Проблема распределения товаров по логистическим центрам

Современное предприятие – сложная и динамичная система, активно взаимодействующая с внешней средой. В настоящее время эффективный логистический менеджмент признается ключевым фактором повышения показателей деятельности компаний и их конкурентоспособности [1, 2]. В работе [3] предложен конструктивный сравнительный анализ методов и моделей оценки спроса, применяемых в экономике и маркетинге и системная технология анализа и прогноза потребительских предпочтений. Вопросы динамики покупательского спроса рассмотрены в работе [4]. В основном для исследований используются шесть категорий регрессии: ANOVA / MANOVA, моделирование структурных уравнений (SEM), аналитическое моделирование, качественный анализ [4– 7]. Шаблоны использования этих подходов и методов отслеживаются на протяжении многих лет в различных областях. Тем не менее указанные методы не дают средств для оперативного решения множества возникающих проблем, в частности для эффективного оперативного управления организацией сетевого маркетинга [8].

В работе предложены алгоритмы анализа и решения проблемы распределения товаров по логистическим центрам, включая систему поддержки принятия решения в случае некорректности возникающей задачи. Программная реализация данных алгоритмов легко инкапсулируется в систему MS Office [9, 10].

В первом разделе дана формальная постанов-

ка задачи и введены основные используемые в работе обозначения. Во втором разделе рассмотрен разложимый случай задачи, сводимый к транспортной задаче в матричной постановке. В третьем разделе предложен способ регуляризации разложимой задачи в случае ее некорректной постановки. В четвертом разделе предложен способ аппроксимации задачи исходной задачи разложимой задачей.

1. Постановка задачи

Рассматривается проблема распределения множества I товаров по множеству / логистических центров. Пусть х^ - объем товара i е I, распределяемого в центр j е J; p_i j - маржинальная прибыль от продажи единицы товара i е I в центре j е J; Лц - стоимость распространения единицы товара i е I центром j eJ, d_i - платежеспособный спрос на товар i е I; b j - ресурс на обслуживание центра j е J. Формальная постановка задачи состоит в нахождении распределения товаров i е I по центрам j е J, для которого маржинальная прибыль максимальна

х ⁰

= arg max хеп

je] Iе!

P tjXij ,

на все товары удовлетворен платежеспособный

спрос

Ъ Xij = dt,ieI, je]

для всех центров выполнены ресурсные ограниче-

ния

^^ -ц ^С ц <^bj,^{j EJ} ,               (3)

-Ei выполнено условие неотрицательности x-j > 0,i e I ,j e J .                   (4)

Проблема (1)–(4) известна как распределительная задача линейного программирования [11, 12]. В общем случае для данной задачи неизвестно методов, учитывающих ее специфику, поэтому для ее решения применяют универсальные методы линейного программирования. Для задач большой размерности такой подход оказывается неэффективным, так как требуется применение коммерческого программного обеспечения. Кроме того, если задача (1)–(4) не имеет решения, то в данной постановке не ясен принцип принятия приемлемо- го решения.

• 2.    Разложимый случай задачи (1)–(4)

В ряде случаев параметр Лц можно представить в виде произведения Л -j = a_l P j , i E I, j E J. Введенные параметры можно интерпретировать следующим образом: а - - ресурсоемкость товара i E I в условных единицах, P j - стоимость обслуживания условной единицы в центре j E J. В этом случае возможно сведение задачи (1)–(4) к транспортной задаче в матричной постановке. Действительно, для всех j E J имеем

^ ^' ^ ij ^x ij < ^b j ^ ■ ^ ^ ' ^ i ^P j ^ ij < ^b j ^

• ■ K"'^) =й’“

где y^ = a_ix_i j . Переходя в задаче (1)-(4) к переменным y -j = a_lx_l j -i E I,j E J, получим

|^{1x d} Гч^{1у d} j^iE ^

Z^b ZZ^

jEj -Ei            jEj -Ei

Таким образом, задача (1)–(4) оказывается эк- вивалентна задаче о         V V pijyij

y:avgmE'xLL » -(5)

jEj -Ei

Zylj=^-iEI- al jEj bi . _ .

