Проективные симметрии пятимерных пространств

Проективные симметрии пятимерных пространств

Автор: Аминова А.В., Хакимов Д.Р.

Журнал: Пространство, время и фундаментальные взаимодействия @stfi

Рубрика: Гравитация, космология и фундаментальные поля

Статья в выпуске: 2 (43), 2023 года.

Бесплатный доступ

Представлен обзор инвариантно-групповых методов в 5-мерных теориях электромагнитного, гравитационного и других физических полей. Обсуждаются симметрии пятимерных искривленных пространств в форме групп Ли бесконечно малых преобразований, в том числе в форме проективных движений, сохраняющих геодезические. Исследуются 5-мерные жесткие ℎ-пространства 𝐻221, 𝐻32, 𝐻41 и 𝐻5, т.е. псевдоримановы многообразия (𝑀5, 𝑔) произвольной сигнатуры с (невырожденной) характеристикой Сегре = {𝑟1, ..., 𝑟𝑘}, 𝑟1, ..., ∈ 𝑁, 𝑟1 + ... + = 5, и вещественными собственными значениями производной Ли метрики в направлении инфинитезимального преобразования 𝑋, допускающие инфинитезимальные проективные и аффинные преобразования. Для каждого из них определяются структуры соответствующих максимальных проективной и аффинной алгебр Ли, включая классификацию ℎ-пространств 𝐻221 типа {221} по максимальным алгебрам Ли проективных и аффинных преобразований, более широким, чем алгебры Ли гомотетий.

Еще

Калуца - клейн, гравитация, электромагнитное поле, дифференциальная геометрия, пятимерное псевдориманово многообразие, ℎ-пространства 𝐻221, 𝐻32, 𝐻41, 𝐻5, системы дифференциальных уравнений с частными производными, негомотетическое проективное движение, уравнения киллинга, проективная алгебра ли

