Прогнозирование динамики системы

При компьютерном моделировании динамики управляемых систем чрезвычайно важным является вопрос о том, как исследовать поведение системы при различных начальных данных. Нами рассмотрен метод вычисления некоторого фиксированного набора решений, из которого в дальнейшем можно сделать выводы о поведении целого множества решений, масса начальных данных которых представляет компактное множество.

Пусть исследуемая система описывается следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений

X = F ( X , t ) , (1) где X = ( ^ 1 , ..., х_п ) . Функции F будем предполагать удовлетворяющими условиям, обеспечивающим существование и единственность решений. Пусть Х_о е Е_п ; тогда обозначим решение системы (1), удовлетворяющее условию X = Х_о при t = t₀.

Пусть X i , ..., Х_п — линейно независимые векторы. Тогда любой вектор Х о е Е_п

П ₀ представим в виде X o = X ^а г X - . Если си-

-=1

стема (1) линейна, то справедливо равенство

П

^Х ( ^t > ^X o^{, t} o ) = X “ i ^Х ( ^t > ^Xi > ^t 0 ) .      (2)

i= 1

Если система (1) является нелинейной, то попытаемся построить функции а - таким образом, чтобы решение X ( t,X g .t g ) было представлено в виде

X ( t, X o ,t o ) = X а _г- (t, а ⁰ ) x ( t, X_b t o ). (3) г = 1

Составим дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции а - .

Продифференцируем выражение (3) и, используя (1), получаем

( "1

F\ X ^a t ( t,а ⁰ ) X ( t,X^Yt I =

I1=1 v ')

= X a,• (t,a0)X(t,Xi,t0) + n 1=1(

+ X 7 ( t ,a ⁰ ) F ( X ( t,X^ ) , t ) .

1=1 x 7

Здесь и далее а0 = (а0, ..., аП ). Перепишем систему (4) в виде

A ( t ) а = -В ( t ) а + Ф ( t, а ) , (5) где А — матрица, столбцами которой являются решения

X ( t, X 1 ,t o ) ,X ( t, X 2 ,t o ) , . , X ( t,X_n,t o ) .

Определение 1. Пусть X1, ..., Xn — линейно независимые векторы. Будем называть систему (1) невырожденной, если векторы

X(t,X1,to),X(t,X2,to), ..., X(t,Xn,to) также линейно независимы в любой момент времени t > to [3].

В дальнейших рассмотрениях мы будем считать, что исследуемые системы дифференциальных уравнений являются невырожденными, если не оговорено противное и F ( 0,t ) = 0.

В силу невырожденности системы (1) матрица А является невырожденной, а В — это матрица со столбцами

F ( X ( t,X 1 ,t o ) ,t ) , . , F ( X ( t, X n , t o ) ,t ) . Векторная функция Ф имеет вид

Ф = F I X а_г- ( t, а⁰ ) X ( t, X_{, t₀),t

Приведем уравнения (5) к нормальной форме:

а = - Л ^-1 Ва + Л ^-1 Ф. (6)

Таким образом, если вычислены базовые решения, то правая часть системы (6) определена, и задача вычисления решения X ( t, X g ,t g ) сводится к задаче Коши а = а д при t = t g для системы (6).

Пусть D — связное замкнутое множество в пространстве Е_п. Рассмотрим множество траекторий системы (1), имеющее множеством начальных данных множество D. Пусть система уравнений [1]

Ф 1 («_ь . , а „ ) = О,

Ф 2 ( « 1 , .... а „ ) = ^О,

Ф б ( а_ь .... а „ ) = ⁰

определяет в Е_п замкнутую поверхность М. Рассмотрим множество траекторий системы (1), у которого множеством начальных данных является тело, ограниченное поверхностью М.

В пространстве Е_п с базой Х 1 , ..., X_n множеству М будет отвечать множество M t = Г р , которое будет определяться уравнениями

п

X = ^atXi, Ф(аь .... «п) = О, где Ф = (фЬ _, ф^).

