Проблемные места в решении иррациональных уравнений в школьном курсе математики

Khomushku A. B

Master's student 3rd year, " Institute of Physics and Mathematics and Information and Economic Education Novosibirsk State Pedagogical University Russia, Novosibirsk.

PROBLEM AREAS IN SOLVING IRRATIONAL EQUATIONS IN A

SCHOOL MATHEMATICS COURSE

Annotation. In this article, the concept of "irrational equations" is considered, examples of solving irrational equations are given, problem areas are indicated when solving irrational equations in a school mathematics course using examples. Keywords: mathematics, equation, irrational equations, root, variables

Алгебра является одним из самых сложных предметов, по мнению многих учащихся. Наибольшая доля материала, с которым ученики знакомятся в рамках школьного курса математики, связана с решением уравнений и неравенств. Как показывает практика, раздел алгебры, посвященный решению иррациональных уравнений и неравенств становится более проблематичным в усваивании, поскольку внимания этому разделу уделяют очень мало[2]. Проблема восприятия иррациональных уравнений и методик их решения в настоящее время становится актуальной и дискуссионной темой, обусловленных не только своей сложностью и объемностью материалов, но и необходимости подготовки учеников к сдаче единого государственного экзамена, где иррациональные уравнения, безусловно, станут частью экзаменационного материала.

В связи с актуальностью темы настоящей статьи была определена цель работы, которая состоит в обосновании проблематичных мест в решении иррациональных уравнений в школьном курсе математики. Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

• 1.    Охарактеризовать понятие «иррациональное уравнение» в рамках школьного курса математики;

• 2.    Определить методы решения иррационального уравнения на примерах;

• 3.    Указать проблематичные места в решении иррациональных уравнений с использованием примеров.

В школьном курсе математики уравнение представляет собой одно из основных понятий, которое определяется как своего рода соотношение, представляющее неизвестную величину, которую нельзя измерить или решить по готовой формуле. В таком случае, иррациональные уравнения – это уравнения, где переменная содержится под знаком корня. Как правило, иррациональные уравнения сводятся к равносильной системе, которая содержит уравнения и неравенства. Рассмотрим сказанное на примере[5]:

VTto = ^д^ <=> или {^(5 = >о°            (1)

<У(А) —

Из двух систем необходимо выбрать ту, которую проще решить.

^№) = а                       (2)

Если а < 0 , то уравнение не имеет корней.

Если а > 0 , то уравнение равносильно 7 (%) = а²

Тогда получим:

• ⁷⁷⁽%⁾ = sto <=> [^ = _д2(_Х)                ⁽³⁾

Следует отметить, что иррациональные уравнения решаются путем воздействия обеих частей уравнения в натуральную степень. Но, следует обратить внимание, что при возведении уравнения в степень могут появиться посторонние корни, в таком случае необходимо после решения иррационального уравнения провести проверку.

Далее приводятся примеры решения иррациональных уравнений.

Пример 1 [4]:

V2%TT = 3

Избавляемся от корней:

2% + 1 = 9

2% = 8

х= 4

Поскольку уравнение иррациональное, то, как было отмечено ранее, необходимо проверить полученный ответ:

V2 х 4 + 1 = 3

V9 = 3

3=3

Пример 2 [4]:

V2% — 5 = V4% — 7

Возведем в квадрат обе части уравнения: 2% — 5 = 4% — 7

Упрощаем: x=1

3 = V3

Получается под корнем отрицательное число, получается посторонний корень уравнения. Поэтому в ответе будем писать «нет решения».

Пример 3 [4]:

V12 — х = х

Возводим в квадрат обе части уравнения:

12 — х = х2

Далее упрощаем уравнение и решаем его, используя теорему Виета.

х2 + х — 12 = 0

Г х 1 = 3

^{х 2 = -4

Получается два корня, которые следует подставить в исходное уравнение:

Подставляем первый корень - 3

V9 = 3

3=3, следовательно, корень подходит.

Подставляем второй корень: -4

V16 = —4

• 4 ^ —4

Получается -4 - посторонний корень.

На первый взгляд, при разборе примеров, может показаться, что иррациональные уравнения решаются очень просто, тем не менее, школьники сталкиваются с трудностями, которые характеризуются следующими особенностями:

• -    Отсутствие четкого алгоритма решения иррациональных уравнений;

• -    Необходимость преобразований, приводящих к уравнениям, не равносильным, в виду чего возникают ошибки, связанные с потерей или приобретением посторонних корней в ходе решения[6].

Самый распространенный вид иррационального уравнения, который встречается на экзаменах, и где школьники наиболее часто допускают ошибки, это уравнение вида:

V-(?) = В(х)                            (4)

Решая данное уравнение, школьники возводят его в квадрат, тем самым образуя посторонние корни, и потом они забывают выполнить проверку. Именно поэтому, уравнение данного вида целесообразно решать с использованием равносильных преобразований[3]:

Таким образом, мы получим, что уравнение V-C?) = В(?) является равносильным системе -(?) = В²(?) и неравенства В(х) > 0 .

№ = ВС?) ^ПС^       (5)

Следует отметить, что иногда ученики добавляют к системе такое неравенство, как -(?) > 0 , но этого делать не следует, поскольку данное неравенство выполняется автоматически.

Другой вид сложного для учеников уравнения является иррациональное уравнение[3]:

V-c?) - VB?)                      (6)

Такой вид уравнения решается следующим способом:

_№ = ^ <=> у; \—^ 0)       7

Важно отметить, что в системе вторым из условий проверяется одно из неравенств В(?) > 0 или Л(?) > 0 , но ученики часто записывают оба неравенства.

Рассмотрим два примера, где у учеников встречаются наибольшие трудности[1]:

V2? — 1 + V? — 1 — 1

Во-первых, выделим, что корнем для решения данного уравнения является ? — 1 . Следует отметить, что левая часть уравнения состоит из суммы двух возрастающих функций, тем самым принимает каждое свое значение только один раз. В правой части функция у — 1 , параллельная оси ox , исходя из этого, функции имеют единственную точку пересечения x =1. Ответ: x =1.

Во втором примере предлагается решить следующее уравнение[1]:

• —%² + 2% — 1 = V %² — 3% + 2

В данном примере возведение обеих частей в квадрат будет нерациональным шагом. Левая часть уравнения —%² + 2% — 1 = —(% — 1)²< 0 , а поскольку правая часть не может быть меньше нуля, а значит решение возможно, только если обе части уравнения равны нулю, а такое условие выполняется только при x =1, следовательно, ответ будет x =1.

Таким образом, в настоящей статье были рассмотрены основные сложные моменты, с которыми сталкиваются школьники при решении иррациональных уравнений на примере двух видов. В заключение отмечу, что для повышения успеваемости школьников, необходимо выделить больше времени на освоение материала с целью полномерного освоения всех элементов, методов и свойств иррациональных уравнений.