Прогнозирование разрушения вязко-упругопластических конструкций при длительной эксплуатации

После продолжительной работы несущих элементов из вязкого упругопластического материала часто возникает следующая задача: требуется определить возможное время безаварийной службы существующей конструкции, если известна история будущего загружения.

В настоящее время при анализе разрушения вязких упругопластических систем (упругопластических конструкций, подверженных ползучести) выделяют два типа исчерпания несущей способности [1]. Первый тип – вязкое разрушение при невысоких напряжениях и значительной деформации. Для описания явления используется несколько определяющих соотношений, связывающих тензор напряжения σ _ij и тензор скоростей деформаций ε ɺ _ij . Рассмотрим теорию течения, где имеет место равенство

Н = 2 ψ T , T = ¹ ₂ σ i ^/ j σ i ^/ j , H = а/ 2 ε ɺ i ^/ j ε ɺ i ^/ j .                            (1)

В формулах (1) точка над тензором означает дифференцирование по времени, а штрих в верхнем индексе – использование девиатора. Функция ψ зависит от тензора напряжений σ _ij . Равенство (1) можно разрешить относительно T :

T = g ( H ) H .                                       (2)

На основе экспериментов обычно принимают степенную зависимость

Механика

g ( H ) = BH ^{µ - 1}.

Число m = 1 / µ для металлов содержится в интервале между 10 и 12. Можно проинтегрировать определяющие уравнения

σ I ^/ J = 2 g ( H ) ε ɺ i ^/ j

в предположении несжимаемости скоростей деформации при ползучести и текучести. Результаты интегрирования (4) многих частных задач показывают, что для некоторых точек существует момент времени t *, когда перемещения становятся бесконечными. Этот момент называют временем вязкого разрушения. Вязкое разрушение не связано с уровнем внутренних напряжений, оно равносильно тому, что в качестве критерия разрушения принимаются недопустимые перемеще- ния характерных точек.

Кроме вязких разрушений в изучаемых конструкциях наблюдаются внезапные (хрупкие) разрушения, фиксируемые при действии длительных переменных (циклических) нагрузок. Задача, сформулированная в начале статьи, относится к этому типу. Другая часто встречающаяся задача связана с прочностью деталей, испытывающих ползучесть (элементы турбин, двигателей, разрушение которых сопровождается малыми деформациями). Хрупкие разрушения связаны с изменением в процессе эксплуатации механических свойств материала конструкции. Накапливаются дефекты: разрыхления, поры, трещины, которые в основном зависят от характера внутренних напряжений. В настоящей работе задача изучается в квазистатическом приближении (силы инерции не учитываются), режим вязкого деформирования принимается установившимся. В этих условиях уровень накопления дефектов в точке x сплошной среды характеризуют сплошностью ψ(x) [1]. В начальный момент деформирования она принимается равной единице, а в момент разрушения ψ(x) = 0 . Используется также функция поврежденности Работнова [2] ω(x) = 1 -ψ(x) . Постулируется кинетическое уравнение поврежденности dψ =F(ψ,λ1...λn). dt

Функция F зависит от сплошности ψ(x) и параметров λ1...λn , характерных для конкретной за- дачи и определяемых экспериментально. В число параметров входят тензор напряжений, температура, время, непрерывные функции, зависящие от εi/j . Накопление повреждений в отдельных точках приводит к появлению фронтов разрушения – поверхностей Σ , отделяющих разрушенные зоны с ψ(x) = 0 от неразрушенных. Изучается движение фронта разрушения по координате u , нормальной к фронту Σ по кинетическому уравнению dψΣ + ∂ψΣ du = 0 .

dt    ∂ u dt

Здесь функция ψ(t) принимается по уравнению (5) в точках фронта Σ . Движение фронта приво- дит к полному разрушению конструкции, которая преобразуется в момент t * из односвязного тела в несколько разделенных фронтом Σ частей. Число t * называют временем хрупкого разрушения конструкции.

