Прямая и обратная задачи для сингулярной системы с медленными и быстрыми переменными в химической кинетике

Моделирование многих процессов в различных областях научной и практической деятельности (геофизика, химическая кинетика, медицина, и т. д.) приводит к решению прямых и обратных задач и существует давно. Но как раздел современной прикладной математики — обратные задачи естествознания — появились сравнительно недавно.

При моделировании широкого круга, задач химической кинетики используются сингулярно возмущенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными (с малым параметром).

Задача отыскания решений системы по некоторым исходным данным при известных функциях в правых частях представляет собой так называемую прямую задачу для дифференциальных уравнений. Основная цель исследований в данной работе — постановка, и анализ задачи, обратной к этой (в химической кинетике обратные задачи называются задачами идентификации). Обратная задача, сводится к нахождению неизвестных правых частей по некоторым данным о решении прямой задачи. Сформулирована, и обоснована, гипотеза, о том, что по заданию решения на. медленной поверхности можно восстановить неизвестные правые части, в частности, получены условия существования и единственности коэффициентов в правой части медленной подсистемы вырожденной системы, заданной полиномом. Начнем с краткого обзора, по теории систем дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми переменными. Мы будем иметь дело с прямыми и обратными задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений [1-9] в отличие от изучения теории обратных задач для уравнений с частными производными, которые представлены, например, в [10-16], причем в системах, рассматриваемых нами, присутствует малый параметр.

В [14], где собраны почти все основные направления теории обратных и некорректных задач, рассматривается также система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, решение задачи Коши которой описывает процесс химической кинетики dui = qii ^ui(t) + qi2 ^u2^(t) -I-----+ qin Un(t),

Ui(0) = qi, i = 1, 2,...,n, где ui (t) — коппеитратщя i-го всшсства в момент времени t.

Постоянные параметры qij характеризуют зависимость скорости изменения ui(t) от концентраций веществ, участвующих в процессе.

Прямая задача формулируется следующим образом: определить ui(t), зная параметры qij и qi в начальный момент времени.

Обратная задача сводится к нахождению параметров qij по решению системы ui(t), которое соответствует начальному условию qi. Заметим, что иногда qi тоже неизвестны qij

Поскольку величины, участвующие в процессах химической кинетики, разномасштабны, мы будем рассматривать системы с малым параметром, описывающие эти процессы и представленные в таких работах, как [17-23].

Рассматривается сингулярно возмущенная система обыкновенных дифференциаль ных уравнений

^Х = ^{f ( х,}УЛ^{е ) Еу} = g⁽x,y,^t,e⁾,

где x G Rm — мсд.теппые. y G Rn ~ быстрые переменные: fg — достаточно гладкие функции, t G R — переменная, имеющая смысл времени, Х, у — производные по времени, Е — положительный малый параметр.

Система рассматривается в ограниченной выпуклой инвариантной притягивающей области W С Rm х Rn.

• 1.    О прямой задаче для системы (1)

Прямая задача для системы дифференциальных уравнений с малым параметром (1) сводится к отысканию пары функций x(t), y(t), удовлетворяющих системе (1), по некоторым исходным данным при известных функциях f, g.

В основе решения прямой задачи лежит метод интегральных многообразий, который является удобным аппаратом исследования многомерных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений, позволяющим понижать размерность систем [1, 2, 3]. Приведем необходимые сведения о методе интегральных многообразий для системы (1).

Гладкая поверхность S в Rm х Rn х R называется интегральным многообразием системы (1), если любая траектория этой системы, имеющая хотя бы одну общую точку с S. попиком принадлежит поверхности S. Формально, если при t = to точка (x(t₀ ),y(t₀),t₀) G S. то трас'ктория (x(t), y(t), t) пс.пком прштдтежпт S.

Уравнение Х = f (x,y,t,E^ в системе (1) называется медленной подсистемой , а урав-пешю Еу = g(x,y,t, е) — быстрой подсистемой спетемы (1). Если в (1) положить е = 0. получим поросисдатогцую или вырожденную систему

Х = f (x,y,t, 0), 0 = g(x,y,t, 0).

Уравнение g(x, y, t, 0) = 0 задает медленную поверхность. Это уравнение медленной поверхности может иметь одно или несколько решений, каждое из которых задает лист медленной поверхности.