Еще

Короткий адрес: https://sciup.org/142239964

IDR: 142239964   |   DOI: 10.17238/issn2226-8812.2023.2.4-27

Список литературы Проективные симметрии пятимерных пространств

  • Аминова А.В. Проективные преобразования псевдоримановых многообразий. М.: Янус-К, 2003. 619 c.
  • Аминова А.В., Аминов Н.А.-М. Проективная геометрия систем дифференциальных уравнений второго порядка. Матем. сб. 2006. Т. 197, № 7. С. 3–28.
  • Аминова А.В. Псевдоримановы многообразия с общими геодезическими. УМН. 1993. № 2. С. 107–164.
  • Aminova A.V. Group-invariant methods in the theory of projective mappings of space-time manifolds. Tensor (N.S.), 1993, vol. 54, pp. 91–100.
  • Аминова А.В. Проективные симметрии и законы сохранения в K-пространствах, определяемых полями тяготения Изв. Вузов. Физика. 2008. Т. 51. № 4. C. 30–37.
  • Аминова А.В., Аминов Н.А.-М. Проективно-геометрическая теория систем дифференциальных уравнений второго порядка: теоремы выпрямления и симметрии. Матем. сб. 2010. Т. 201. № 5. С. 3–13.
  • Аминова А.В. Проективные симметрии гравитационных полей. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2018. 202 c.
  • Егоров И.П. Движения в пространствах аффинной связности. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1965. 184 c.
  • Fubini G. Sui gruppi trasformazioni geodetiche. Mem. Acc. Torino. Cl. Fif. Mat. Nat., 1903, vol. 53, no. 2, pp. 261–313.
  • Солодовников А.С. Проективные преобразования римановых пространств.УМН. 1956. T. 11. С. 45–116.
  • Аминова А.В. Алгебры Ли инфинитезимальных проективных преобразований лоренцевых многообразий УМН. 1995. Т. 50. Вып. 1. С. 69–142.
  • Аминова А.В. Группы проективных преобразований некоторых полей тяготения. Гравитация и теория относительности. 1970. № 7. С. 127–131.
  • Аминова А.В. О полях тяготения, допускающих группы проективных движений. ДАН СССР. 1971. Т. 197. № 4. С. 807–809.
  • Аминова А.В. Проективные группы в полях тяготения (I). Гравитация и теория относительности. 1971. № 8. С. 3–13.
  • Аминова А.В. Проективные группы в полях тяготения (II). Гравитация и теория относительности. 1971. № 8. С. 14–20.
  • Аминова А.В. О бесконечно малых преобразованиях, сохраняющих траектории пробных тел. Препринт ИТФ АН УССР. Киев. 1971. С. 71–85.
  • Аминова А.В. Проективно-групповые свойства некоторых римановых пространств // Тр. Геом. семин. ВИНИТИ АН СССР. 1974. Т. 6. С. 295–316.
  • Аминова А.В. Группы проективных и аффинных движений в пространствах общей теории относительности // Тр. Геом. семин. ВИНИТИ АН СССР. 1974. Т. 6. С. 317–346.
  • Аминова А.В. Проективные группы в пространствах-временах, допускающих два постоянных векторных поля. Гравитация и теория относительности. 1976. № 10. С. 9–22.
  • Aminova A.V. Groups of transformations of pseudo-Riemannian manifolds in theoretical and mathematical physics // In mem. N. I. Lobatschevskii: Collect. mem. Presentes savants divers pays Soc. Phys.-Math. Kazan occas. celebration bicenten. N. I. Lobatcheffsky. - Kazan, 1995. Vol. 3. Pt. 2. P. 79–103.
  • Aminova A.V. Projective transformations of pseudo-Riemannian manifolds. J. Math. Sci., 2003, vol. 113, no. 3, pp. 367–470.
  • Aminova A.V., Aminov N.A.-M. Geometric theory of differential systems: Linearization criterion for systems of second-order ordinary differential equations with a 4-dimensional solvable symmetry group of the Lie-Petrov type VI 1. Journal of Mathematical Sciences, 2009, vol. 158 (2), pp. 163–183.
  • Аминова А.В., Аминов Н.А.-М. Пространства с проективной связностью Картана и групповой анализ систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Тематические обзоры. Геометрия. - М. ВИНИТИ. - 2009. Т. 123. С. 58–80.
  • Аминова А.В., Хакимов Д.Р. О проективных движениях 5-мерных пространств. I. 𝐻-пространства типа {32}. Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. 2018. № 4. C. 21–31.
  • Аминова А.В., Хакимов Д.Р. О проективных движениях 5-мерных пространств. II. 𝐻-пространства типа {41}. Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. 2019. № 1. C. 45–55.
