Красовского, А.Б. Куржанского, Ю.С. Осипова, А.И. Субботина и их учеников, применен автором в представляемой статье.

1. Дифференциальные уравнения движения

Динамика полета описывается обыкно-

венным нением

векторным дифференциальным урав-

r

^r

+ g , t g [ 1 0 , T ] ,

где t - текущее время,

r = y g R ³ — радиус-вектор точки относи-

z

тельно начала координат,

m — масса точки,

g R ³ — вектор основных управляю-

щих параметров,

g R ³ — вектор

дополнительных

управляющих параметров,

компонентами векторов v, u являются проекции вектора управляющей силы на соответствующие оси, g — вектор ускорения силы тяжести, k — коэффициент пропорциональности.

В координатной форме векторное уравнение (1) имеет вид k222

X —-- уХ + y + Z X + m

+ — ( V x + U x ) , m

k y —--V x 2 + У + z m + - ( v y + u y ) , m	y +	t e [ 1 0 , T ]
1---------------------------------------------- k z —-- V x 2 + y + z m + - ( vz + uz ) — g . m	z +

Запишем эту систему в нормализованной форме pl — P 4,

P 2 — P5, p3 — P 6, k 222

p 4 ^—--- V p 4 ⁺ p 5 ⁺ p 6 ’ p 4 ⁺

m

+^_ ( v l ⁺ u l ) ,

m k 222

^p 5 ^—--- V p 4 ^{+ p} 5 ⁺ p 6 ’ ^p 5 ⁺

m

+ — ( V ₂ + U 2 ) ,

m k 222

p 6 ^—--- V p 4 ⁺ p 5 ⁺ p 6 • p 6 - g ⁺

m

+ _( v3 + u 3),

m где pi — x, p 2 — y, p3 — z, p4 — X, p^ — y, p 6 — z, vl — vx , V2 — vy , V3 — vz ,

.

U — u_x , u₂ — u_y , u₃ — u_z .

Обозначим через pbaz ( t ) —

'    1 (t Г pbaz 2 ( t ) pbaz 3 ( t ) pbaz 4 ( t ) pbaz 5 ( t ) у pt>az6 (t )j vbaz ( t ) —

' V baz 1 ( t Г v baz 2 ( t )

p voz 1 ( t ) p voz 2 ( t ) p voz 3 ( t ) p voz 4 ( t ) p voz 5 ( t ) p voz 6 ( t )

t ^ [ 1 0 , T ]

соответственно базовый закон движения, возмущенный закон движения, отвечающий начальным условиям pvoz 1 ( t0 ) pvoz 2 ( t0 ) pvoz 3 ( t0 ) pvoz 4 ( t0 ) pvoz 5 ( t0 ) у pvoz 6 ( t0 )J

^ p 10 '		(x A x 0
p 20		y 0
p 30		z 0
p 40		x 0
p 50		y ,
У p 60 J		у z 0 J

и базовое программное управление в новых переменных.

Выведем дифференциальные уравнения управляемого движения, описывающие динамику возмущений:

' ⁵ p voz 1 ( t Г S p voz 2 ( t ) ⁵ pvoz 3 ( t ) ⁵ p voz 4 ( t ) ⁵ p voz 5 ( t ) у ⁵ p voz 6 ( t L

^{— 5} p ( t ) ^— p voz ( t ) - p baz ( t ) .

С этой целью линеаризуем систему (1) в окрестности пары "базовое программное управление, базовое движение" на промежутке времени t e[ t0, T ], где T < t — планируемый момент стыковки возмущенного и базового движения точки. В результате получим систему линейных дифференциальных уравнений:

x = A ( t ) x + Bu , t e [ t^ , T ] ,

x =

x1 x x3 x4

x ₅ x

, u =

u ₁ u ₂ u

A ( t ) * 6 x 6, B ^ 6 x 3 относительно шести мерного фазового вектора x e R ⁶ , для которого

= p voz ( t ) - p_b az ( t ) .    t ^e [ t 0 . ^T 1 ] ’

