Проекция положительного оператора Урысона

Семeну Самсоновичу Кутателадзе в связи с его шестидесятилетием

Для положительного оператора Урысона доказывается критерий латеральной непрерывности. Устанавливаются формулы проектирования положительного оператора Урысона на полосы латерально непрерывных и σ -латерально непрерывных операторов.

В работе [2] введен класс нелинейных ортогонально аддитивных порядково ограниченных операторов, названных абстрактными операторами Урысона. Этот класс при обычном поточечном упорядочении оказывается пространством Канторовича, при условии, что таковым является пространство образов. Частными случаями таких операторов являются нелинейные интегральные операторы типа Урысона и Гаммерштейна. Важную роль в пространствах абстрактных операторов Урысона играют полосы латерально непрерывных и σ-латерально непрерывных операторов. Возникает задача: для произвольного положительного оператора Урысона найти формулы проектирования на полосы латерально непрерывных и σ-латерально непрерывных операторов. Кроме того, полезно было бы иметь критерий латеральной непрерывности в виде условий, налагаемых на ядро. Решение аналогичных задач для линейных операторов см. в [3]. Настоящая заметка посвящена решению этих вопросов.

Необходимые сведения из теории векторных решеток можно найти в [1, 3]. Напомним некоторые факты об ортогонально аддитивных порядково ограниченных операторах из [2].

Рассмотрим векторную решетку F и векторное пространство W . Говорят, что оператор T : F ^ W ортогонально аддитивен, если T (f i + f 2 ) = Tf i + Tf 2 для дизъюнктных f l и f ₂ . Ортогонально аддитивный оператор T называется порядково ограниченным, если он переводит порядково ограниченные множества в порядково ограниченные множества. Оператор T : E ^ F , действующий между векторными решетками E и F , называется абстрактным оператором Урысона , если он порядково ограничен и ортогонально аддитивен. Множество всех абстрактных операторов Урысона из E в F обозначается символом U (E, F ). Частичный порядок в векторном пространстве U (E, F ) вводится с помощью конуса U + (E, F ), определяемого следующим образом:

T G U ₊ (E, F ) О ( V G E) Те >  0.

При этом по определению S 6 T означает, что S — T G U.₊ (E, F ).

(° 2005 Плиев М. А.

В случае, когда векторная решетка F порядково полна, для абстрактных операторов Урысона из U (E,F ) можно построить порядковое исчисление Рисса — Канторовича, аналогично линейному случаю.

Пусть E и F — векторные решетки, причем F порядково полна. Тогда U (E, F ) — порядково полная векторная решетка, и для любых двух операторов T, S Е U (E,F ) и f ∈ E справедливы формулы:

(T V S )(f) := sup { Tg + Sh : g + h = f, g ± h};

(T Л S)(f ) := inf { Tg + Sh : g + h = f, g ^ h } ;

^{T +( f} ) ^:= sup V Tg ^: g 6 f ^{( f} - gUg^};

T ^- (f ) := - inf { Tg : g 6 f, (f - g) ± g } ;

I Tf | 6 | T | (f).

Говорят, что сеть (v _a ) _a g = C E латерально сходится к элементу v, если v = o-lim _a v _a и (v _a — v e Hv e для любых а, в Е Е, в 6 а. При этом пишут v = l-lim _a v _a . Пусть E — векторная решетка. Ортогонально аддитивный оператор T называется латерально непре рывным (латерально ст-непрерывным), если для любой сети (e _a ) C E из e = l-lim _a e _a следует o-lim _a Te _a = Te (соответственно, для любой последовательности (e _n ) C E из l-lim _n e n = e следует o-lim _n Te n = Te). Множество всех латерально непрерывных (латерально ст-непрерывных) операторов обозначается через U_C(E,F ) ( U _ac (E,F )).

Оператор T Е U(E,F ) называется вполне аддитивным (ст-аддитивным), если T ( ^2_a и _а ) = 52 _a Tu _a для любого семейства (любого счетного семейства) попарно дизъюнктных элементов (u _a ) (_a ^ A) . Множество всех вполне аддитивных (ст-аддитивных) операторов, действующих из E в F обозначается U _a (E, F ) соответственно U _aa (E, F ). Можно показать, что множества U _a (E,F ) и U _aa (E, F ) являются полосами в U(E,F ).

