Проективно-групповые свойства H-пространств H5 типа {5}

Векторное поле X на n-мерном псевдорима!ювом многообразии (М^п,д) с проективной структурой П называется бесконечно молим проективним преобразованием, или проективним движением, если порождаемая этим полем в окрестности каждой точки р е М^п (локальная) 1-параметрическая группа, состоит из (локальных) проективных преобразований, т. е. автоморфизмов проективной структуры. Необходимое и достаточное условие этого состоит в выполнении уравнения Эйзенхарта.

h_tj,_k = 2g_tjp,k + gtW,i + gjkV,i

• ¹    E-mail: asya.aminova@kpfu.ru

и обобщенного уравнения Киллинга

Lx^gij — ^г, j ⁺ ^j,i   ^hij .                                         (2)

После замены h^ = a^ + 2pg,j уравнение (1) принимает вид aij,k = g-kp ,j + gjk^P,i■                                             (^)

Задав тип тензора h^, можно найти решения уравнения (1) и затем уравнения (2). Метрики (пространства), допускающие нетривиальное решение h^ = cg-j уравнения Эйзеихарта, называются h-метриками типа х ^-пространствами типа хУ

Уравнение (3), записанное в косонормальном репере ( [1], с. 97), имеет вид

п ddpq + У eh(ahqшр^ + gph^h) = (Yq^)6p + (Yp^)6q, h=1

где 9h ~ каноническая 1-форма. сопряженная с Yh- w_pq = x_qp есть 1-форма связности. p,q,r = 1,. .., п.

В работе [3] были найдены h-пространства Н5 типа {5} и получены необходимые и достаточные условия существования проективного движения типа {5}. Для вычисления максимальной проективной алгебры Ли в Н5 необходимо получить общее решение уравнения Эйзеихарта в h-npo-страистве Н₅. Для решения этой задачи нужно исследовать условия интегрируемости уравнений Эйзеихарта (16), включающих форму кривизны ^j. При этом следует исключить пространства постоянной кривизны, строение проективной группы которых хорошо известно ( [1], С. 28).

Статья состоит из четырех разделов. В разделе 1 даются основные определения и формулы. В разделе 2 определяется структура кривизны h-пространства Н5. В пункте 3 получаются необходимые и достаточные условия постоянства кривизны рассматриваемого h-простраиства. В разделе 4 находится общее решения уравнения Эйзеихарта в h-пространстве Н5 непостоянной кривизны, устанавливаются необходимые и достаточные условия существования иегомотетического проективного движения общего вида в Н5 и выясняется строение иегомотетической проективной алгебры Ди в h-простраиствс Н5 типа {5}.

• 2.    В каноническом косонормальном репере (Yh) = У,^гд/дх^г, заданном в подходящих коорди- h

патах х^г формулами

11 = f = f = I" = 1, f = -^еж1Л-1, |³ = -2ex² A^-1, |⁴ = —3ex³A^-1, |⁵ = A^-1,

где

A = 4e ( x ⁴ + t ( x ⁵ ) ) + 1 — e

(t — произвольная функция от x5. e принимает■ значения 0 или 1). метрика g пространства. Н5 и соответствующая билинейная форма a = h — 2pg определяются каноническими формами

0 0 0 0 е/\ 0 0 0 0 е\ 0 0 0 е/ е 0 0 0 е 0 apq) = 0 0 е/ е 0 ,  (gpq) = 0 0 е 0 0 ,                         (5) 0 е/ е 0 0 0 е 0 0 0 \ е/ е 0 0 0 \ е 0 0 0 0 и справедливы уравнения

Y1p = Y'^ = Y3P = Y4P = 0,

df = 2 e(Y54) 91, 5

w23 = Д^бЧ) 91,  w14 = 7(Y5Ч) 91,  w51 = (Y5^) 92, w52 = (^ДЧ) 93,  w53 = (^бЧ) 94,  w54 = (^бЧ) 95

(остальные компоненты связности w^- равны нулю). Здесь

5, ' = 2 f

— определяющая функция проективного движения типа {5}; w_гj = y^k 9^k есть 1-форма связности в косонормальном репере (Y_k ); / = еж⁵ + (1 — е)а; а - постоянная; e = ±1 [3].

Используя первое структурное уравнение Картаиа d 9г = — X ej wtj Л 9j j=i и формулы (8), найдем d 91 = — 5e(Y55) 91 Л 92, d 92 = — 5e(Y55) 91 Л 93,

(Ю)

d93 = — 4e(Y55) 91 Л 94, d 94 = — ²e^) 91 Л 95, d 95 = 0.

Введем обозначения

A = Y54, C = eY5(Y55).