Опишем подробнее. Поверхность, задаваемая уравнением (3), называется медленной поверхностью. Возьмем какое-нибудь решение x(to), y(to), to уравнения g(x,y,t, 0) = 0. т. с. выберем точку (x(to),y(to), to) на. медленной поверхности Г. Если det(dg(x(t_o ),y(t_o),t_o, 0)) = 0, то в некоторой окрестности V_o точки (x(t_o),t_o) G D1 х R, Di С Rm. супщствует по теореме о пеявисш функции [24] вектор-функция y = ho(x,t). yo = ho(xo,to ) У G D2 С Rn, которая является решением уравнения (3), т. е. g(x, ho(x,t),t, 0) = 0 при всех (x,t) G Vo- Пересечение поверхности Г с поверхностью det(dy(x(t),y(t),t, 0)) = 0 является поверхностью (кривой) Г1 на. единицу меньшей размерности, чем Г. Она делит медленную поверхность на части, в каждой из которых det(dg(x(t), y(t), t, 0)) не меняет знака. Каждую из этих частей называют листом медленной поверхности.

Листы интегрального многообразия медленных двисисений (или медленного интегрального многообразия) являются уточнением при учете малого параметра е листов медленной поверхности и получаются из них с помощью асимптотического разложения по степеням е:

h(x, t, е) = ho(x, t) + eh₁(x, t) + • • • + ekhk (x, t) + ...,

где коэффициенты разложения hk(x,t) подсчитываются по рекуррентной формуле, приведенной, например, в [9], k-1

hk = -B-1 g(k) - %1 - P dhpf (k-1-p) , p=o

B = det( dg (x, ho (x,t),t, 0)) = 0.

Среди интегральных многообразий системы (1) нас интересуют m-мерные интегральные многообразия (размерность медленных переменных), которые представимы в виде графика вектор-функции y = h(x,t, е).

Выполняется соотношение lim h(x, t, е) = ho(x, t), e^o где ho(x,t) — функция, график которой является листом медленной поверхности.

При стремлении малого параметра е к нулю траектории исходной системы стремятся к траекториям вырожденной системы.

Основная идея метода интегральных многообразий состоит в следующем. Мы сводим качественный анализ полной системы к анализу медленных подсистем на листах интегрального многообразия.

Согласно методу интегральных многообразий мы должны сделать следующее:

• 1)    исследовать строение медленной поверхности, т. е. найти количество и форму листов;

• 2)    найти границы листов;

• 3)    проверить характер устойчивости листов;

• 4)    провести качественный анализ медленных подсистем на устойчивых листах (в частности, найти стационары, их классификацию; особый интерес вызывают колебания различных типов и решения-утки);

• 5)    провести анализ системы в целом.

Нахождение решения системы (1) сводится к отысканию решения вырожденной системы (2)—(3), получаемой из исходной, если параметр е формально положить равным нулю. Этот факт следует из работ А. Н. Тихонова [4, 5], в которых доказаны теоремы о предельном переходе к решению вырожденной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Правые части системы (1) являются достаточно гладкими функциями, поэтому удовлетворяют требуемым условиям, в частности, обеспечивают единственность решения.

При использовании метода интегральных многообразий для решения конкретных задач центральным становится вопрос о вычислении функции h(x,t, е), описывающей многообразие. Как правило, точное вычисление не является возможным и используются различные виды приближенных вычислений. Мы будем использовать для приближенного вычисления асимптотическое разложение функции h(x, t, е) по степеням малого параметра, приведенное в формулах (4), (5).

Существование интегрального многообразия было доказано в [3,9]. Приведем соответствующую теорему и сформулируем постановку прямой задачи. (Заметим, что термин «прямая» задача обычно употребляется в контексте с «обратной» задачей, а в остальных случаях говорят просто «задача».)

Постановка прямой задачи. Пусть для системы (1) выполнены условия:

• I.    Уравнение g(x,y,t, 0) = 0 имеет изолировашюе решение у = ho(x,t) щэн t E R. x ∈ R^m

• II.    В области П_о = |(x,y,t,e) : x E Rm, ky —h₀(x,t)k < p, t E R, 0 6 е 6 е₀| функции f, g и ho равномерно непрерывны и ограничены вместе с частными производными по переменным до (k + 2)-го порядка, bi елюнитслыю (k > 0).

