Прогнозирование цен на рынке жилья в условиях изменения основной тенденции

Санкт-Петербургский государственный экономический университет, Санкт-Петербург, Россия, ,

St. Petersburg State University of Economics, St. Petersburg, Russia, ,

Построению моделей прогнозирования процессов на рынке жилой недвижимости посвящено много научных работ. В первую очередь это труды Г.М. Стерника, в которых модели учитывали фундаментальные факторы, формирующие любой рынок – потребность, доходы населения, адекватное предложение жилья (Стерник, 2012). Однако построение прогнозов по моделям, включающим факторные признаки, сопряжено с перспективной оценкой каждого из них. Г.М. Стерником также рассматривались прогнозные модели, в которых уравнение тренда было построено, не исходя из подходящего сглаживания ряда, а опираясь на гипотезу о возможной тенденции изучаемого процесса, но и у этих моделей предсказательная сила сходит на нет при изменении тренда (Стерник и др., 2014).

Н.С. Никитиной (2022) представлен сравнительный анализ фактического и прогнозного значения индекса номинальных цен жилья на вторичном рынке России, полученного по таким моделям, как: интегрированная модель авторегрессии скользящего среднего ( ARIMA ), уравнение тренда на основе метода наименьших квадратов (МНК), лассо и гребневая регрессия ( ridge regression ), модели на основе экспоненциального сглаживания. В качестве признаков исследователем рассматривались цены на нефть, внутренний валовой продукт (ВВП), ставки межбанковского кредитования, реальный эффективный валютный курс. Рассмотренные модели можно использовать для краткосрочных прогнозов в условиях сохранения тенденции для всех анализируемых признаков.

Поэтому для моделей тенденции и тех, которые построены на основе факторных признаков, в условиях возможных структурных сдвигов актуальность приобретают методы оценки, игнорирующие причинные связи, что в сложных условиях дает определенную свободу для получения хороших прогнозов. Определение и апробация методики построения прогнозных оценок при отклонении от исторически сложившегося тренда явились целями настоящего исследования.

В качестве информационной базы рассматривались открытые данные рынка жилой недвижимости Краснодарского края, размещенные на сайте «СберИндекс»1.

Стоимостные признаки приведены к сопоставимым ценам мая 2023 г. с помощью индекса потребительских цен2.

Методология исследования . Анализ тенденции временного ряда в первую очередь принято начинать с визуального представления данных, проверки ряда на стационарность и, по возможности, с построения уравнения тренда для нестационарного ряда с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Создание прогнозной модели также предполагает применение широкого эконометрического инструментария, включающего адаптивные методы экспоненциального сглаживания (Лукашин, 2006) и авторегрессионные интегрированные модели скользящего среднего (Светуньков и др., 2022).

Оценка качества прогнозных оценок основана на использовании ex post прогноза, то есть на сравнении фактического значения с полученной оценкой (Коссов, 2022). В результате ex post- оценки может оказаться, что фактическое значение не входит в границы 95-процентного доверительного интервала. Это позволяет предположить смену исторически сложившейся тенденции и построение новой модели, так как неучтенные изменения приведут к некачественному прогнозу. Определить наиболее вероятное направление динамики в краткосрочной перспективе можно, например, с помощью непараметрических методов (Nathan, 2015).

Результаты . Анализ динамики ежемесячных цен по фактическим сделкам на вторичном рынке Краснодарского края (рис. 1) показал, что процесс в период 01.2019 – 04.2023 гг. является нестационарным, согласно расширенному тесту Дики – Фуллера ( ADF ), но стационарным являются его первые разности в случае отсутствия константы p -значение = 0,01, а с константой – вторые разности p -значение = 4,7 х 10^-9.

Тенденция характеризуется линейным трендом с детерминацией R ² = 0,82, но в остатках уравнения, представленного на рис. 1 наблюдается автокорреляция, rho = 0,99. Построение уравнения тренда обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК) не позволило устранить автокорреляцию в остатках, rho = 0,7. Моделирование процесса с помощью интегрированной авторегрессионной модели скользящего среднего, ARIMA (1, 2, 1) выявило, что остатки не имеют нормального распределения; согласно проведенному тесту, / 2 (2) = 33,9, p -значение = 4,4 х 10^-8. Таким образом, в остатках построенных моделей наблюдается нарушение предпосылок МНК, что позволяет выдвинуть гипотезу о наличии структурных сдвигов в исследуемом временном ряду.

Рисунок 1 – Цена м² по фактическим сделкам на вторичном рынке Краснодарского края в сопоставимых ценах мая 2023 г., январь 2019 г. – апрель 2023 г., руб. ¹

Figure 1 – Price of м² by actual transactions in the secondary market of Krasnodar Krai in comparable prices of May 2023, January 2019 – April 2023, RUB.