• Уlj

• 3.    Регуляризация задач (1)–(4) и (5)–(8)

lEi y-j > 0,i E I ,j E J .(8)

Задача (5)–(8) известна как открытая транспортная задача в матричной постановке [11]. Для решения подобных задач большой размерности известно программное обеспечение [10], которое легко инкапсулируется в систему MS Office.

Задача (5)–(8) (следовательно и (1)–(4)) имеет решение, когда спрос не превышает предложение, т. е.

• ■■ у у._; a; P,

lEi l    jEj P]

В противном случае (т. е. если S >  0) задачи (1)–(4) и (5)–(8) не имеют допустимых решений.

В этом случае для поиска подходящего решения требуется корректировка исходной задачи. Возможными способами корректировки условий данных задач являются:

• 1)    допустить предложения всех товаров ниже платежеспособного спроса

Ui jEj           l где ylO — неудовлетворенная часть спроса на товар i E I;

• 2)    с целью эффективной поддержки платежеспособного спроса развивать инфраструктуру всех маршрутов

Z ^b j

Уи = P⁺У oj -У oj > 0,j ^EJ,        (10)

lEi        Pj где yOj - объем инвестиций (в условных единицах) в развитие маршрута j.

Пусть kl - разрешенная доля неудовлетворенного спроса на товар i E I (т.е.у1о < kldl). Пусть pOj - объем инвестиций, требуемый для расширения ресурсов центра j E J на одну услов- ную единицу.

С учетом введенных в данном разделе переменных и ограничений рассмотрим откорректиро- ванную задачу

• ^y0 = ^aгв^^, E ^,₀^x1^^1P-a^{y^-p} oj ^y oi ) ,

jEj \ lEi 1/

Zdl ■ ylj + ylo=-,iEI, jEj

Z y -j — y oj = b j ,j E J , Pi

-Ei

У lj -У lo -У oj > 0,y -o < k i d i ,i EI ,j EJ .

Задача (11)–(14) представляет замкнутую транспортную задачу в матричной постановке [11]. Для решения подобных задач большой размерности также известно программное обеспечение [10], которое легко инкапсулируется в систему MS Office.

Очевидно, что задача (11)–(14) имеет оптимальное решение. Регуляризация осуществлена за счет введения дополнительных эндогенные переменных ylO,yOj >0,iE I,j E J, экзогенных переменных kl, i E I, и констант pOj,j E J.

Из построенной модели видно, что при фиксированных ценах поддержание платежеспособного спроса ведет к уменьшению маржинальной прибыли. Сохранение маржинальной прибыли требует увеличения отпускной цены на товары, что может привести к необратимому снижению спроса и уменьшению маржинальной прибыли. Таким образом, встает задача принятия решения в условиях риска и неопределенности. Управляемым параметром в данном случае являются экзогенные переменные kt, i e I.

В качестве критериев в модели принятия решений будем использовать маржинальную прибыль M и объем неудовлетворенного спроса S. Очевидно , что при фиксированных значениях эк зогенных переменных k t , i e I решение задачи (11)–(14) будет оптимальным по Парето . Проблема выбора конкретных значений этих переменных является трудно формализуемой и требует участия лица , принимающего решение ( ЛПР ).

• 4.    Аппроксимация задачи (1)–(4) разложимой задачей

Как было отмечено выше , задача (1)–(4) явля ется разложимой , если имеют место равенства

Atj = at Pj,ieI,jeJ.              (15)

Значение параметра A_t j интерпретируется как стоимость распространения единицы товара i e I центром j e J и его значение может быть определено с использованием статистических измерений. Напротив, параметры { a_t > 0: i e I} , {P j > 0: j e J} интерпретируются с использование термина

«условная единица», поэтому их непосредственное статистическое измерение невозможно. Поэтому будем рассматривать равенства (15) как систему алгебраических уравнений с неизвестными

{ a_t >  0: i e I} , {P j > 0: j e J] . Понятно, что при произвольных значениях A tj система уравнений (15) может оказаться несовместной.