• III.    Собственные значения Ai(x,t) (i = 1,...,n) матрицы dg (x, ho (x, t), t, 0) подчиняются неравенству Re Ai(x,t) 6 — 2y < 0.

Требуется по заданным функциям f (x,y,t, е), g(x,y,t,E^ в правой части системы (1) найти x(t). y(t) в области По.

Теорема. Пусть выполняются условия I—III. Тогда существует такое е1 (0 < е1 6 ео), что для каждого е E (0,е1 ] система (1) имеет интегральное многообразие медленных движений у = h(x,t,е), движение ио которому описывается уравнением x = f (x, h(x, t, е), t, е).

Если x(t) — решение этого л 'равнения. то пара x(t) y(t). г, те y(t) = h(x,t, е). является решением исходной системы (1), т. е. пара x(t), y(t) есть решение прямой задачи.

В качестве примеров прямой задачи были рассмотрены две модели из химической кинетики.

• I.    Математическая модель реактора идеального смешения.

Рассматривается система, обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая бимолекулярную реакцию на. поверхности катализатора.

x 1 = a — x1 — а[ш1 + (шз — ш1 — ш2)x1], x 2 = b — x2 — а[ш2 + Ш4 + (шз — Ш1 — Ш2)x2 ],                    (7)

У1 = в(2Ш1 — шз — Ш4), У2 = в (Ш2 — шз), где Ш1 = Kixi(1 — У1 —У2)2 — К-1У2. Ш2 = K2x2(1— У1 — У2) — К-2У2. шз = У1У2. Ш4 = K4x2yi — обезразмеренные скорости четырех стадий реакции.

Областью изменения переменных является множество

W = |(xi,X2,yi,y2) : 0 6 xi 6 a, 0 6 Х2 6 b, 0 6 yi, 0 6 У2, yi + У2 6 1}.

Система (7) изучалась в [6, 7].

Скорость реакции на поверхности катализатора существенно выше, чем скорости адсорбции. Предполагается, что основным механизмом реакции является адсорбционный, а ударный механизм учитывается как дополнительный. Поэтому мы используем при анализе модели следующую иерархию параметров: к-2, к-1, к₄ ^ к1, к₂ ^ 1. Константы десорбции предполагаются малыми сравнительно с константами адсорбции. Кроме того, а ^ в ¹¹ е = 1/в ^ к-2, к-i, К4.

• II.    Математическая модель каталитической реакции окисления.

Рассматривается детальный механизм реакции СО + 02 на иридии. Кинетической схеме этой реакции соответствует система дифференциальных уравнений с безразмерными переменными x 1 = 2b1x7 — b2 ХбХ1 — b8x1x2,

X 2 = b4 Х7 — b5X2 — b8x1x2 — Ь9Х2хз — b12 x2x4, x 3 = b2X6X1 — 2Ьз x3 — ЬбХз + b7X5 — b9X2X3 + 2bi0 X4X5 + b12X2X4,          (8)

X 4 = 2Ьзх2 — b1ox₄x5 — b₁₂x₂x₄,

X 5 = b6 X3 — b7X5 — b10X4X5 — b11X5, где X6 = 1 — X3 — x4 — X5. X7 = 1 — x1 — x2 — X3 — x4 — X5.

Система (8) исследовалась в [8, 17, 18]. Там же приведены выражения для коэффициентов bi (i = 1, 2,... , 12). Областью изменения переменных является множество

W = (x1,..., Х5) : 0 6 xi 6 1, У^ Xj 6 1, i = 1,..., 5 .

j=1

При анализе модели используем следующую иерархию параметров:

• ^b10 > ^b8 ^ ^b7 >  ^b1^,b2, ^b3, ^b4, ^b6, ^b11, ^b12 ^ ^b5, ^b9.

• 2.    Обратная задача для системы

В [19] также проведен подробный анализ систем (7) и (8) с применением метода интегральных многообразий, который позволяет провести исследование согласно шагам, описанным ранее. В работах [20-23] так же рассматривались системы с малым параметром, в частности, в [20-22] — системы, описывающие задачи химической кинетики.