Если T ортогонально аддитивный порядково ограниченный оператор, то следующие условия эквивалентны: 1) T есть латерально (ст)-непрерывный оператор; 2) T ст-адди-тивен. Тем самым, U _ac (E, F ) = U _aa (E, F ).

Если E и F — векторные решетки, причем решетка F порядково полна, то пространства U_C(E,F ) и U_ac (E,F ) являются полосами в U (E,F ). Для оператора T Е U (E,F ) ядром называется множество { e Е E : Te = 0 } . Множество M C E называется лате-рально замкнутым ( латерально σ-замкнутым ), если оно содержит пределы всех своих латерально сходящихся сетей (последовательностей).

Сформулируем теперь основные результаты настоящей заметки.

Теорема 1. Пусть T : E ^ F — положительный оператор Урысона, где E — решетка с проекциями на главные полосы, а F — K -пространство. Оператор T латерально непрерывен (латерально ст-непрерывен) тогда и только тогда, когда ядро любого оператора S Е U (E, F ), 0 6 S 6 T, латерально замкнуто (латерально ст-замкнуто).

Следующая теорема указывает формулу проекции положительного оператора на полосу латерально непрерывных операторов. С каждым положительным оператором T свяжем операторы T _c и T _σc , определяемые формулами

T _c u = inf { sup Tu _a : u = l-lim u _a } ;                          (1)

T _ac u = inf { sup Tu n : u = l-lim u n } .                         (2)

Инфимум в первой формуле берется по всем сетям (u _a ) латерально сходящимся к u. Аналогично и в отношении последовательностей во второй формуле.

Теорема 2. Пусть T положительный оператор Урысона из решетки с проекциями E в K-пространство F . Тогда T c (T _CTc ) является проекцией на полосу латерально непрерывных (a-латерально непрерывных ) операторов.

Теорема 3. Для произвольного положительного оператора T Е U . (E,F ) проекция T a на полосу U _a (E, F ) может быть вычислена по формуле:

TaU = inf П X TUaO, где инфимум берется по всем попарно дизъюнктным семействам (ua) таким, что u = Pα uα .

Доказательство сформулированных результатов содержится в леммах 1–5. Всюду ниже T Е U (E, F ) — положительный оператор Урысона, где E — решетка с проекциями на главные полосы, а F — это K -пространство.

Лемма 1. Пусть положительный оператор Урысона T латерально непрерывен ( латерально a-непрерывен ) . Тогда для всех операторов Урысона S Е U (E,F ), 0 6 S 6 T, ядро является латерально замкнутым (латерально a-замкнутым ) множеством.

C Рассуждение проведем для сетей. В случае последовательностей используется аналогичная схема. Пусть T латерально непрерывен и S Е U (E,F ), 0 6 S 6 T . Так как Uc( E,F ) — полоса, то S также латерально непрерывный оператор. Пусть M — ядро S. Возьмем сеть (u _a ) Е M , латерально сходящуюся к нулю. Тогда справедлива формула

Su = o-lim Sua = 0 ^ u Е M, из которой следует латеральная замкнутость ядра S . B

Следующее предложение заканчивает доказательство теоремы 1.

Лемма 2. Пусть T — положительный оператор Урысона и ядро произвольного оператора Урысона S, 0 6 S 6 T, латерально замкнуто (латерально a-замкнуто). Тогда оператор T латерально непрерывен (латерально a-непрерывен).

C Рассуждение, как и в предыдущем случае, проведем для сетей. Пусть T произвольный положительный оператор Урысона такой, что ядро произвольного оператора S Е U (E,F ), 0 6 S 6 T , латерально замкнуто. Рассмотрим сеть (u _a ), латерально сходящуюся к u . С каждым элементом u _α свяжем π _α проектор на полосу u _α ^⊥ . Тогда можем написать:

Tu = Tu _a + T (u — u _a ), Tu = Tu _a + Tn _a u,

Tu 6 sup Tu _a + Tn _a u.