Момент, соответствующий наиболее значимому структурному сдвигу, был выявлен по величине максимальной статистики теста Чоу, приведенной в табл. 1, созданной для линейного тренда цены фактических сделок на вторичном рынке, p 2. Нулевая гипотеза теста Чоу соответствует отсутствию структурных изменений, поэтому p -значение, не превышающее 0,05, свидетельствует о наличии структурного сдвига (табл. 1).

Таблица 1 – Тест Чоу для цены м² по фактическим сделкам на вторичном рынке Краснодарского края в сопоставимых ценах мая 2023 г., январь 2019 г. – апрель 2023 г., руб.

Table 1 – Chow test for м² price by actual transactions in the secondary market of Krasnodar Krai in comparable prices of May 2023, January 2019 – April 2023, rubles.

Дата	03.2021	12.2021	01.2022	02.2022	08.2022	09.2022	10.2022	11.2022
Тестовая статистика	166	222	271	200	287	542	412	242
p -значение	9 х 10-37	6 х 10-49	2 х 10-59	4 х 10-44	6 х 10-63	2 х 10-118	3 х 10-90	4 х 10-53

Существенный структурный сдвиг в функции тренда соответствует сентябрю 2022 г. (см. табл. 1). Уравнение тренда цен м² фактических сделок на вторичном рынке Краснодарского края в сопоставимых ценах мая 2023 г. ( p 2) построено для периода 09.2022 г. – 04.2023 г. и имеет следующий вид:

р2 = 149385 - 2649,84С+е_£,                               (1)

где   е£ - случайные остатки модели, в которых соблюдаются необходимые предпосылки МНК, репрезентированные в табл. 2.

Таблица 2 – Тестовые статистики для остатков модели (1)

Table 2 – Test statistics for residuals of model (1)

Нулевая гипотеза	Тестовая статистика	p -значение
Ошибки распределены по нормальному закону	%2(2) = 0,82	0,66
Гетероскедастичность в остатках отсутствует: -        тест Уайта ( White );	LM = 1,91	0,38
-       тест Бреуша – Пагана ( Breusch – Pagan );	LM = 0,56	0,45
-       тест Кенкера ( Koenker )	LM = 1,90	0,16
Автокорреляция в остатках отсутствует	DW = 1,51	0,09

Обозначения: %² - критерий Хи-квадрат; LM - тест множителей Лагранжа; DW - критерий Дарбина -Уотсона.

Коэффициент детерминации R2= 0,96, что говорит о хорошем качестве модели и подтверждается ошибкой аппроксимации MAPE = 0,71 %. Доверительный 95-процентный интервал прогноза по линейному тренду (1) на май 2023 г. составил 121 642–129 430 рублей. Однако цена p2 в мае оказалась равной 130 631 руб., что превышает верхнюю границу доверительного интервала. Следовательно, можно выдвинуть гипотезу о смене тенденции, но эта возможность появилась только в результате сравнения фактического и прогнозного значения (ex post-прогноз). По- лученный результат важен для дальнейшего перспективного определения динамики.

Исследователь, не имеющий возможности провести ex post-прогноз, хотел бы иметь инструмент прогнозной оценки возможности изменения тенденции. С этой целью предлагается применить алгоритм Надарая – Уотсона (Nadaraya – Watson), то есть провести непараметрическое определение зависимой переменной для каждого значения независимой переменной на основе функции m (x) – локального взвешенного среднего, где веса определяются ядром Kh (x) с шириной окна h. В эконометрическом программном пакете Gretl ширина окна по умолчанию определя- ется пропорционально величине, минимизирующей среднеквадратическое отклонение.

Оценка Надарая – Уотсона проведена с использованием пакета Gretl , где в качестве зависимой переменной рассматривалась цена фактических сделок p 2, а независимой – момент времени t , исследуемый период 09.2022 г. – 04.2023 г . В результате оценка p 2 на май 2023 г. составила 129 911 руб., что выше уровня апреля 2023 г., показатель которого составил 129 342 руб., а также верхнего уровня интервального прогноза на май 2023 г. по модели (1). Это позволяет предположить, что убывающий тренд замедлится или в мае 2023 г. произойдет смена убывающей тенденции, что и было подтверждено фактическим значением.

О хорошем качестве непараметрической оценки Надарая – Уотсона говорит показатель, аналогичный детерминации в регрессионных моделях, который вычисляется по формуле (2).

R2

E?=i (y i ^- у)(й - у)]² Е ?=1 (У ; ^- у ^{) 2} I^ i Cv , ^- у⁾²’

где у , - фактическое значение зависимой переменной;

у - среднее значение;

у , - расчетное значение, полученное методом Надарая - Уотсона.

В рассматриваемом исследовании величина достоверности аппроксимации R ² составила 0,99 и характеризует хорошую предсказательную силу непараметрической оценки, что увеличивает вероятность роста цен по фактическим сделкам на вторичном рынке в мае по сравнению с апрелем 2023 г.