Здесь

A (t )=

" O

< O

E "

p = P baz

,

П =

, O = 0

⁰ , 0

2. Корректировка возмущенного движения

В предположении, что на вектор управляющих параметров наложено геометрическое ограничение в форме

u ₁

u ₂ ^u

e P ,

^A P • p 4 )••• dp 4

^(P • p^ )- dp 4

P • p₆)

бp4(

^^{( P} ■ p 4 ) ^d p 6

^( P ^ p5 )

^d p 6

^d p 6

,

где P о R ³ — выпуклый компакт, поставим задачу о приведении фазового вектора x e R ⁶ линейного динамического объекта (2) из положения 5 p ( t^ ) в момент времени 1 0 в начало координат в момент времени T ₁ .

Задачу приведения будем решать в классе интегрируемых программных управлений и ( • ) , для которых u ( t ) e P, t e [ t_Q , T ] . Множество таких программных управлений обозначим символом П [ t ₀, T ] .

Пусть u ( - ) еП [ t ₀, T ] . Символом x ( t , 1 0 , x 0 , u ( • ) ) , t e [ t^ , T ] обозначим решение x ( t ) , t e [ t ₀, T ] дифференциального уравнения (2), для которого x ( t ₀ ) = x ₀ .

Определение 1. Множество

G ( t » . x ,„ T i ) =

= { q = x ( T . 1 0 ,x „ ,u ( ■ ))! u ( - ) еП [ t 0 ,T ] } c R⁶ называется областью достижимости управляемого динамического объекта в момент времени T 1 для начального положения { t ₀, x ₀ } .

P = —

k 222

Л/ ^p 4 ^{+ p} 5 ^{+ p} 6 ,

m

B = —

m

0 ^

.

Рис. 1. Область достижимости

Известно [16], что множество достижимости является выпуклым компактом.

Определение 2 . Величину

€ ⁰ ( t ₀, x ₀) = min { ^ >  0| G ( t ₀, x₀

)П м ^s *0 } ,

(см. рис. 2) где символом M ^€ обозначена замкнутая € — окрестность начала координат, будем называть гипотетическим рассогласованием в позиции { t ₀, x _o } .

Доказательство. От противного приходим к существованию векторов l ^) , l ^{( 2 )} е S ( 0,1 ) , l ^{( 1 )} * l ^{( 2 )} , для которых

€ =   min   qq, l^1) \, qеG(10,x0,T1) V        /

€ =  min  (q, l(2)k q^ G (t 0,x 0, T1 P           '

Рис. 2. Гипотетическое рассогласование

Сложим эти равенства почленно:

2 €

min q ^{е G} ( t 0 , ^x 0 ^{, T} 1 )

В силу компактности множества

G ( t ₀, x ₀, T ) минимум в правой части послед-

него равенства существует. Геометрический

смысл гипотетического рассогласования состоит в том, что оно совпадает с наименьшим расстоянием, на которое может приблизиться фазовый вектор линейной динамической системы (2) к началу координат в момент вре-

мени

T 1 .

Заметим, что если 0 е G ( t ₀, x ₀, T ) , то ^€ ( t 0 , ^x o ) = ⁰.

Из [20] следует, что

€ ( t o , X o ) = { max { 0, } ,

min q е G ( 1 0 , x 0 , T 1 )

< min qq , l ^ + 1 ⁽²Л .    (4)

qеG ( 1 0 , x 0 , T 1 )\                     /

Из неравенства (4) следует, что l ⁽) * — l ⁽ ) , а

из условия l^ * l ^ )

следует, что

< 2 . Полагаем:

l ^{( 1} ) + 1 ^{( 2 )}

е S ( 0,1 ) .

Тогда из (3) выводим:

= €° .

(q, l) } ,

max min lеS(0,1) LqeG(10,x0,T1)

S(0,1) = {l е R6| |||| = 1}.

Следующие два утверждения являются обоснованием алгоритма построения программного управления u ⁽ e ) ( • ) е П [ t ₀, T ] , реализующего стыковку возмущенного и базового движений.