Введем функцию

Z a_t Pi log^ ■

tel,jej

Очевидно, что inf F^ = 0 тогда и только тогда, когда система уравнений (15) совместна. Из неотрицательности функции F(A) следует, что значение infFi можно рассматривать как степень несовместности системы (15). При Л > 0 функция F(A) является непрерывной в окрестности любого минимума, поэтому инфимум достигается, а оптимальным приближенным решением системы (15) с минимальной степенью несовместности можно считать

(a0,P0) = arg min {Pj>0: jej} [ltei,jej |log^^-|].

{ a_l:>0: tef} ^{L                     lj}

Легко заметить, что из оптимальности решения (a⁰,P⁰) следует оптимальность множества решений D = {(a ⁰ • c,P^o/c) : c >  0}. Мы будем считать решением аппроксимирующей задачи

(a*,P*) = argmin.^. »),„H(a,P)H^.        (16)

Заметим, что если (a,P) e D, то

a*

,

maxa, tel ma^ j

.ke;j .

P=H

Таким образом, корректная постановка аппроксимирующей задачи является двухуровневой, но для ее решения достаточно найти любое решение задачи (1) нижнего уровня.

Алгоритм Decomposition

Вход: I,J, Л = {Atj : i e I,j e J};

Выход:

a = {at : i e I},p = {Pj : j eJ^F^a.P);

Шаг 1. (Построение матрицы Л . ) Для каждой строки i e I матрицы ^выполнить шаги 1.1, 1.2 и 1.3, затем перейти на шаг 2.

Шаг 1.1. Построить отсортированную строку

Л[1] = {Л^) : к =1,2.....\J\, j(k)eJ,

Ay11Ay22<™

Шаг 1.2. Положить v - IUHll v - Г\J\+11 „ - h(к+) . (к-) k- = [ 2 Гк+ = I 2 l,at = ^Ли<к+) •Atj(k-).

Шаг 1.3. Для к = 1,2, .„, \/\ положить

; (к) \j*

5'(к) -

Sr =

at

Шаг 2. (Построение матрицы Л.) Для каждого столбца j e J матрицы .Л выполнить шаги 2.1, 2.2 и 2.3, затем перейти на шаг 3.

Шаг 2.1. Отсортировать столбец j:

Л[*][/-] = {^a(kk))j: к = 1,2.....\J\,j(k^eJ,

Ai1j(1)

Шаг 2.2. Положить ъ      И+1| ъ _         R _ li (к+)    л (к-)

^к- = [—J,^k+ = ^|—\,^Pj = ^tj • ^At(k-)j.

Шаг 2.3. Для к = 1,2, .„, \/\ положить

'(^к)

7(к) _ t^(k)j t^(k)j = P_j

Шаг 3. (Нормирование) выполнить шаги 3.1, 3.2 и 3.3, затем перейти на шаг 4.

Шаг 3.1. Вычислить

max ae tel 1

max 7'

c=J

Шаг 3.2. Для всех к e I положить a_t = a_t/c .

Шаг 3.3. Для всех j e J положить Pj = Pj • c .

Шаг 4. Вычислить

F^(a,P) = ^teu'ej |1од^^^|.

Шаг 5. Вернуть

{a = {at : i e I},    p = {Pj : j e/},FA(a,P)}.

Конец описания алгоритма Decomposition Легко доказать, что алгоритм Decomposition корректно решает задачу (15). Его вычислительная сложность не превосходит величины 0(|7| • |/| • log(|/| • |/|)), т. е. существенно лучше предложенных в работе [12].

Заключение

Предложенные алгоритмы решают проблемы анализа распределения товаров по логистическим центрам, включая систему поддержки принятия решения в случае некорректности возникающей задачи. Программная реализация данных алгоритмов легко инкапсулируется в систему MS Office.