  • Аминова А.В., Хакимов Д.Р. О проективных движениях 5-мерных пространств. III. 𝐻-пространства типа {5}. Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. 2019. № 1. C. 56–66.
  • Аминова А.В., Хакимов Д.Р. 𝐻-пространства (𝐻41, 𝑔) типа {41}: проективно-групповые свойства. Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. 2019. № 4. C. 4–12.
  • Аминова А.В., Хакимов Д.Р. Проективно-групповые свойства ℎ-пространств 𝐻5 типа {5}. Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. 2020. № 1. C. 4–11.
  • Aminova A.V., Khakimov D.R. On projective motions of five-dimensional spaces of special form. Russian Mathematics, 2017, vol. 61, no. 5, pp. 83–87.
  • Aminova A.V., Khakimov D.R. Projective group properties of ℎ-spaсes of type {221}. Russian Mathematics, 2019, vol. 63, no. 10, pp. 76–82.
  • Aminova A.V., Khakimov D.R. On the properties of the projective Lie algebras of rigid h-spaces 𝐻32 of the type {32}. Uchenye Zapiski Kazan skogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2020, vol. 162, no. 2, pp. 111–119. (In Russian)
  • Aminova A.V., Khakimov D.R. Lie algebras of projective motions of five-dimensional h-spaces 𝐻221 of type {221}. Russ Math., 2021, vol. 65, no. 12, pp. 6–19.
  • Жукова Л.И. Римановы пространства с проективной группой. Учен. зап. Пензенск. пед. ин-та. 1971. Т. 124. С. 13–18.
  • Жукова Л.И. Проективные преобразования в римановых пространствах (изотропный случай). Учен. зап. Пензенск. пед. ин-та. 1971. Т. 124. С. 19–25.
  • Жукова Л.И. О группах проективных преобразований некоторых римановых пространств. Учен. зап. Пензенск. пед. ин-та. 1971. Т. 124. С. 26–30.
  • Жукова Л.И. Римановы пространства, допускающие проективные преобразования. Изв. вузов. Матем. 1973. № 6. С. 37–41.
  • Aminova A.V. On geodesic mappings of Riemannian spaces. Tensor, 1987, vol. 46, pp. 179–186.
  • Аминова А.В. Об интегрировании ковариантного дифференциального уравнения первого порядка и геодезическом отображении римановых пространств произвольной сигнатуры и размерности. Изв. вузов. Математика. 1988. № 1. С. 3–13.
  • Starks S.A., Kosheleva O., Kreinovich V. Kaluza – Klein 5D ideas made fully geometric. arxiv:0506218v1.
  • https://arxiv.org/abs/physics/0506218v1 (date of the application: 29.06.2005).
  • Трунев А.П. Фундаментальные взаимодействия в теории Калуцы – Клейна. Научный журнал КубГАУ. 2011. Т. 71, вып. 7. 27 с.
  • Bleyer U., Leibscher D.E., Polnarev A.G. Mixed metric perturbation in Kaluza – Klein cosmologies. Astron. Nachr., 1990, vol. 311, no. 3, pp. 151–154.
  • Bleyer U., Leibscher D.E., Polnarev A.G. Mixed metric perturbations in Kaluza – Klein cosmologies. Nuovo Cum. B., 1991, vol. 106, no. 2, pp. 107–122.
  • Becerril R., Matos T. Bonnor solution in five-dimensional gravity. Phys. Rev. D, 1990, vol. 41, no. 6, pp. 1895–1896.
  • Ho Choon - Lin, Nqkin-Wong Wilson line breaking and vacuum stability in Kaluza - Klein cosmology. Phys. Rev. D., 1991, vol. 43, no. 10, pp. 3107–3111.
  • Guendelman E.I. Kaluza-Klein-Casimir cosmology with decoupled heavy modes. Phys. Lett., 1988, vol. B201, no. 1, pp. 39–41.
  • Fukui Takao. The motion of a test particle in the Kaluza - Klein-type of gravitational theory with variable mass. Astrophys. and Space Sci., 1988, vol. 141, no. 2, pp. 407–413.
  • Wesson P.S. A physical interpretation of Kaluza - Klein cosmology. Astrophys. J., 1992, vol. 394, no. 1, pp. 19–24.
  • Wesson P.S. The properties of matter in Kaluza - Klein cosmology. Mod. Phys. Lett. A., 1992, vol. 7, no. 11, pp. 921–926.
  • Аминова А.В. Псевдоримановы многообразия с общими геодезическими. УМН. 1993. T. 48. Вып. 2. C. 107–164.
  • Постников. М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Риманова геометрия. М.: Факториал, 1998. 496 с.
  • Шарафутдинов В.А. Введение в дифференциальную топологию и риманову геометрию. Новосибирск: ИПЦ НГУ, 2018. 282 с.
  • Широков П.А. Тензорное исчисление. Казань: Изд-во КГУ, 1961. 447 с.
  • Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т. 1-2.
  • Mikesh J. Differential Geometry of Special Mappings. Palack University, Olomouc, 2019. 565 p.
  • Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: Ин. лит., 1947. 358 с.
  • Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М.: Ин. лит., 1948. 316 с.
  • Schur F. ¨Uber den Zusammenhang der R¨aume konstanter Kr¨ummungs masses mit den projectiven Raumen Math. Ann., 1886, vol. 27, pp. 537–567.
  • Beltrami E. Teoria fondamentale degli spazii di curvature costante Ann. di Mat., 1868, no. 2, pp. 232–255.
  • Dini U. Sopra una problema che si presenta nella teoria generale delle rapprezentazioni geografiche di una superficie su di un‘altra. Ann. di Mat., 1869, vol. 3, no. 7, pp. 269–293.
  • Levi-Civita T. Sulle trasformazioni delle equazioni dinamiche. Ann. di Mat., 1896, vol. 24, no. 2, pp. 255–300.
  • Петров А.З. О геодезическом отображении римановых пространств неопределенной метрики. Учен. зап. Казан. ун-та. 1949. Т. 109. Вып. 3. С. 7–36.
  • Широков П.А. Избранные труды по геометрии. Казань: Изд-во КГУ, 1966. С. 383–389.
  • Голиков В.И. О геодезическом отображении полей тяготения общего вида. Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. 1963. № 12. С. 97–129.
  • Кручкович Г.И. Уравнения полуприводимости и геодезическое соответствие пространств Лоренца. Тр. Всесоюзн. заочн. энергетич. ин-та. 1963. Вып. 24. С. 74–87.
  • Солодовников А.С. Пространства с общими геодезическими. ДАН СССР. 1956. Т. 108. № 2. С. 201–203.
  • Солодовников А.С. Геодезические классы пространств V (К). ДАН СССР. 1956. Т. 111. № 1. С. 33–36.
  • Солодовников А.С. Пространства с общими геодезическими. Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. М.: Изд-во МГУ, 1961. Вып. II. С. 43–102.
  • Кручкович Г.И. О пространствах V (K) и их геодезических отображениях. Тр. Всесоюзн. заочн. энергетич. ин-та. 1967. Вып. 33. С. 3–18.
  • Синюков Н.С. О геодезическом отображении римановых пространств на симметрические римановы пространства. ДАН СССР. 1954. Т. 98, № 1. С. 21–23.
  • Синюков Н.С. Нормальные геодезические отображения римановых пространств. ДАН СССР. 1956. Т. 111. № 4. С. 266–267.
  • Синюков Н.С. Эквидистантные римановы пространства. Научн. ежег. Одесса. 1957. С. 133–135.
  • Синюков Н.С. Об одном инвариантном преобразовании римановых пространств с общими геодезическими. ДАН СССР. 1961. Т. 137. № 6. С. 1312–1314.
  • Синюков Н.С. Почти геодезические отображения аффинносвязных и римановых пространств. ДАН СССР. 1963. T. 151, № 4. С. 781–782.
  • Синюков Н.С. К теории геодезического отображения римановых пространств.ДАН СССР. 1966. Т. 169, № 4. С. 770–772.
  • Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979. 225 с.
  • K¨onigs M.G. Sur les geodetiques integrales quadratiques. Прилож. II к G. Darboux. Lecons sur la theorie generale des surfaces. IV. 1896. Pp. 368-404.
  • Knebelman M.S. Homothetic mappings of Riemann spaces. Proc. Amer. Math. Soc., 1958, vol. 9, no. 6, pp. 927–928.
  • Аминова А.В. Группы преобразований римановых многообразий. Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. ВИНИТИ. 1990. 22. С. 97–165.
  • Hicks, Jesse W. Algebraic properties of Killing vectors for Lorentz metrics in four dimensions. All Graduate Plan B and other Reports. 102. 2011. 1–90 p.
  • Dieter Kovacs. The geodesic equation in five-dimensional relativity theory of Kaluza-Klein. General relativity and gravitation, 1984, vol. 16, no. 7, pp. 645–655.
  • Mankoc-borstnik N., Pavsi M. A systematic examination of 5-dimensional Kaluza-Klein theory with sources consisting of point particles or strings. Il nuovo cimento, 1988, vol. 99 A, no. 4, pp. 489–507.
  • Rcheulishvili G.L. The curvature and the algebra of Killing vectors in five-dimensional space. Journal of Mathematical Physics, 1992, 33, pp. 1103–1108.
  • Yano K. On harmonic and Killing vectors Annals of Math., 1952, 55, pp. 38–45.
  • Coley A.A., Tupper B.O.J. Special conformal Killing vector space-times and symmetry inheritance. J. Math. Phys., 1989, 30, pp. 2616–2625.
  • Gross D.J., Perry M.J. Magnetic monopoles in Kaluza-Klein theories. Nucl. Phys., 1983, B226, pp. 29–48.
  • Ashfaque H. Bokhari, Asghar Qadir Symmetries of static, spherically symmetric space-times. J. Math.Phys., 1987, 28, pp. 1019–1022.