Теорема 1 . Пусть € ( t ₀, x ₀ ) > 0 . Тогда максимум в (3) достигается на единственном векторе l ⁰ е S ( 0,1 ) .

Получили противоречие, которое и доказывает единственность максимизирующего вектора l ⁰ е S ( 0,1 ) . Теорема доказана.

В силу формулы Коши [15], которая в рассматриваемом случая имеет вид q = X [T, 10 ] x +

T 1

JX[Tt]B(т)u(r)dT, t0

где X [t,t] , t, т е [t0, T ] - фундаментальная матрица Коши для однородного уравнения x = A (t) x, формуле для гипотетического рассогласования можно придать вид

£ ( t 0 , X » H X [ T' 0 ] x 0 , l ') +

£ ( t о , x o ) =

= max<0,m

+ hn X [ м Bu , ld ■ .

Заметим, что в силу теоремы 1 максимум в (5) достигается на единственном векторе l ⁰ e S ( 0,1 ) , если £ ° ( t ₀, x ₀) >  0 .

Теорема 2. Пусть £° ( t ₀, x ₀ ) > 0 , и для программного управления u ⁽ e ) ( • ) e П [ t ₀, T ] имеет место равенство

^x ( ^T 1 , t 0 , ^x 0 , u ’( • ) ) = ^{£ (} t 0 , ^X 0 ) . ⁽⁶⁾

Тогда необходимо почти всюду на [ t ₀, T ] выполняется равенство

( X [ T , t ] Bu ⁽ e ) ( t ) , l °) =

= min( X [ T , t ] Bu , l °),

где l ⁰ e S ( 0,1 ) — вектор, доставляющий максимум в (5).

Доказательство. Допустим, что условие (7) нарушается. Тогда существует множество T с [ t ₀, T ] ненулевой меры, на котором выполняется неравенство

XX [ T , t ] Bu^(e ) ( t ) , l >

> min( X [ T , t ] Bu , 1 ⁰>, t e T

Из последнего соотношения вытекает, что

T 1

Д X [ T , r ] Bu^(e ) ( r ) , l⁰ ^ dT >  t ₀

T 1

> | min( X [ T , t ] Bu , l⁰^dz.

t ₀

.

Подставим вектор l ⁰ e S ( 0,1 ) в правую часть

^T 1 .

I min XX [ T , t ] Bu ( t ) , l⁰ d^ ’ t ₀

Обозначим:

x^(e ) ( t ) = x ( t , 1 0 , x 0 , u ^{( e} ) ( • ) ) , t e [ 1 0 , T ] .

В силу формулы Коши с учетом неравенства (8) выводим:

£ (t0,x0)=max[(x()(T),l)!= i i=1

= max

T

T 1

>X X [T, to ] x0 + J X [T ,t]bu(e)(r) dr, l0  = t0

• > X r ^Тр [ T , t 0 ] x 0 , l ') +

T

+ J min( Bu , X^Тр [ T , t ] l°*d T = t ₀

• = ^£ ( t 0 , ^x 0 ) .

Получили противоречие. Теорема доказана.

Замечание 1. Теорема 2 выражает лишь необходимые условия выполнения равенства (6), поэтому программное управление u ^{( e} ) ( • ) e П [ t ₀, T ] , определенное из условия (7), может и не обеспечить равенство (6). Выполнение этого равенства в процессе вычислений следует проверить непосредственно.

Замечание 2. Целью введения дополнительного управления служит стремление совместить возмущенное и базовое движение точки в заданный момент времени T e [ t ₀, T ] . Это возможно, только если £ ° ( t ₀, x ₀ ) = 0 .

Однако в этом случае условия теоремы 2 не выполняются, и условие (7) не позволяет построить дополнительное управление, осуществляющее стыковку возмущенного и базового движений точки. Итак, пусть £ ° ( t ₀, x ₀ ) = 0 . Для произвольного £₀ e [ t ₀, T ]

равенства (5). Имеем:

полагаем:

u (t) = 0, x (t) = x (t, t0, x0, й (•)), t e [ tо, t) ].