Уравнения (5), (6) решены для большого числа технически важных задач, функции F ( ψ , λ ₁... λ _n ) получили серьезную экспериментально-теоретическую поддержку [3, 4].

Следует сказать, что в задаче прогноза разрушения длительно эксплуатируемой конструкции приведенные выше результаты трудно практически использовать, так как время t * определяется всей историей нагружения, начиная с отсутствия поврежденности (которая часто неизвестна). Отсутствуют на момент прогноза сведения о коэффициенте запаса несущей способности от пластического разрушения, так как расчетные формулы не содержат свойств поверхности текучести (нагружения). Поэтому представляется целесообразным переформулировать рассматриваемую задачу в традиционных для теории пластичности терминах, поскольку при такой постановке найдены эффективные способы для реализации численных расчетов.

Механическая формулировка задачи о длительной прочности идеального вязкоупругопластического тела под действием нагрузок, вызывающих накопление повреждений

Рассмотрим трехмерное тело D, ограниченное поверхностью S = S_u + S_p . На части поверхности S_u отсутствуют перемещения, а на S_p действуют силы X_i . Вектор перемещений в любой точке x ∈ D обозначим u_i , а действующую объемную силу – f_i . Время действия нагрузки [0, T ]. Напряжения σ _ij в теле D удовлетворяют соотношениям (7) (критерий Надаи–Шлейхера)

Φ ( σ ij ) = с ijkl ( λ ) σ i ^/ j σ i ^/ j - 2 k ² ≤ 0.                                 (7)

Тензор c_ijkl – непрерывная функция, зависящая от параметра деформирования λ , которая назначается на основе экспериментального изучения материала тела D . Здесь, как и во введении, штрих в верхнем индексе обозначает девиатор тензора.

В любой момент времени t существует тензор напряжений σ _i ^* _j , уравновешивающий силы X i , f i и лежащий внутри поверхности (7), то есть выполнено равенство

∫ X_iu_idS_p + ∫ f_iu_idx = ∫ σ _i ^* _j ε _ijdx                                   (8)

Sp          D        D с произвольным кинематически допустимым (равным нулю на поверхности Su ) вектором ui . Здесь dx – дифференциал объема тела D, dSp – дифференциал поверхности, εij = (ui,j +uj,i)/2 – тензор деформации, отвечающий ui. Запятая означает ковариантное дифференцирование.

Для обозначения частной производной по времени над тензором ставится точка, так что скорость точек v_i = u ɺ _i . Скорость деформаций, как обычно, представим в виде суммы трех тензоров (упругости, пластичности, ползучести)

ε ɺ i ^/ j = ε ɺ i ^/ j^e + ε ɺ i ^/ j^p + ε ɺ i ^/ j^cr                                                   (9)

Связь введенных девиаторов с девиаторами напряжений такова [1, 5]

ε ɺ _i ^/ _j ^e = E_ijkl σ ɺ _kl , ε ɺ _i ^/ _j ^p = λ ₀        , ε ɺ _i ^/ _j ^cr = M_ij ( σ _kl )                              (10)

∂ σ _ij

В (10) E_ijkl – тензор модулей упругости, λ ₀ >  0 , если точка x ∈ D лежит на поверхности Φ ( σ _ij ) = 0 ; если точка x ∈ D не лежит на поверхности, то λ ₀ = 0 . Оператор M_ij монотонного типа [6], то есть

∫ ( M_ij ( σ _kl ) - M_ij ( τ _ij ))( σ _ij - τ _ij ) dx >  0.                              (11)

D

В частности, все операторы установившейся теории ползучести, включая полиномиальный оператор (3), являются монотонными. В шаровую часть тензора ε ij входит только упругая составляющая ε ɺ _ii = k ₀ σ ɺ _ii с постоянной k ₀ .

Задача расчета вязко-упругопластического тела состоит в определении вектора перемещений u_i и тензора напряжений σ _ij , которые в течение времени T удовлетворяют соотношениям (7)–(10), если в начальный момент t = 0 известно распределение напряжений во всем теле, а перемещения u_i считаются отсутствующими. В следующем разделе приводятся математически точные условия, при которых поставленная задача имеет решение.