  • Kramer D., Stephani H., MacCallum M., Herlt E. Exact solutions of einstein’s field equations. Cambridge University Press, Cambridge, 1980. P. 690.
  • Rcheulishvili G. Spherically symmetric line element and Killing vectorsin five-dimensional space // Preprint ICTP, IC/92/108. Miramare-Trieste 1992. – 1–9 p.
  • Rcheulishvili G.L. Conformal killing vectors in five-dimensional space. https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9312004 (date of the application: 02.12.1993).
  • ABE O. Gravitational-wave propagation in the five-dimensional Kaluza-Klein space-time. Il nuovo cimento, 1994, vol. 109 B, no. 6, pp. 659–673.
  • Santos J., Reboucas M.J., Teixeira A.F.F. Classification of second order symmetric tensors in fivedimensional Kaluza-Klein-type theories Journal of Mathematical Physics, 1995, 36, pp. 3074–3084.
  • Kowalski O. Classification of Generalized Symmetric Riemannian Spaces of Dimension 𝑛 ≤ 5. // Rozpravy CSAV, Rada MPV., 1975, no. 85. 61 p.
  • Rosa Anna Marinosci. Classification of Five-Dimensional Generalized Pointwise Symmetric Riemannian Spaces. Geometriae Dedicata, 1995, 57, pp. 11–53.
  • Hall G.S., Reboucas M.J., Santos J., Teixeixa A.F.F. On the Algebraic Structure of Second Order Symmetric Tensors in 5-Dimensionai Space-times. General Relativity and Gravitation, 1996, vol. 8, no. 9, pp. 1107–1113.
  • Kokarev S.S. Phantom scalar fields in five - dimensional kaluza- klein theory. Russmn Physics Journal, 1996, vol. 39, no. 2, pp. 146–152.
  • Rcheulishvili G.L. Generalized killing lorentz manifold vectors in the five-dimensional. Theoretical and Mathematical Physics, 1997, vol. 112, no. 2, pp. 995–998.
  • Fulton T., Rohrlich F., Witten L. Conformal invariance in Physics. Rev. Mod. Phys, 1962, vol. 34, no. 3, pp. 442–557.
  • Witten E. Search for a realistic Kaluza-Klein theory. Nucl. Phys. B., 1981, vol. 186, pp. 412–428.
  • Rcheulishvili G.L. Spherically symmetric line element and Killing vectors in five-dimensional space. TMF, 1995, 102:3, pp. 345–351.
  • Varaksin O.L., Klishevich V.V. Integration of dirac equation in Riemannian spaces with five – dimensional group of motions. Russian Physics Journal, 1997, vol. 40, no. 8, pp. 727–731.
  • Paiva F.M., Rebouсas M.J., Teixeira A.F.F. Limits of space-times in five dimensions and their relation to the Segre types. Journal of Mathematical Physics, 1997, 38, pp. 4228–4236.
  • Geroch R. Limits of Space-times. Commun. Math. Phys., 1969, 13, pp. 180–193.
  • Luis A. Anchordoqui., Graciela s. Birman Metric tensors for homogeneous, isotropic, 5-dimensional pseudo Riemannian models. Revista Colombiana de Matematicas, 1998, vol. 32, pp. 73–79.
  • Paulo G. Macedo. New Proposal for a 5-dimensional Unified Theory of Classical Fields of Kaluza-Klein type. https://arXiv:0101121v1.(date of the application: 30.06.2001).
  • Кречет В.Г., Левкоева М.В., Садовников Д.В. Геометрическая теория электромагнитного поля в пятимерном аффинно-метрическом пространстве. Вестник РУДН, cерия Физика. 2001. Вып. 1, № 9. С. 33–37.
  • Magazev A.A. Casimir functions for five-dimensional lie groups with a non-semi-hausdorff space of orbits. Russian Physics Journal, 2003, vol. 46, no. 9, pp. 912–920.
  • Calvaruso G., R.A. Marinosci Homogeneous Geodesics in Five-Dimensional Generalized Symmetric Spaces. Balkan Journal of Geometry and Its Applications, 2003, vol. 8, no. 1, pp. 1–19.
  • Гладуш В.Д. Пятимерная общая теория относительности и теория Калуцы-Клейна. ТМФ. 2003. T. 136. № 3. C. 480–495.
  • Reboucas M.J., Santos J., Teixeira A.F.F. Classification of Energy Momentum Tensors in 𝑛 > 5 Dimensional Space-times: A Review. Brazilian Journal of Physics, 2004, vol. 34, no. 2A, pp. 1678–4448.
  • By Jrnos Kolldr. Einstein Metrics on Five-Dimensional Seifert Bundles. The Journal of Geometric Analysis, 2005, vol. 15, № 3, pp. 445–476.
  • Mohanty G., Mahanta K.L., Bishi B.K. Five dimensional cosmological models in Lyra geometry with time dependent displacement field. Astrophys Space Sci., 2007, vol. 310, pp. 273–276.
