Продолжение операции умножения в EОО-алгебрах до АОО-морфизма ЕОО-алгебр и картановские объекты в категории алгебр Мэя

В работе получен положительный ответ на указанный выше открытый вопрос о картановских объектах в категории алгебр Мэя. Получено новое доказательство формулы Картана для операций Стинрода в гомологиях произвольных Eqq- алгебр.

В работе [6] при изучении алгебраической природы возникновения операций Стинрода в когомологиях топологических пространств Мэй определил категорию, объектами которой являются дифференциальные модули, снабженные некоторым специальным действием резольвенты симметрической группы. Главным свойством объектов этой категории, которые называются алгебрами Мэя, является то, что на их гомологиях всегда имеется функториалыюе действие операций Стинрода. Для того чтобы операции Стинрода в гомологиях алгебр Мэя имели свойства, аналогичные свойствам операций Стинрода в когомологиях топологи сских пространств, в [6] были введены понятия адемовского объекта и картан обского объекта в категории алгебр Мэя. Более того, в [6] было показано, что для операций Стинрода в гомологиях адемовских алгебр Мэя справедливы соотношения Адема, а для операций Стинрода в гомологиях картановских алгебр Мэя имеет место формула Картана.

С другой стороны, в работе Смирнова [2] было введено понятие £’аа-алгебры в категории дифференциальных модулей, являющееся гомотопически инвариантным аналогом понятия ассоциативной и коммутатив ной дифференциальной алгебры. По своему определению структура £-е-алгебры, заданная на дифференциальном модуле, каноническим образом определяет на этом дифференциальном модуле структуру адемов-ской алгебры Мэя. Таким образом, операции Стинрода в гомологиях произвольной £ю-алгебры удовлетворяют соотношениям Адема. В работе [5] Чагаур и Ливериет при помощи свойства кофибрантной порожденно-сти категории Я^-алгебр показали, что для операций Стинрода в гомологиях любой Ем-алгебры справедлива формула Картана. Однако вопрос о том, является ли алгебра Мэя, происходящая из произвольной ЕД-алгебры, картановским объектом в категории алгебр Мэя, остался открытым.

В данной статье при помощи гомотопической теории ЕД-коалгебр из работы Смирнова [3] показано, что операция умножения U : X ® X -> X в произвольной Е® -алгебре продолжается до Аос-морфизма из ЕД-алгебры X® X в ^Д-алгебру X. Как следствие получено, что каждая алгебра Мэя, происходящая из произвольной Е_ю-алгебры, является картановским объектом в категории алгебр Мэя. Другими словами, в работе получен положительный ответ на указанный выше от

крытый вопрос о картановских объектах в категории алгебр Мэя и, следовательно, получено новое по сравнению с [5] доказательство формулы Картана для операций Стипрода в гомологиях произвольных Soo-алгебр. Перейдем теперь к строгим определениям и формулировкам.

Напомним сначала для введения терминологии и обозначений необходимые определения и конструкции, связанные с понятиями операды и алгебры над операдой из работ [2-

Симметрическим семейством £ = £u)_>>z называется любое семейство дифференциальных градуированных Lj-модулей £(j), где Hj - симметрическая группа степени з- Морфизмом симметрических семейств f : £' -4 £" называется произвольное семейство £_,-эквивариантных отображений дифференциальных градуированных модулей / = ОД) : Е'^ -> г'Ь),>,}-

Для заданных симметрических семейств £‘ и Е" рассмотрим симметрическое семейство £' х £” = (£' х £")(f)j>n где ^Е* х E")(j) - фактор-модуль Е^-свободного дифференциального граду кропанного модуля, порожденного дифференциальным градуированным модулем

22   Е\к)®£"(зг')®...®£,,(зк'), ji+—+ik=i по отношению эквивалентности ~, которое определяется следующими соотношениями:

х а® т₁ ® ... ® х_к ~

~ х ® ^-1(1) ® ... ® ^я^СИ.... Jk), х' ® ^<71 ® ... ® Хк<Тк ~

^ X ® х” ® ... ® Хк(<Т1 X ... X (Тк\

Здесь ..., Д) — перестановка j элементов, получающаяся при разбиении множества из j элементов на к блоков по ji, -:,jh элементов и воздействием на эти блоки перестановкой ст, и щ х ... х <ть - образ элемента (щ,..., <Тк) при вложении Е^ © ... © Ej_k -4 Sj. Ясно, что рассмотренное х-произведение ассоциативно, т. е. для произвольных симметрических семейств £, Е’. Е*‘ имеется изоморфизм £ х (Е^ х £") ss(E X £') X £" в категории симметрических семейств.