Определение 2. Сгустком с базой Х ^ , ..., Х_п, определяемой системой (1), называется замкнутое связное множество D = D_t траекторий системы (1), определяемое в любой момент времени как множество точек в пространстве Е_п, граница которого удовлетворяет системе [7]

п

X = £ а_г-Х ( t, X_{,t o ) , Ф ( а_ь..., « п ) = 0 (7)

Сгусток мы будем обозначать В ( Х^, ..., ..., X_n, Ф ) , t-сечение будем обозначать В ( ( X i , ..., Х п , Ф ) . Сгусток В ( X ( t_t, XptgJ..., ..., X ( t j , X_n, t g ) , Ф ) эквивалентен сгустку В ( X ( t ₂ ,X i ,t ₀ ) , .... X ( t ₂ ,X п ,t o ) ,Ф ) для любых моментов t j , t 2 .

Процесс изменения конфигурации множества (7) в фазовом пространстве системы (1) при изменении времени мы будем называть эволюцией сгустка В ( Х ^ , .., X_n, Ф ) .

Определение 3. Сгусток В ( X_lt . , X_n, Ф ) называется инвариантным по отношению к системе (1) (или, для краткости, просто инвариантным), если из Х_о е В^ ( Х _1; ..., Х _п , Ф ) следует X ( t,X g ,t g ) е B t ( Х_ь . , X n , Ф ) .

Инвариантный сгусток можно назвать также пучком.

Определение 4. Инвариантный сгусток В ( Х ^ , ..., X_n, Ф ) называется устойчивым, если по любому s < 0 можно указать 3 > 0 такое, что из р ( Х о, В^ ( X_v ., Х_п ) ) < 8 следует Р ( X ( t,X g ,t g ) , B t ( X 1 , .„, X n ) ) < s для всех значений параметра t >  t g [6].

Определение 5. Устойчивый инвариантный сгусток называется асимптотически устойчивым, если 3 в определении устойчивости можно выбрать так, чтобы

Р ( X ( t, X g ,t g ) , B t ( X_V . , X n ) ) — 0. t ——+^

Теорема. Для того чтобы инвариантный сгусток В(Х^, .... Xn,Ф) (в дальнейшем В) был устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности S (г, Bt)

( t >  t g ) был задан функционал V(X) , определенный на решениях системы (1) со свойствами:

• 1)    функция V ( X ( t,Х₀, t g ) ) > 0, причем равенство возможно лишь при X ( t, X g ,t g ) е B t ;

• 2)    для любой величины y_t > 0 можно указать величину У 2 > 0 такую, что ^п р ^и Р ( ^Х ( ^t , ^X o , ^t 0 ) > ^Bt ) < Y 2 выполняется V ( X ( t,X o ,t o ) ) < Y i ;

• 3)    функция V ( X ( t, X g , t g ) ) является невозрастающей функцией t, пока X ( t, X g ,t g ) е е S ( г,B_t ) .

Доказательство. Достаточность. Пусть функционал V с указанными выше свойствами существует. Тогда возьмем s > 0 (s < г) и положим X = inf V ( X ( t, X g ,t g ) ) при р ( X ( t,X o ,t o ) , В , ) = s. В силу свойства 2

можно указать 3 > o такое, что У ( X o ) <  X при р ( X o , В о ) < 3. Покажем, что найденное 3 отвечает s в определении устойчивости 2. Предположим противное, т. е. пусть существует момент t = t такой, что      р ( X(t * , Х ₀ , t ₀ j , B_t * j = e .     Тогда

У [ X [ t * , X_o,t_o ) ) >  X, что невозможно по условию невозрастания функции У ( X ( t,X₀,t₀ ) ) [4].

Необходимость. Определим функционал У следующим соотношением:

У ( X ( t, X o ,t o ) ) = sup р ( X ( t, X o ,t o ) , B_t ) .

t >t o

Выполнение условия 1 очевидно. Докажем, что условие 2 тоже выполняется. В силу определения устойчивости 1 по любому Y1 > o можно указать Y2 > o такое, что при р (Xo, Bo) < у2 Vt > to будет выполняться р (X (t, Xo,to),Bt) < Yt-        Следовательно, supр(X(t,Xo,t0),Bt)< yi.

t>to ^{V V o7} ' Значит, условие 2 выполнено (при Y i ⁼ Y 2 ). Покажем справедливость условия 3. По условию устойчивости X ( t, X o ,t o ) е S ( г,B t ) , следовательно, значение У определено на траекториях X ( t, X o ,t o ) при любом значении параметра t. Выполняется [2]

У ( X ( t, X o ,t o ) ) = sup р ( X ( t, X o ,t o ) , B t ) = t>t o

= У ( X ( t, X o ,t o ) ) .