Таким образом, проведенное исследование показало, что применение параметрического метода к построеннию прогнозной модели необходимо дополнить непараметрической оценкой с целью определения возможного изменения направления развития исследуемого процесса.

Анализ динамики цен фактических сделок на первичном рынке жилья Краснодарского края ( p 1) за период с января 2019 г. по апрель 2023 г. (рис. 2) показал, что с учетом структурного сдвига, который, согласно тесту Чоу, пришелся на июль 2021 г., для построения прогнозной модели целесообразно рассматривать период с июля 2021 г. по апрель 2023 г.

Рисунок 2 – Цена м² в ценах мая 2023 г., январь 2019 г. – апрель 2023 г., руб. ¹

Figure 2 – Price of м² in May 2023 prices, January 2019 – April 2023, RUB.

В этом периоде изменение цен характеризуется нелинейной тенденцией. Проверка на стационарность выявила, что это интегрированный процесс первого порядка без константы, согласно расширенному тесту Дики – Фуллера ( ADF ). Поэтому была построена модель ARIMA (1, 1, 7) следующего вида:

pi t = 1,54p1_t -! - 0,54p1_£ -2 — 0,58f_t _7 + ^ t .                             (3)

где  ft и ft-7— случайные остатки модели в момент времени t и с лагом в 7 моментов соответ ственно;

p1_t, p1_t-1, p1_t-2 — цена фактических сделок на первичном рынке в текущий момент времени и с лагом в 1 и 2 момента соответственно.

Коэффициент детерминации R ² = 0,92. Параметры модели значимы согласно t -статистики, для которой p -значение не превысило 0,05. Остатки имеют нормальное распределение: /² (2) = 4,5 ; р- значение = 0,11; автокорреляция отсутствует: /²(1) = 0,2 ; р- значение = 0,64; процессы условной гетероскедастичности ( ARCH ) отсутствуют: LM = 2,9; p- значение = 0,09. Ошибка аппроксимации MAPE = 1,29 %. Модель отвечает всем требованиям и может быть использована для прогноза.

Доверительный 95-процентный интервал прогноза по модели (3) на май 2023 г. составил 147 761–157 021 руб. Результат оценки Надарая – Уотсон на май 2023 г. – 153 184 руб. ( R ²= 0,78), что не выходит за границы интервального прогноза, но превышает уровень апреля 2023 г. В такой ситуации можно предположить рост по сравнению с предыдущим периодом, но вероятность мала, так как определение цены находится в границах доверительного интервала прогноза.

Цена по фактическим сделкам в мае 2023 г. составила 151 984 руб.1, что ниже уровня апреля, но попадает в границы доверительного прогнозного интервала. Следовательно, динамика, описанная моделью (3), сохраняется, а модель имеет хорошее качество на перспективу.

Обсуждение . Построение прогнозной модели по временному ряду сопряжено как с трудностью моделирования динамики, так и с оценкой возможного изменения тенденции. Причем определение направления динамики в прогнозном периоде представляется более сложной задачей, чем оценка доверительного интервала прогноза. Применение непараметрической оценки Надарая – Уотсона позволяет лишь предположить направление динамики в прогнозируемом периоде. В то же время выявление предпосылок, указывающих на смену тенденции, улучшает качество прогноза.

По результатам проведенного эмпирического исследования предлагается для использования следующая методика прогнозной оценки с учетом возможного определения направления динамики в периоде упреждения:

– визуализация временного ряда;

– исследование динамического ряда, выявление точек структурных изменений и определение временного периода, который будет использован для построения прогнозной модели;

– моделирование тенденции с использованием трендовых и авторегрессионных интегрированных моделей скользящего среднего;

– вычисление 95-процентного доверительного интервала прогноза;

– определение прогнозного направления динамики по сравнению с предыдущим периодом с применением оценки Надарая – Уотсона;

– подведение итогов на основе полученных результатов прогноза.

Заключение . Анализ и эконометрическое моделирование динамики цен на рынке жилья вносит существенный вклад в понимание процессов, происходящих на рынке жилья. Изменение цен на него представляет нестационарный процесс с подвижной структурой, что необходимо учитывать при формировании прогнозных моделей. Особый интерес представляет перспективная оценка направления изменения цен в периоде упреждения.

В качестве индикатора можно использовать сравнение данных оценки Надарая – Уотсона для цены прогнозного периода и границ 95-процентного доверительного интервала прогноза и значений уровня, предшествующего анализируемому. Если оценка выходит за верхнюю границу прогнозного интервала и при этом превышает уровень в предыдущий момент времени, то высока вероятность роста прогнозируемой цены. Попадание оценки в границы доверительного интервала говорит о сохранении моделируемой тенденции в прогнозном периоде.

Методы и инструменты прогнозирования процессов на рынке жилой недвижимости постоянно развиваются, в данной работе рассмотрен лишь один из аспектов прогнозирования, основанный на исторически сложившейся тенденции.