Операдой (£,я) называется симметрическое семейство £ — £(j)}->1, рассматривае- мое вместе с морфизмом симметрических семейств я : £ х £ -э £, для которого выполнено условие 7г(л х 1) - тг(1 х я). Морфизм симметрических семейств я : £ х Е —> £ называется умножением операды (£>п). Морфизмом операд / : (S^tt') -4 (£'^п") называется морфизм симметрических семейств / : Е’ —> £н, для которого выполнено условие /я'=я"(/Х/). '

Операда (S. тг) называется свободной, если эта операда, рассматриваемая как градуированная операда, т. е. рассматриваемая без дифференциала, является свободным объектом в категории градуированных операд. Операда (£,?г) называется Е-свободиой (соответственно ацикличной), если для каждого з > 1 дифференциальный градуированный модуль E(j) является Sj-свободным (соответственно ацикличным).

Одной из важнейших операд в алгебраической топологии является построенная в работе [2] операда (Е_оо,-тгУ По своему построению операда (S^jTc) является свободной, S-свободной и ацикличной операдой. Например, дифференциальный градуированный модуль Soo (2) является Ез-свободным ацикличным цепным комплексом с образующими U, G Spo(2) размерности г > 0 и дифференциалом

d(U,) = Uj-1 + (-1/ Ui-1T, T 6 e₂-

Напомним теперь понятие алгебры над операдой. Пусть заданы произвольный дифференциальный градуированный модуль X и некоторое симметрическое семейство £ - №)Ъ>1- Рассмотрим дифференциальный градуированный модуль fxx-фэд^х»;

>>1

где симметрическая группа Sj действует на X®^J перестановками сомножителей в тензорном произведении с обычным соглашением о знаках. Легко видеть, что для любых симметрических семейств £', £” и любого дифференциального градуированного модуля X имеет место изоморфизм Е* х (£" х X) м (£' х £") х X в категории дифференциальных градуированных модулей.

Алгеброй над операдой (S, я), или просто £-алгеброй, называется дифференциальный градуированный модуль X, рассматриваемый вместе с фиксированным отображением дифференциальных градуированных модулей /z : £ х X -4 X, для которого вьшол- нено условие д(тг х 1) = д(1 х д). Отображением £ -алгебр / : ^Х\р^ -> ^Х",^ называется отображение дифференциальных градуированных модулей f : X' ^ X", удовлетворяющее условию д"(1 х /) = f р.

В работе [2] при помощи метода ацикличных моделей было показано, что на сингулярном коцепном комплексе С* (X) любого топологического пространства X имеется естественная структура Е™ -алгебры д : Е™ X С^^Х") —> С*(Х), удовлетворяющая условию д(ио) = U, где Uo G Еоо(2)о и U : С"(Х) ® С*(Х) —> С*(Х) - умножение в коцепном комплексе С*(Х), индуцированное диагональным отображением топологических пространств X —>• X х X. Кроме того, в [2] было показано, что любое непрерывное отображение топологических пространств / : X -^ У индуцирует отображение £_ю-алгебр С*^Л ■ С 04 -* СДХ\

Ам-морфизмом / : X -> Y алгебр над операдой (5, тг) называется семейство отоб-ражений / = {/n : £XnxX^Y | /п((5хпХ х X),) С Уе+П,п С Z, п > 0}, которые для каждого целого числа п > — 1 удовлетворяют соотношению dfn^ + (-l)"/n+ld = (-1)"д(1 х М- п

/„(1 х ... х 1 х д) + 52(-l)t+n/4 IX

X... X 1 X Л X 1 X ... X I X 1 ), где t - номер места, на котором стоит тг.

Легко видеть, что каждое отображение 5-алгебр f : X -^ Y можно считать Диморфизмом 5-алгебр {/„} : X -> У, если положить /о = / и f_n = 0, п > 0.

Гомотопией h : X —> У между Аос-мор-физмами 5-алгебр Лд : X —> Y называется семейство отображений h. = ^hn : (5VnxX). —> -э У.+п+1 | n G Z, n > 0}, которые для каждого целого числа п > — 1 удовлетворяют соотношению d/ln+1 + (~l)"+1/ln+ld —

= /п+i - 9п+1 + /г_п(1 х ... х 1 х д) +

+(-1)яд(1 х ^ -f-^-l/^^flx

X... X 1 X ТГ X 1 X ... X 1 X 1), где t - номер места, на котором стоит тг.

