Признаки h-однородности пространства

Запись X ≈ Y означает, что пространства X и Y гомеоморфны. w ( X ) – вес пространства X . Под кардиналом k понимается множество всех ординалов, которые меньше k . Наименьший бесконечный кардинал обозначается буквой ω ; также ω = {0, 1, 2, …}. Пространство X называется однородным , если для любых двух точек a и b из X найдется гомеоморфизм f : X → X , для которого f ( a ) = b . Пространство X называется h - однородным , если каждое непустое открыто-замкнутое множество из X гомеоморфно всему пространству X . Доказано, что каждое метрическое h -однородное пространство является однородным. Семейство γ непустых открытых множеств называется π - базой пространства X , если каждое непустое открытое множество из X содержит некоторый элемент семейства γ .

Остальные используемые определения и обозначения можно найти в [1].

Теорема 1 . Пусть дано однородное, нигде не локально компактное метрическое пространство X веса k, причем IndX = 0 . Тогда следующие условия эквивалентны:

• 1)    X – h-однородное пространство,

• 2)    для каждого непустого открытого множества U ⊆ X найдутся такие непустое открытое множество V ⊆ X и дискретное открытое семейство { V _α : α ∈ k } , что объединение ∪ { V _α : α ∈ k } ⊆ U и каждое V α гомеоморфно V.

Доказательство . 1) ⇒ 2). Зафиксируем открытое множество U ⊆ X. Из h- однородности пространства X следует, что w ( U ) = w ( X ) = k . Более того, U содержит замкнутое (в X ) дискретное множество D мощности k . Так как метрические пространства коллективно нормальны, найдется такое дискретное открытое семейство { V _α : α ∈ k } , что пересечение D ∩ V _α состоит из одной точки для любого α . Тогда каждое V α ≈ X ≈ V по определению h- однородного пространства.

• 2)    ⇒ 1). Выберем базу топологии B пространства X , состоящую из открыто-замкнутых множеств. Для каждого U ∈ B , удовлетворяющего условию 2) из формулировки теоремы, построим открыто-замкнутое множество U^* ⊆ U , которое гомеоморфно X . Для этого зафиксируем точку а ∈ V . По условию пространство X однородное. Поэтому для любой точки x ∈ X найдется такой гомеоморфизм f_x : X → X , что f_x ( a ) = x . Так как IndX = 0, то из покрытия { f_x ( V ) : x ∈ X } пространства X можно выделить дискретное подпокрытие { W _α : α ∈ k ₁} . Из условия w ( X ) = k вытекает неравенство k ₁ ≤ k . По построению каждое множество W α гомеоморфно открытозамкнутому подмножеству из V α . Следовательно, X = ∪ { W _α : α ∈ k ₁} гомеоморфно некоторому открыто-замкнутому подмножеству U^* из ∪ { V _α : α ∈ k ₁} ⊆ U . Семейство { U ^* : U ∈ B } образует π -базу пространства X . Тогда по теореме 2.4 из [2] пространство X будет h- однородным. Теорема доказана.

Рассмотрим случаи, когда существует семейство, удовлетворяющее условию 2) из теоремы 1.

• ¹    Медведев Сергей Васильевич – кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа, Южно-Уральский государственный университет.

Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 7                             31

Математика

Теорема 2 . Пусть дано однородное, однородное по весу метрическое пространство X веса k, причем cf ( k ) >  ω и IndX = 0 . Тогда X – h-однородное пространство.

Доказательство . Так как cf ( k ) > ω , то пространство X нигде не локально компактно.

Возьмем непустое открыто-замкнутое множество U ⊆ X. Так как cf ( k ) >  ω и IndX = 0, то существует дискретное открытое покрытие U = { U _α : α ∈ k } пространства X . Зафиксируем точку а ∈ X и убывающую открыто-замкнутую базу { O_n : n ∈ ω } в точке а . Для каждого n ∈ ω через k n обозначим мощность семейства U _n = { U ∈ U : U содержит открыто-замкнутое подмножество, гомеоморфное O_n } . Тогда k ₀ ≤ k ₁ ≤ .... Из однородности пространства X следует, что каждое U ∈ U принадлежит некоторому семейству U _n . Тогда sup{ k_n : n ∈ ω } = k . Так как cf ( k ) >  ω , то найдется такой номер j , что k j = k . Поэтому U _j = { W _α : α ∈ k } . По построению O_j ≈ V _α для некоторого

• V _α ⊆ W _α . Положим V = O j . Семейство { V _α : α ∈ k } дискретно в X и ∪ { V _α : α ∈ k } ⊆ U . Тогда пространство X будет h- однородным по теореме 1. Теорема доказана.

Топологическая группа G называется локально вполне ограниченной , если существует такое непустое открытое множество U ⊆ G , что для любой окрестности V единичного элемента е группы G выполняются условия U ⊆ F ⋅ V и U ⊆ V ⋅ F для некоторого конечного множества F ⊆ G .

Теорема 3 . Пусть дана сепарабельная нульмерная метризуемая топологическая группа G, которая не является локально вполне ограниченной. Тогда G – h-однородное пространство.

Доказательство . Так как группа G не локально вполне ограничена, то она нигде не локально компактна. По теореме Биркгофа–Какутани существует левоинвариантная метрика d , совместимая с топологией группы G . Зафиксируем базу { O_n : n ∈ ω } для единичного элемента е группы G , состоящую из открыто-замкнутых множеств и удовлетворяющую условию diam ( O_n ) <  ( n + 1) ^{- 1} для любого n ∈ ω . Возьмем непустое открыто-замкнутое множество U ⊆ G. Внутри U выделим непустое открыто-замкнутое множество U^* ⊆ U так, чтобы расстояние d ( U ^*, G \ U ) >  m ^{- 1} для некоторого m ∈ ω . Так как группа G не локально вполне ограничена, то найдется бесконечное множество { a_n : n ∈ ω } ⊂ U ^* , которое j ^{- 1} -метрически дискретно для некоторого j ∈ ω ; причем, без ограничения общности, j >  m . Положим V = O _{2 j} и V_n = a_n ⋅ V . Несложно проверить, что множества { V_n : n ∈ ω } попарно не пересекаются и их объединение принадлежит U .

По теореме 1 пространство G будет h- однородным. Теорема доказана.