Это и показывает справедливость условия 3. Теорема доказана.

Уравнения X = У , У = У х b ( X , t ) являются безразмерными уравнениями, описывающими движение заряженной частицы в магнитном поле с индукцией b ( X,t ) =

= (bpb2, Ьз)*. Здесь и далее X = (xlt х2, х3)* — вектор положения частицы, У = (уь у2, Уз )* — вектор скорости. Эти уравнения можно записать в матричном виде:

X = У, У = B (X,t) У,(8)

Г О

где В = —b₃

I ^b 2

b3

• -bi

Отметим, что система (8) имеет интеграл

У ² = const = У₀ ² .

Пусть     X ( t, X o ,y ) ,

У ( t, X o ,y o ) — решение задачи Коши X = X o ,

У = T o при t = o системы (8). Предположим по аналогии с линейными системами дифференциальных уравнений, что справедливо соотношение

У ( t, X o ,y o ) = B ( t, X o ) y o ,         (9)

где матрица B o = E определяется системой (8) и вектором начального положения. Матрица B ( t, X o ) является аналогом фундаментальной матрицы линейной системы У = B ( t ) У . Матрицу B будем называть базовой матрицей.

Составим систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяет матрица B. Для этого продифференцируем (9) с учетом (8):

В ( t, X_o ) У_о = в ( X,t ) В ( t, X_o ) У_о.

В силу произвольности вектора У o справедливо соотношение

B = b b .             (io)

Матрица B ( t, X o ) являетсярешениемзадачи

Коши X = X o ,B o = E системы

В = В ( X,t ) в, X = ВУ о .

Рассмотрим случай постоянного однородного магнитного поля В ( X, t ) = В = = const. В этом случае система (11) интегрируется в замкнутой форме:

В ( t ) = exp ( Bt ) , t

X = J exp ( Вт ) diT o . o

В случае однородного магнитного поля В (X,t) = В (t) система (Ю) линейна, и фундаментальная матрица этой системы может вычисляться консервативными методами, которые будут изложены ниже, т.е.с учетом своей ортогональности. Но здесь возможен и другой подход: дело в том, что строить новый корректирующий метод можно не только изменяя правую часть соответствующей разностной схемы, но и оставляя сам метод без изменения, при этом на каждом шаге иначе вводя этап коррекции. Другими словами, по матрице Н^, полученной в результате применения стандартного алгоритма к значениям Ну, полученным ранее, строится «корректная» матрица, обладающая свойством ортогональности, при этом минимизируется норма разности между этими матрицами. Затем матрицу Н^+1 мы и примем за значение фундаментальной матрицы Н в узле t = (к + 1) h. Однако основную важность на практике имеют неоднородные поля. Именно с помощью них производится так называемая жесткая фокусировка в современной ускорительной технике [5]. Вводя этап коррекции указанным выше способом, мы будем улучшать любой вычислительный алгоритм решения задачи Коши для системы (11).

Следует отметить, что коррекция особенно эффективна в методах высокого порядка. На основе вышеуказанных соображений могут быть построены эффективные алгоритмы решения задач интегрирования уравнений (11).

Отметим замечательную особенность уравнений (8) — свойство инвариантности любого сгустка в пространстве. Действительно, пусть У1,У2,У3 — линейно независимые векторы. Тогда любой вектор Уо представим в виде

У о = X а ° Х

1 = 1

Решение с начальными данными У_о, У о в силу невырожденности системы (8) удовлетворяет соотношению У ( t, У о >У ) ) = = X ^аг' У ( t У ) >У' )> но из (9) мы имеем

У ( t, Х о ,У о ) = НУ о = Х « ^о Еу =

= Х о ^о У k t, Х о ,У') •

Следовательно, а ^ = а ® = const, и любое первоначальное ограничение на параметры а будет выполнено во все время движения. Из этого следует, что для заданного начального положения частицы, чтобы следить за эллипсоидом скоростей, сгустком с базой У 1 ,У 2 >У з и качеством ф : ^ а ^ < 1, достаточно следить лишь за базовыми решениями, для вычисления которых в свою очередь нужно знать лишь матрицу Н.