При помощи понятия гомотопии между Аю-морфизмами 5-алгебр стандартно определяется понятие Аю-гомотопической эквивалентности 5-алгебр.

Пусть заданы Аю-морфизмы 5-алгебр р : X ~ У : ф для которых выполнено условие т^ = 1у, и пусть задана некоторая гомотопия h : X —* X между Аю-морфизмами 5-алгебр 1х и £ц, удовлетворяющая условиям /г^ = 0, 7}h = 0, hh. = 0. Рассмотренная ситуация традиционно записывается в виде (тр : ХдДУ : ^,h) и называется Аю-SDR-ситуацией 5-алгебр.

Напомним, что операда (£оо,7г) является операдой Хопфа [2], т. е. для операды (£ю,тг) в категории симметрических семейств имеется ассоциативное коумножение V : Еос —> Е^ ® Е_м. где (Еос, ® E^U) = Sco(j) ® St» 0‘), j >  1, которое является морфизмом операд. При помощи этого коумножения V определяется тензорное произведение (X <8> У, д) произвольных Ею-алгебр (X, р) и (У, д") со структурным отображением д : Е_№ х (X ® У) -> X ® У, которое задается формулой д = (д' ® p')r(V х 1), где Т: (Е„®Ею)х(Х®У) А(хХ)®(£„хУ)-очевидное перестановочное отображение.

Рассмотрим теперь для произвольной Еоо-алгебры (X, d, р) дифференциальную алгебру (X, d,U), операция умножения U : (X ® X)* —> X. которой задается формулой U = д(и₀® 1х®1х), где Uq € Ею(2)о. Так как в операде (Soo,тг) имеется соотношение d(Ui) — Uo — UnT, где Ui G E™ (2)i, T G S2, to операция умножения U является гомотопически коммутативной. Кроме того, операция умножения U является гомотопически ассоциативной, поскольку в операде (£оо,л) содержится [2] подоперада Сташеффа (А^тт) и, следовательно, в операде (£_ж, тг) имеется соотношение

d(TTi) = 7t(Uq ® Uq ® 1) — тг(и0 ® 1 ® Uo), где Tri G Aoo(3)i С £cc(3)i- Отметим теперь, что если для произвольной Sac-алгебры (X, д) рассмотреть соответствующую ей Еоо-алгебру (X ® X, д), то операция умножения U : (X ® X), —> X,, вообще говоря, не является отображением ^оо-алгебр. Однако, как показывает следующее утверждение, для любых Eqq-алгебр, заданных над полем Z2, операцию умножения U всегда можно продолжить до Aoo-морфизма 5оо-алгебр.

Теорема. Для каждой Еос-алгебр-ы, (Х,^, заданной над полем Z2, существует А»-морфизм Еж-а^ггебр ф=Ш- №хХ®2). -э Х.+п | п е Z, п > > 0}, началъная компонента фо : (Х®Х). —> toXe которого совпадает с операцией умножения U = д(и0 ® 1^2) : (X ® X). -4 X..

Доказательство. Напомним сначала, что в работе [3] для любой Еда-алгебры X, заданной над полем Хз, фупкториальным образом была построена симплициальная коммутативная коалгебра F(X"), обладающая тем свойством, что соответствующая ей Есе-алгебра N*(F(X)) нормализованных коцепей с коэффициентами в Хэ и исходная Дос-алгебра X являются А™-гомотопически эквивалентными Еда-алгебрами. Так как сим-плициальная коалгебра Е(Х) коммутативна, то коумножение V : Е(Х) -4 Е(Х)®² этой симплициалыюй коалгебры является отображением симплициальпых коалгебр и, следовательно, индуцирует отображение Е_го- алгебр X*(V) : W(E(X)®²) Ч Х*(Е(Х)). В [2] (см. также [1]) было показано, что отображение Эйленберга-Зильбера ф : X*(F(X))®² -4 Х*(Г(Х)®²), являющееся гомотопической эквивалентностью дифференциальных модулей, можно продолжить до Лоа-гомотопической эквивалентности Е_та алгебр

V = Ш = Х‘<№^² -^ N4F(X)®²),

Фо = ф

Из этого следует, что для Е^ -алгебры (N^^F^X)),^ операция ассоциативного умножения

U = д(и0 ® 1 ® 1) = N^V)^ ; ХЧ^(Х))82 -4

-э Х*№У)

продолжается до А^-морфизма Е™-алгебр

7 = N4W = Ы‘. N^F^X))®² -4

-^N^FQC^ 70 = и.