Очевидно, что

Отслеживаем величину:

£ (t, x (t)), x (t) = x (t, 10, X0, й (•)), t e[t0,t0].

В случае, когда эта величина остается равной нулю вплоть до момента времени tˆ0 , момент времени tˆ0 увеличиваем в рамках промежутка [ t0, T ]. Пусть оказалось, что £° ( T, x ( T )) = 0. Тогда

= max J ^0, max К X [ T , T ] ^x ( T ) ■ ^lli

T 1

■ J min^ X [ T , r ] Bu , l^d r

T ^{u e}

= max 0,max (x ( T ) , l} } =

Последнее равенство означает, что в момент времени T1 произойдет стыковка возмущенного и базового движений точки, осуществляемая управлением u(e) (•) = u (•) . В случае, когда £° (t, x (t)) становится строго положительным до наступления момента вре мени T, момент времени /0 g[t0, T ] выбира- ется из условия

0 < £ (f0, x (Fo ))< а, где а > 0 достаточно малый радиус окрестность точки pbaz ( T ) е R6.

• 3.    Типовые геометрические ограничения на векторы управляющих параметров

В этом разделе будут приведены алгоритмы совмещения, возмущенного и базового законов движения точки при типовых геометрических ограничениях на дополнительные управления. Это случаи, когда множество

Р с R³ является шаром, эллипсоидом и прямоугольным параллелепипедом.

Каждый из этих случаев проиллюстрирован численным экспериментом, данные для которого совпадают с аналогичными данными из работы [1] и имеют вид:

m = 100 кг, t0 = 0 c, T = 10 c, T = 1 c, k = 0.45 кг, g = 9.8M, мс

x * = 2400 м, xT = 3000 м,

= 50 • sin ( 0.000005 • x • y ) м ,

G 1 =*

x

V У 7

y >  g i ( ^x ) =

= 0.001 ( x - 1000 )( x - 500 ) м } ,

G =\

x

V У 7

y <  g 1 ( ^x ) =

,

= -0.001( x - 2500)(x - 2000) м} f xT 1 yT

V ^zT 7

f 3000 м ^

^ ( ^xT , y T )

V

0 J

, .

f x ⁰1

У ⁰

V z 0 7

10 м

- 20 м рОж J

f x ⁰1

■y ⁰

V z 0 7

250 ^м с

- 60 м с

- 70 м

.

В рамках численного эксперимента для каждого вида геометрических ограничений вычисляется величина гипотетического рассогласования £° (t0, x0 ) , строится программное управление, приводящее фазовый вектор линейного объекта в £° (t0, x0) - окрестность начала координат, вычисляется величина промаха по цели. Преобразуем формулу (5), выполнив операцию скалярного произведения под знаком интеграла во втором слагаемом.

Имеем:

T 1

+ f min

J u е P t0

2 a ( ^T , ¹ ) ^u i d r

V i = 1                7

Здесь а (т,l), т е i = 1,2,3

S ( 0,1 ) ,

Приведем результаты численного эксперимента:

– множители, которые собираются при управляющем параметре Ui , i = 1,2,3 после приведения подобных.

3.1. Случай шаров. Множество P с R³ является шаром:

	'— 0.1585 "
	— 0.5512
l 0 =	— 0.7257	—
	0.0615
	0.2254
	4 0.2995 y

Pg

u ₁

u

u

е R ³

। + U + U — r

.

В численном эксперименте принимается

r = 18000 м-Кг-с ²

.

Из формулы (9) выводим:

£ ° ( t 0 , x 0 ) =

= max

шестимерный единичный вектор, максимизирующий правую часть в (9);

£0 (t0, x0 ) = 0.273 м — величина гипотетического рассогласования;

||x0 (T )|| = 0.2720 м — норма шестимерного фазового вектора линейного объекта в момент времени T1;

A = 2.4454 м — промах по цели в конечный момент времени T .