Целью дальнейших исследований являются постановка и анализ задачи, обратной к задаче, поставленной в предыдущем пункте для системы (1). Для упрощения исследования обратной задачи для системы (1) введены следующие ограничения:

• 1)    рассматривается обратная задача для системы (1) при е = 0, т. е. для вырожденной системы (2);

• 2)    функция f в правой части медленной подсистемы системы (1) задается в виде многочлена p-й степени f = ^Zi+j^p bijx^ly^j, так как в задачах химической кинетики правые части системы часто являются полиномами, более того будем рассматривать многочлен первой степени;

• 3)    рассматриваются системы с одной медленной и одной быстрой переменными, т. е. m = n = 1:

• 4)    функцию g(x, y, t, e) считаем заданной и удовлетворяющей всем условиям теоремы

о неявной функции в каждой точке области, в частности, dg(xdy’t’o) = Q, следовательно, при e = Q медленная поверхпость. уравнение которой g(x, y, t, Q) = Q. задана:

• 5)    медленная поверхность состоит из одного листа.

В рамках сделанных ограничений вырожденная система x = 52 bijx"yj,

i + j 6 p

Q = g(x,y,t, Q)

имеет вид x = Po + Pix + Р2У, Q = g(x,y,t, Q)-

(1Q)

Заметим, что рассматриваемая система обыкновенных дифференциальных уравнений описывает формальную кинетическую модель. Впоследствии формальные кинетические модели могут оказать существенную помощь в выяснении механизма реакции [25].

Учитывая перечисленные ограничения 1)—5), получим следующую постановку обратной задачи для сингулярно возмущенной системы.

Постановка обратной задачи. Рассматривается система дифференциальных уравнений со следующими данными x = Po + Pix + Р2У,

Q = g(x,y, t, Q), x G R, y G R, t G R, (x,y) 6 W, x(ti) = ai, x(ti) = ei,   i = 1, 2, 3,

где функция g удовлетворяет условиям 4). Л- Дяя данных ti, ai. ei требуется найти коэффициенты po, Pi, р₂, удовлетворяющие системе (11).

Из второго уравнения системы (10) при условии ^{dg (} xdy^{,t, o)} = Q выразим быструю переменную y через медленную переменную x. Это возможно, так как функция g удовлетворяет всем условиям теоремы о неявной функции. Имеем y = p(x,t). Подставив это выражение в первое уравнение системы (И), имеем

x(t) = Po + Pix(t) + P2^(x(t), t).

Используя данные x(ti) = ai. x(ti) = ei 11 вводя обозначения Yi = yi = p(ai,ti). i = 1, 2, 3. имеем систему трех уравнеиий е тремя неизвестными po. Pi- p2:

Po + Pia + P2 Yi = в1, Po + Pi «2 + P2 Y2 = в2, Po + Pia3 + P2Y3 = вз -

Значит, на медленной поверхности (e = Q) искомые коэффициенты Pi, i = Q, 1, 2, вы-до числяются по следующим формулам: Pi = -^0-. Здесь Ao — определитель системы (13):

Ao =

1  aiYi

1  a2Y2

1  a3Y3

а А00’ Ащ>А 0 2	- определители, получаемые из А0 заме ной j-ro столбца, j = 1, 2, 3,
соответствующим	столбцом коэффициентов при ро, р1, р2: в1 ai Y1               1 в1 Y1	1  a1  в1
0 p0	в2   a2  Y2  , А^ = 1  в2  Y2  , АР2 = вз  аз  Y3              1  вз  Y3	1 а2 в2 •         (15) 1 а3 в3

Нуль в верхнем индексе определителей означает, что коэффициенты pi, i = 0,1, 2, подсчитываются на медленной поверхности (при е = 0).

Из теории линейных алгебраических систем [26, 27] вытекает следующее условие существования и единственности коэффициентов pi: Ао = 0.

Имеет место следующее достаточное условие существования и единственности коэффициентов системы (13), которая была получена из вырожденной системы (10).

Предложение. Пусть данные ti, ai, вс i = 1, 2, 3, таковы, что выполнены условия 1)—5) л определитель системы (13) при этих значениях ti. i = 1, 2, 3. не равен нулю. Тогда обратная задача имеет единственное решение, которое определяется равенствами до ai = ДФ гДе А0 и А®., i = 1, 2, 3, вычисляются по формулам (14) и (15).

В дальнейших исследованиях мы предполагаем включить в рассмотрение случай е = 0, а также снять ограничения на число переменных, степень многочлена и количество листов медленной поверхности.

Автор выражает благодарность В. Г. Романову за. давнюю совместную статью [28], которая инициировала, данную, коллегам за. помощь в работе и рецензенту за. справедливую критику и цепные замечания.