Пусть Лео-морфизмы Еда-алгебр / = {/„} : : X ^Д N*(F(X)) : {g_n} = 9 являются вза-имообратными А_ю-гомотопическими эквивалентностями Е<х> -алгебр над полем Ха- Тогда легко видеть, что имеет место соотношение dtFtd = U(/o®/o) + /oU, где t = /i(Uo®1®1), U — g(Uo ® 1 ® 1), и, следовательно, справедливо соотношение dk+hd. = 9c(U(/o®/o)) +U, где h, — gyt + sU и ds + sd = lx+ gofo- Таким образом, имеется морфизм Ада-морфизм Еоо- алгебр

5 = 97(/ ® /) = U™} : X ® X -э X,

Со = po(U(/o ® /о)), для которого выполнено равенство dh 4- hd = Со 4- U, т. е. отображения дифференциальных модулей Со : X®2 -4 X н U ; X®2 -4 X являются гомотопными. Покажем, что в этой ситуации отображение дифференциальных модулей U : X®2 -4 X продолжается до Ада-морфизма Еда-алгебр V = {^тг} : X®2 -4 X, фо — U и, кроме того, имеется гомотопия г - {гп}, го = й, между Aoc-морфизмами Еда-алгебр С = {Cn} : х^ -4 X и ф = {Vn} ■ X®2 -4 X. Определим семейства отображений V - {^ : (Е^ х X®3). -4 X.+fJ и г = ^Гд : (E^" х X®2). -4 X.+n+i}, полагая фо = U, Vi — ^1+йд4-д(1хй), фп = Сп, ^> 2, го - й, тп = 0, п > 1.

Прямые вычисления показывают, что семейство отображений ф = {Vn} является А™-морфизмом Еда-алгебр и семейство отображений г — {т_п} является гомотопией между А_ж-морфизмами Е_ж-алгебр С = {С™} и ф _ {-0_П}. Таким образом, для любой Боо-алгебры (Х,д), заданной над полем Za, операция умножения U — д(ио®1®1) : X®² -4 X продолжается до Ам-морфизма Еж-алгебр VM : ^®² ^ X, Vo = U.

Рассмотрим теперь категорию (Е2Д2)-алгебр Мэя. Эта категория была введена в работе [6] как подкатегория категории дифференциальных модулей, на гомологиях объектов которой естественным образом действуют операции Стинрода.

Напомним, что (532,^2)-алгеброй Мэя называется пара (X, ^), где X - произвольный дифференциальный модуль над полем Za и d : Еоо(2) ®е₂ X®² -^ X -отображение дифференциальных модулей, для которого индуцированное отображение U = tf(Uo ® I®²) ^: X®² -4 X является гомотопически ассоциативным умножением на дифференциальном модуле X. Здесь считается, что группа Еа действует на X®² перестановкой сомножителей в тензорном произведении. Морфизмами (Е2,^э)-алгебр Мэя / : (X, ^) -4 (У, i?") называются отображе ния дифференциальных модулей f ; X -^ Y, для которых отображения ^'(l ® /®²) и f-d' являются гомотопными отображениями дифференциальных модулей.

Легко видеть, что каждая Е^-алгебра (X, д), заданная над полем Z2, имеет структуру (Ез^з^-алгебры Мэя (X,i5), где структурное отображение дифференциальных модулей S : Еоо(2) ®es X®2 -4 X определяется как ограничение отображения дифференциальных модулей д : Еж х X -> X на подмодуль Ею(2) ®Еа X®2 дифференциального МОДУЛЯ Ew х X.

Напомним теперь, что тензорным произведением (Е₂,Е₂)-алгебр Мэя (X, #) и (У, т9") называется (La, Жз)-алгебра Мэя (X ® У, i9), структурное отображение т? : £„(2) ®е₂ (X ® У)®³ -> X ® У которой определяется равенством

^ = (^ ® т?")(1 ® Т ® 1)(V ® If), где 17 : (Х®У)®2 -^ Х®3^У®\Т- Ею(2)®Ва ®к3 X®2   -4  X®3 ®е2 £==(2) - оче видные перестановочные отображения и V : Еоо(2) н- Е(2) ® £оо(2) - ограничение указанного выше морфизма операд V : Е<» —> £оо ® £оо на дифференциальный градуированный Е2-модуль Ето(2). В частности, для каждой (Ез, Ег)-алгебры Мэя (X, 19') определена (La, Е2)-алгебра Мэя (X®2,!?).