  • Aydin Gezer. On infinitesimal conformal transformations of the tangent bundles with the synectic lift of a Riemannian metric. Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.), 2009, vol. 119, no. 3, pp. 345–350.
  • Киселев А.С. Космологическая проблема в пятимерном пространстве-времени. Ярослав. пед. вестн. Сер. Физико-математические и естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 64–67.
  • Киселев А.С., Кречет В.Г. Космологическая проблема в пятимерном пространстве Римана-Вейля с идеальной жидкостью. Ярослав пед. вестн.. 2011. Том 3. № 1. (Естественные науки). C. 37–41.
  • Kiselev A.S., Krechet V.G. Static distributions of matter in the five-dimensional riemann-weyl space. Russian Physics Journal., 2012, vol. 55, no. 4. pp. 417–425.
  • Arkadiusz Jadczyk. START in a five-dimensional conformal domain. https://arXiv:1111.5540v2. (date of the application: 28.11.2011).
  • Dacko Piotr. Five dimensional almost para-cosymplectic manifolds with contact ricci potential. https://arxiv.org/abs/1308.6429. (date of the application: 29.08.2013).
  • Mikesh J., Stepanova E. A five-dimensional Riemannian manifold with an irreducible 𝑆𝑂(3)-structure as a model of abstract statistical manifold. Ann Glob Anal Geom., 2014, vol. 45, pp. 111–128.
  • Pan Yiwen. Rigid supersymmetry on 5-dimensional Riemannian manifolds and contact geometry. http://arxiv.org/abs/1308.1567v4.pdf (date of the application: 29.05.2015).
  • Dumitrescu T.T., Festuccia G., Seiberg N. Exploring curved superspace. http://arxiv.org/abs/1205.1115v2.pdf (date of the application: 27.06.2012).
  • Ladke L.S., Jaiswal V.K., Hiwarkar R.A. Five Dimensional Exact Solutions of Bianchi Type-I Space-Time in 𝑓(𝑅, 𝑇) Theory of Gravity. International Journal of Innovative Research in Science,Engineering and Technology, 2014, vol. 3, issue 8, pp. 15332–15342.
  • Буданов К.М., Султанов А.Я. Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения вейля второго порядка со связностью полного лифта. Известия вузов. Математика. 2015. № 12. C. 3–13.
  • Pini A., Rodriguez-Gomeza D., Schmudea J. Rigid supersymmetry from conformal supergravity in five dimensions. http://arxiv.org/abs/1504.04340v3.pdf (date of the application: 2.09.2015).
  • Abdelghani Zeghib. On discrete projective transformation groups of Riemannian manifolds. Advances in Mathematics, 2016, 297, pp. 26–53.
  • Fialowski A., Penkava M. The moduli space of complex 5-dimensional Lie algebras. Journal of Algebra, 2016, 458, pp. 422–444.
  • Rodroguez-Vallarte M.C., Salgado G. 5-dimensional indecomposable contact Lie algebras as double extensions. Journal of Geometry and Physics, 2016, 100, pp. 20–32.
  • Gall L., Mohaupt T. Five-dimensional vector multiplets in arbitrary signature. https://doi.org/10.1007/JHEP09(2018)053.pdf (date of the application: 10.09.2018).
  • Аминова А.В., Хакимов Д.Р. Алгебры Ли проективных движений пятимерных псевдоримановых пространств. I. Предварительные сведения // Геометрия, механика и дифференциальные уравнения, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., том 212, ВИНИТИ РАН, М., 2022, C. 10–29.
  • Аминова А.В., Хакимов Д.Р. Алгебры Ли проективных движений пятимерных псевдоримановых пространств. II. Интегрирование уравнений Эйзенхарта // Геометрия, механика и дифференциальные уравнения, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., том 213, ВИНИТИ РАН, М., 2022, C. 10–37.
  • Аминова А.В., Хакимов Д.Р. Алгебры Ли проективных движений пятимерных псевдоримановых пространств. III. Формы кривизны пятимерных жестких h-пространств в косонормальном репере // Алгебра, геометрия и комбинаторика, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., том 214, ВИНИТИ РАН, М., 2022, C. 3–20.
  • Аминова А.В., Хакимов Д.Р. Алгебры Ли проективных движений пятимерных псевдоримановых пространств. IV. Структура проективных и аффинных алгебр Ли пятимерных жестких h-пространств // Алгебра, геометрия и комбинаторика, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., том 215, ВИНИТИ РАН, М., 2022, C. 18–31.
Еще
Статья научная
QR-код для установки приложения SciUp Наведите камеру и скачайте бесплатное приложение SciUp