α

В последнем неравенстве в правой части перейдем к инфимуму по всем α :

Tu 6 sup Tu _a + inf Tn _a u.

Оператор inf _a Tn _a обозначим через S . Ясно, что S — положительный оператор Урысона. Так как S 6 T , то по условию ядро S латерально замкнуто. Кроме того, легко видеть, что Su = inf _a Tn _a u. Действительно, по определению S u 6 inf _a Tn _a u. Докажем обратное неравенство. Заметим, что

Su = inf

n

T παi ui i=1

n ui i=1

= u, u i ^ u j , j = i

,

где инфимум берется по всем конечным наборам ai,..., an. Так как сеть проекторов па убывает, то для любого конечного набора проекторов πα1 , . . . , παn найдется проектор παl такой, что n

Tπ α _i u >  T π α _l u.

i =1

Переходя к инфимуму по всем конечным наборам можем написать Su > inf a Tn _a .

Так как Su _a = 0 для всех a, то Su = 0 в силу латеральной замкнутости ядра S. B

Лемма 3. Пусть T — положительный оператор Урысона. Тогда формулы (1) и (2) определяют ортогонально аддитивные порядково ограниченные операторы.

C Проведем рассуждения для сетей, для последовательностей получается аналогично. C оператором T свяжем оператор T ^\ следующей формулой:

T \ e := inf { sup Te _a : e = l-lim e _a } .

Требуется установить, что T \ (e + f ) = T \ e + T \ f, где f ± e. Пусть e, f G E и сеть (v _a ) (_a e Л) латерально сходится к f + e. Ясно, что V _a G E + для всех a G Л. C сетью (v _a ) свяжем две сети (v i,_a ) и (V 2,_a ), определяемые следующими формулами.

v i,a := V a Л e; V 2 ,a : = V a Л f.

Ясно, что f = l-lim _a V 2,_a и e = l-lim _a v i,_a . Действительно, убедимся в этом для (v 2,_a ). Справедливы следующие формулы.

(V 2,a - V 2,e ) Л V 2,e = (V a Л f - V e Л f ) Л (V e Л f ) = [V a Л f + ( - V e ) V ( - f )] Л V e Л f

= [(V a Л f - V e ) V (V a Л f - f)] Л V e Л f 6 (V a - V e ) Л V e = 0;

O- U m V 2,a = o-lim(V a Л f ) = (o-lim V a ) Л f = (f + e) Л f = f.

Отсюда следует формула

T \ (e + f) >  T \ e + T \ f.                                 (3)

Докажем обратное неравенство. Пусть e = l-lim _aeл V _a и f = l-lim ₇ e r Wy • Произведение Л x Г будет направленным множеством, где порядок вводится следующим образом:

(a, y) 6 (a ⁰ , Y 0 ) ^ a 6 a ⁰ Л y 6 Y 0.

Построим сеть u _a,_Y := V _a + w _y . Покажем, что f + e = l-lim (_a,_Y) u _a,_Y . Действительно,

(u (a 0 ,Y 0 ) - U (a,Y) ) ^Л U ( u,y ) = (V a⁰ + Wy ⁰ - V a - Wy ) Л (V a + Wy )

= (V _a o - V _a + w _y o - w _y ) Л (V _a + w _y ) 6 (V _a o - V _a ) Л V _a + (w _y o - w _y ) Л w _y = 0.

Отсюда выводим неравенство

T \ (e + f) 6 T \ e + T \ f.                                 (4)

Пусть теперь e, f G ( - E + ) и e ± f. Сеть (v _a ) _aGл латерально сходится к f + e. Ясно, что V _a G ( - E ₊ ), a G Л. Теперь можем написать

V i,a := e V V a ; V 2,a := f V V a ;

(v i,a - v i,e ) Л v i,e = | (v a V e - v e V e) | л | v e V e |

= (( - V a ) л ( - e) - ( - v e ) л ( - e)) Л ( - v e Л ( - e)) = 0;

o-limv 1 _a = o-lim(v _a V e) = (o-lim v _a ) V e = (f + e) V e = e. α^,       α                   α

Таким образом, доказано неравенство (3). Доказательство неравенства (4) не вызывает затруднений. Пусть теперь e > 0, а f 6 0 и сеть (v _a ) латерально сходится к e + f и f ± e. Тогда можем написать

V i,a := V + Л e; V 2,a =: ( - v - ) V f.