Картановским объектом категории (Ег.Ег)-алгебр Мэя называется произвольная (Е2,Е2)-алгебра Мэя (Х,19), операция умножения U = i9(Uo ® I®2) : X®2 -^ X которой является морфизмом (La, Z2)-алгебр Мэя.

Следствие 1. Для, произвол-ьной Е_х-алгебры (X, ц), заданной над полем Z₂, соответствующая ей (BajZg)- алгебра Мэя (X, 19) является картановским объектом категории (Е₂, Е₂)- алгебр Мэя.

Доказательство. В теореме для произвольной £оо-алгебры (X, р) был построен     Лоо-морфизм     £«-алгебр

^ - М : (Е^хХ®²), -♦ Х._+п [п е Z,n > 0}, начальная компонента 4*0 ^: (^ ® -^)» ~^ ^* которого совпадает с операцией умножения U - д(и₀ ® 1$²) : (X ® X). -^ X.. Из соотношений в определении А^-морфизма Е™ -алгебр получаем, что для компоненты ^1 : (Е_ж х X®²), -э Х,+1 имеет место равенство &ф1 + ^itf = р(1 xU) — U(1 х ц). Если определить теперь отображение h ; (Еж (2) ®_2з (X®² ® X®²), -> X.+i как ограничение отображения V*i на подмодуль Еж (2) ®е₃ (X®² ® X®²) дифференциального градуированного модуля Ex, х X®², то для (Е₂,Е₂)-алгебр Мэя (X,t9) и (X®²,i9), которые соответствуют Еж-алгебрам (X,д) и (Х®²,д), получим равенство dh + hd = i9(l ® U®²) — U19. Это равенство означает, что h является гомотопией между отображениями 19(1 ® U®²) и U19 и, следовательно, операция умножения

U - i9(U0 ® I®2) : (X®2,t?) -> (Х,т9) является морфизмом (Е2, Zs)-алгебр Мэя. Таким образом, (Е2, Ег)-алгебра Мэя (X, 19), соответствующая Еж-алгебре (X, р), является картановским объектом категории (La, Ез)-алгебр Мэя.

Напомним теперь конструкцию операций Стинрода в гомологиях (Е2,Е₂)-алгебр Мэя и, в частности, в гомологиях Еж-алгебр. Пусть задана произвольная (Е2,Ез)-алгебра Мэя (Х,^), которую будем рассматривать с верхней градуировкой, полагая Х^к = Х_^, k € Z. Образующие Un G £ж(2)„, п > 0, дифференциального Е₂[Е₂]-модуля Б™ (2) определяют отображения

U„ = 19(U„ ® 1^2) : (X ® X)' -> Xе"", п > О, связанные между собой соотношениями d(Un) - Un—1 + (-1)" U„-i Т, п > 1, d(Uo) = 0. Операция гомотопически коммутативного и гомотопически ассоциативного умножения U — Uo : (X ® X)" —* Xе индуцирует на гомологическом модуле Н(Х) коммутативное и ассоциативное умножение и : Я(Х) ® Н(Х) -> Я(Х). Кроме этого умножения, указанные выше отображения Un, п > 0 определяют естественные по аргументу X отображения Еа-модулей

Sq™ : Я*(Х) Н- Я*+п(Х)^ п > 0,

Sqⁿ{z} — {т U_q-n т}, где ® е Х^ч и через {ж}, {z U,__n^} обозначены соответствующие классы гомологий циклов х и х Ug-n х. Отображения Ег-модулей Sqⁿ, п > 0 называются операциями Стинрода в гомологиях (Е2,Е₂)-алгебры Мэя (X, 19). Операциями Стинрода в гомологиях Еж-алгебры (Х,д) называются операции Стинрода в гомологиях (Ег,Z₂)-алгебры Мэя (X, 19), которая соответствует Еж-алгебре (Х,д). В [6] было показано, что если (Е2,Ё₂)-алгебра Мэя X является картановским объектом категории (Е₂, Е2)-алгебр Мэя, то для операций Стинрода Sqⁿ : Я*(Х) -^ H^l+n(X) в гомологиях Н*(Х) этой (Е₃, Х₃)-алгебры Мэя справедлива формула Картана. Из этого, применяя следствие 1, получаем следующее утверждение.

Следствие 2. Для операций Стинрода Sqⁿ : Н*(Х) —У Н*^+п(Х) е гомологиях Н*(Х} любой Е_х-алгебры (X, д), заданной над полем Z₂, справедлива формула Картана Sqⁿ(zU у) =^2 Sq^l(x) USq^J(y), х,у G Н*(Х).

£+j=n