T 1      3      ₂

- r [JEg (т, l) dT

t 0

i = 1

Вектор управляющих параметров, на котором достигается минимум под знаком интеграла в (9) вычисляется по формуле

U ⁰ ( т , l ) = -

r

а ( т , i )

E g (т, l)

i = 1

а2 (т,l)

E ai (т,l)

i = 1

g ₃ ( т , l )

E ai (т,l)

i = 1               j

Одновременно формула (10) служит шаблоном для построения программного управления, переводящего фазовый вектор линейного объекта в £ ⁰ ( t ₀, x ₀ ) — окрестность

начала координат.

3.2. Случай эллипсоидов. Множество

P с R ³ является эллипсоидом:

P Ч

u ₁

u ₂

u

е R³

В численном эксперименте принимается:

м • кг     мктам • кг al = 20600 ——-, a2 = 18600 —, с2с2

i^M м • кг a3 = 17600 — с2

.

Из формулы (9) выводим:

£ ⁰ ( t₀ , x ₀) = max < 0,max^ X [ T_x , t₀ ] x ₀, l^ —

T

—L/e g (т, l) adт 4

Вектор управляющих параметров, на котором достигается минимум под знаком интеграла в (9) вычисляется по формуле

а ( т ,l ) a²

E а (т, l) al i=1

а ( т , l ) a 2

E а (т, l) al i=1

.

В численном эксперименте принимается м• кг     л^л^м• кг a = 17100 —, a2 = 15100 —;-, с2с2

л л л ™ м ■ кг a ₃ = 14100 —— с ²

.

Из формулы (9) выводим:

£ ⁰ ( t ₀, x ₀) = max <  0, max

а ( т , l ) a²

E а (т, l) ai i=1

Одновременно формула (11) служит шаблоном для построения программного управления, переводящего фазовый вектор линейного объекта в £0 (t0, x0 )— окрестность начала координат.

Приведем результаты численного экспе- римента l0

'- 0.1199 '

- 0.5157

- 0.7577

0.0474

0.2118

_ч 0.3138 ₇

шестимерный единичный вектор, максимизирующий правую часть в (9);

£0 (t0, x0 ) = 0.2736 м - величина гипотетического рассогласования;

||x0 (T )|| = 0.2725 м - норма шестимерного фазового вектора линейного объекта в момент времени T1 ;

промах по цели в конечный момент времени T .

• 3.3.    Случай прямоугольных параллелепипедов. Множество P с R ³ является прямоугольным параллелепипедом:

  P = ) u₂

  
  

  е R ³

  
  

|u | <  a ₃, | u ₂| <  a₂ , | u ₃| <  a₃ * .

'

- П E ki^ ⁷ , l )l a i I ^{d т} 1 0 ⁴ i = 1                   ⁷

Вектор управляющих параметров, на котором достигается минимум под знаком интеграла в (9) вычисляется по формуле и0 (т, l )=-

Одновременно формула (12) служит шаблоном для построения программного управления, переводящего фазовый вектор линейного объекта в £ ⁰ ( t ₀, x ₀ ) - окрестность начала координат.

Приведем результаты численного эксперимента:

' 0.0009 " -0.0001 l0 = -0.9209 0.0006 0.0000 ч 0.3899 7 шестимерный единичный вектор, максимизирующий правую часть в (9);

£0 (t0, x0) = 0.2646 м - величина гипотетического рассогласования;

||x0 (T )|| = 0.2677 м - норма шестимерного фазового вектора линейного объекта в момент времени T1 ;

промах по цели в конечный момент времени T .

Заключение

В статье осуществлена стыковка возмущенного и базового законов движения управляемой точки для случая, когда на дополнительное управление налагаются геометрические ограничения в форме шаров, эллипсоидов и прямоугольных параллелепипедов.

В результате произведенной стыковки дальнейшее движение точки происходило в малой окрестности базовой траектории, что обеспечивало выполнение всех сформулированных в постановке задачи наведения на цель требований к ее кинематике и точное попадание в цель. Указанный вывод подтверждается численным экспериментом.