Учитывая, что квадрат внешнего дифференциала, равен пулю, возьмем внешний дифференциал от обеих частей равенства. (7):

df = 2 е (Y54) 91 = 2 е A 91, 55

и сравним это с dA = 9 Y Y54 = 9г [H,Y5]5 + 9г Y5II5, где (см. [1], с. 101) [Ц, Y5] = Vyz Y5 — Vy5 Ц = 52 ek (ykl5 — У5)Y,, Z = 1 в нашем случае [3]

[Y1 ,Ys] = — ²(Y55)Y2, [ Y 2 ,Ys ] = — 4(Y55)Y3, [Y3,Y5] = — |(Y55)Y4, [ Y 4 ,Ys ] = — ^УШ-5555

В итоге с учетом (6) получим dA = C 91 — |eA2 92.

Дифференцируя равенства. (8) и пользуясь (10), найдем dw14 = 0, dw23 = 0, dw51 = C 91 Л 92 — 6eA2 91 Л 93, 5

dw52 = C 91 Л 93 — 4eA2 91 Л 94 — 8eA2 92 Л 93, dw53 = C 91 Л 94 — 2eA2 91 Л 95 — |eA2 92 Л 94, dw54 = С 91 Л 95 - 8еЛ2 92 Л 95.

Используя предыдущие результаты и второе структурное уравнение Картана

^ij

= dwij + 52 е1 шц Л ш^ ,

вычислим 2-форму кривизны Н^,- h-пространства типа {5}:

^12 = ^13 = ^23 = 0,  П14 = — еЛ291 Л 92,  П24 = -еЛ² 91 Л 9з,

П34 = 3еЛ2 91 Л 94, П51 = С 91 Л 92 - 3еЛ2 91 Л 9з, 55

П52 = С 91 Л 9з - ³ еЛ² 91 Л 94 - 3еЛ² 92 Л 9з,                       (11)

^53 = С 91 Л 94 - 3 еЛ2 91 Л 95 - 3 еЛ2 92 Л 94, 55

П54 = С 91 Л 95 - 3еЛ2 92 Л 95.

• 3.    Если записать 2-форму кривизны в виде

Дз = 52 Kij_kl9_к Л 9i     (к, Z = 1,..., 5, к < Z)

(kl)

и положить K_ij_ij = pij , то предыдущая формула примет вид

^3 = Pij9_г Л 9 j + 52 Kijkt9k Л 9t (г,з, k, Z = 1,..., 5, г <  3, к < Z),

(kl) = (ij)

где, в силу (11), p_ij = 0 для всех г,3, а из коэффициентов Kijki пр и (kZ) = (г3) не равны нулю только

K1412 = теЛ2 = K2413 = K3414 = K1513 = K2514 = K2523 = K3515 = K3524 = K4525,

K1512 = -С = K2513 = K3514 = K4515.

Theorem 1. Для того чтобы h-пространство Н5 типа {5} было пространством постоянной кривизны K: ^j = K9_i Л 9j, необходимо и достаточно выполнение условий K1412 = 0, что равносильно

Л = 0,                                            (12)

при этом ^jj = 0, т. е. любое h-пространство Н5 типа {5} постоянной кривизны является плоским. (K = 0).

Доказательство. Необходимость условий K1412 = 0 следует из формулы ^j = K9_i Л 9j, определяющей пространство постоянной кривизны K. Если выполняется (12), то С = 0 и Kyki = 0 для всех (kZ) = (г3), г,3, k,Z = 1,..., 5; г < 3, k < Z. при этом кривизна ^j = 0. 11 Н5 является пространством постоянной пулевой кривизны, т. е. плоским пространством.

• 4.    Справедлива.

Theorem 2. Любое решение (к,д,Д) уравнения Эйзенхарта

Vk(F, Z, W) = 2д(У, У)^ф + g(W, У)Уф + д(У, W)Уф, равносильного после замены к = b + 2фд уравнению

Vb(y, Z, W ) = д(W, Z)Уф + д(У, W )Уф,

в h-npocmpанстве (Н5,д) типа {5} непостоянной кривизны удовлетворяет условию ф = C1 -/ + const = C1 p + соnst,

где функция p определена равенством (9), с₁ - произвольная постоянная.

Доказательство. Ввиду тензорного характера, равенства. (14) и инвариантности величины / достаточно доказать равенство в каноническом косонормальном репере (4), где уравнение (13) примет вид dbpq + ^ eh (bhqWph + bphWqh) = (Yqф)9p + (Урф^бд ,                   (15)

h=1

здесь w_ph определены формулами (8), a b_pq - компоненты тензора b в косорепере (4).

Дифференцируя уравнение (15) и учитывая равенство нулю квадрата, внешнего дифференциала d, получим условия интегрируемости этого уравнения bph^q + bhqnhp = фрК0Н Л 9q + фhq9^ Л 9p,

где

Аф. = eh ^hp, фph = -Y^Ypф — p^lphY_tф = фhp.

Из (16), (pq) = (14), приравняв коэффициенты при базисной 2-форме 92 Л 95 в левой и правой частях равенства, найдем:

еА²Ь₁₁ = 0.

Если b₁₁ = 0, то А = 0, и Н₅ по теореме 1 имеет постоянную кривизну, что противоречит предположению, поэтому b₁₁ = 0.