Рассмотрим общий случай, когда e и f произвольны. Тогда e = e ⁺ + ( - e ^- ) и f = f ⁺ + ( - f - ) и доказательство сводится к разобранным выше случаям.

T \ (e + f) = T \ (e ⁺ + ( - e ^- ) + f ⁺ + ( - f " )) = T \ (e) + T \ f.

Таким образом ортогональная аддитивность оператора T ^\ доказана, порядковая ограниченность этого оператора очевидна. B

Следующая лемма завершает доказательство теоремы 2.

Лемма 4. Оператор T \ латерально непрерывен (латерально a-непрерывен).

C Докажем формулу для сетей, в случае последовательностей доказательство аналогично. Достаточно доказать, что оператор T ^\ , определенный в лемме 3, латерально непрерывен. Действительно, пусть S — латерально непрерывный оператор, v G E, v = l-lim _a v _a и S 6 T . Тогда можем написать

Sv _a 6 Tv _a , a G Л; Sv = sup Sv _a 6 sup Tv _a . αα

Переходя к инфимуму по всем сетям, латерально сходящимся к v , можем написать Sv 6 T ^\ v. Итак, возьмем произвольный элемент и G E и сеть (и д ) (А е Л) , латерально сходящуюся к и. Ясно, что h = supa { T\ua } 6 T \ u. Требуется установить обратное неравенство T ^\ 6 h. С каждым элементом u λ свяжем порядковый проектор π λ на полосу { и - и д } ^- и ортогонально аддитивный положительный оператор T a := Tn A . Аналогично определяется и t \ . Сеть Ta убывает в пространстве U (E, F ) и ограничена снизу. Обозначим через S инфимум сети (Ta ) (д е Л) • Теперь можем написать:

T \ и = T \ и _д + T \ (и - и _А ) = T \ и _д + T \ u;

T \ и - h 6 T \ и - T \ и д = T \ (и - и д ) = T^u;

0 6 (Tj - S \ ) = (T _A - S ) \ 6 T _A - S.

Отсюда следует, что сеть T \ , убывая сходится к S \ . В частности, T \ и = S \ и. Во втором неравенстве перейдем к инфимуму по всем A G Л. Теперь можем написать T \ и - h 6 S \ u. По определению Su a = 0 для всех A G Л. Но тогда и вектор S \ и равен нулю, так в качестве сети, латерально сходящейся к и, можно взять сеть (и a ) ( а ^ Л) . B

Лемма 5. Оператор T _a вполне аддитивен.

C Аналогично лемме 3 устанавливается ортогональная аддитивность Ta . Возьмем семейство попарно дизъюнктных элементов (иа)(аеА) и пусть и = 0La иа. Положим © = Pfin (A), 9 G ©, yQ = PaG6 иа, zo = P(aGe\9) иа и h = SUp6 Ta y6 6 TaU• Установим обратное неравенство. С каждым элементом yθ свяжем порядковый проектор πθ на полосу {yg}^ и положительный оператор Tg = Tng. Аналогично определяется и оператор Tea = Tang. Обозначим инфимум сети Tg через S. Тогда справедливы формулы:

T a (u) = T a y g + T a z g = T a y g + T g^ z g , T a (u) - h 6 T a (z g + y g ) - T a y g = T a Z g = T a n g U = T g^ u;

0 6 (T g, a - S a ) = (T g - S) 6 T g - S.

Сеть T g,_a убывая сходится к S a . Далее можем написать T _a (u) - h 6 S _a (u). Но S _a (u) = 0 в силу определения S _a . B

Автору неизвестно, при каких условиях U _a (E,F ) = U c (E,F ). Так как U _ac (E,F ) = U _aa (E, F ), то для T _CTc имеет место формула

T _ac u = inf

∞∞

Е T(Uk): Е k=1         k=1

U k = u, U k ^ U e (k = l), U k e E

( u e E ).