Аналогично, полагая в уравнении (16) последовательно (pq,mn) = (11,15), (22,14), (15, 24), (15, 23), (22,13), (33,14), (34,12), (44,13), (44,12) и (45,12), найдем при А = 0:

ф11 = b12 = ф12 = b13 = ф13 = b14 = ф14 = b22 = ф22 = 0,

Ь23 = Ф23 = )35 = Фз5 = Ь44 = ф44 = Ь45 = Ь55 = 0;

затем при (pq, mn) = (14, 12), (34,14), (35, 24) выводим

A(b15 — b24) = 0, A(b33 — b24) = 0, А(Ь33 — b15) = 0, и так как А = 0 для пространства непостоянной кривизны, то b15 = b24 = b33 = p.

Так же из (16) при (pq,mn) = (15,12), (34, 13) получим

3еА-    3еА-

—5— b25 = ~^b34 = ф45, отсюда ввиду А = 0 следует b25 = b34 = v.

С учетом найденных равенств из уравнения Эйзенхарта (15) с Whs, определенными формулами (8), при (pq) = (11), (12), (13), (44) найдем

У1ф = У2ф = У3ф = ^4ф = 0;

при (pq) = (15), (33), (34) получим dp, + 3ev(Y5p)91 = (У;ф)91,     dp, — ^v(Y5p)91 = 0,     dv = 0.

Отсюда следует v = cons^t, У5(ф — evp) = 0, что вместе с (17) и равенствами Y₁p = Y₂p = Y3P = Y4P = 0, следующими из (4) и (6), дает

Yi(ф — evp) = ^1 dj (ф — evp) = 0 г для всех г = 1...5, и так как det(t;j) = 0 вследствие независим ости векторных полей Y), то ф = evp + const: = Clip + const,

Ч. T. д.

Theorem 3. Любой ковариантно постоянный симметричный тензор b_lj в h-пространстве (Н5,д) типа {5} непостоянной кривизны пропорционален метрическому тензору:

bij = C2g_tj     (c2 = const).

Доказательство. В косонормальном репере (4) уравнение b_lj,k = 0 принимает вид

^^ЬР9 ⁺ ^ ^eh ^hqWph ^{+ b}phW_qh^ = ^0.

h=1

Условия интегрируемости этого уравнения получаются из (16) при ф = const и имеют вид bph^Hq + bhq ^p = 0.

Отсюда так же, как в предыдущем случае, получим, что все компоненты b^j равны нулю, кроме ^b15 = ^b24 = ^b33.

Так как уравнение (19) при (pq) = (33) имеет вид db₃₃ = 0, то b₃₃ = ec₂ = const. В итоге имеем ^bpq = c₂g_pq, где матрица (g_pq ) определена каноническими формами (5), а множитель c₂ постоянен, что доказывает теорему 3.

Учитывая, что векторное поле X является аффинным движением в Н5, если и только если (Lxд^,к = 0, из теоремы 3 выводим:

Theorem 4. Всякое аффинное движение X в h-npoempанстве (Н5,д) типа {5} непостоянной кривизны является инфинитезимальной гомотетией:

Lx д = cg    (c = const).

Поскольку любые два решения h₁ и h₂ уравнения Эйзеихарта (13) с одинаковой правой частью могут отличаться лишь на ковариантно постоянный тензор b, то из теоремы 2 и линейности уравнения (13) следует, что общее решение уравнения Эйзеихарта в обыкновенном h-пространстве (Н5, д) ти па {5} может быть за писано в виде c₁h + b или, в силу теоремы 3, в виде c₁h + c₂g, где h = о + 2pg, g и о определены в косонормальном репере (4) каноническими формами (5) [3], щ, c₂ - const. Отсюда, следует

Theorem 5. Векторное поле X является проективным движением в h-npoempанстве (Н5,д) непостоянной кривизны тогда и только тогда, когда

Lx g = c1h + c2g = щ(о + 2pg) + c2g, где p - определяющая функция проективного движения X, g и о определены в косонормальном репере (4) каноническими формами (5), щ, c2 - произвольные постоянные.

Из теоремы (5) вытекает

Theorem 6. Если h-npoempанство (Н5, д) типа {5} непостоянной кривизны допускает г-мерную негомотетическую проективную алгебру Ли Р_г, то эта алгебра содержит (г — 1)-мерную гомо-тетическую подалгебру.

Доказательство. Пусть (Х1,..., Х_г) - базис проективной алгебры Ли Р_т в (Н5,д) По теореме 5 имеем

!-\ д = с хА + с 2д     (s = 1,...,г), где одна из постоянных с 1, например, с 1 отлична от инфинитезимальных гомотетий). В новом базисе нуля (в противном случае Рг состоит из

Z1 = Х1, Z_T = с 1Х_Т - с 1 Х1    (т = 2,...,г)

1         Т найдем lZtд = (с 1с2 -с2с 1)д     (т = 2,...,г),

1 Т 1 Т

Ч. Т. д.