Существование обобщенных решений квазистатической задачи расчета вязко-упругопластических тел

Поиск возможных перемещений удобно первоначально проводить в пространстве ограниченных деформаций BD ( D ) , подробно изученном в работах [7, 8].

По определению,

BD ( D ) = { f / f = { f i }, f i ∈ L ¹ ( D ), ε ij ( f ) = ¹₂( f i , j + f j , i ) ∈ M ¹ ( D ), i , j = 1,2,3},       (12)

Механика

является нерефлексивным пространством с нормой ||f||BD(D) = ^[f]1 + ^ ||^.(f)||м 1(D   при i=1             i,j=1

этом M ¹( D ) означает меру в области D.

Но нерефлексивность BD(D) может порождать бесконечные напряжения, которые механи- чески недопустимы. Нужна расширенная постановка задачи, которая производится путем размещения BD(D) внутри пространства обобщенных функций.

Если обозначить пространство функций (распределений) Соболева с обобщенными производными W ’1 ( D ) , то имеет место включение W ^|Д( D ) с BD ( D ). Любая обобщенная функция f, для которой ε ij принадлежит M ¹( D ), является элементом пространства [ L^{n /( n+ 1)}( D )] ⁿ . Вложение BD ( D )

[ L^p ( D )] ⁿ непрерывно при p = n /( n– 1) и компактно при 1 < p < n /( n – 1).Таким образом, любая ограниченная в BD ( D ) последовательность имеет подпоследовательность, сходящуюся в L^p ( D ) . Отмеченное свойство существенно используется в дальнейших доказательствах, которые приведем, следуя [9]. Введем общепринятые определения. Обозначим через L^p (0 T, X ) пространство измеримых функций из [0, T ] в X, таких, что

||f (t)|| xеLp(0T),    1

Относительно нормы

T

IIДр (0T,X) = (J Ilf(11 Id)1/p(14)

Lp (0T,X) является B-пространством для 1 ≤ p < ∞. При p = ∞ оно становится B-пространством относительно нормы iifiiL”(0t,x)=ess. supiif(t) IX •

(0, T )

Если X – гильбертово пространство, то L ²(0 T, X) становится гильбертовым пространством, если его наделить скалярным произведением

T

( f, f 2 ) L 2 _{(0 TX} ) = J ( f ■ ( t ), f 2 ( t ) x dt •                                    (16)

, ₀

Если X – рефлексивное B -пространство, то L^p (0 T, X) при 1 < p <∞ также рефлексивно, а сопряженное к нему может быть отождествлено с L^r (0 T, X^/ ), где r – сопряженный показатель с p . Если X – нерефлексивно, то сопряженным к нему служит L^r w (0 T, X^/ ). Здесь индекс w указывает, что L^r w (0 T, X^/) состоит из таких слабо измеримых функций f , что

II f\\r (0T , X ^z)     .

Определим множества

^E 0 = { ^T j / ^T ij ^е H = ( ^T ij T . ) = J ^T ij ^T ij dx , ^T ij , J ^е L ³⁽ D ), ^T ij n j = ⁰ on S p i , J = ^1,2,3} ,

D

U 0 = { u / U i G [ L ²( d )] ³ , S ij ( U i ) € H , U i = 0 on S u i , J = 1,2,3};                (17)

P ( t ) = { T j / T ij € H , T ij ( x ) € K ( x , t ) in D } •

В последней формуле K ( x, t ) означает множество напряжений, расположенных внутри замкнутой поверхности Φ ( τ ij ) = 2 k ².

Назначим тензор c_ijkl , следуя работам [10, 11]:

t j (t) = C0ki + AJkl , AJki = b^ J dA, dA = ds/ne = ds/p + ds/cr, ds'p =. \ds'p ds'p, ds'cr =. Srdsc".                       (18)

ij ij                                       ij ij

Численные значения компонент тензора b_ijkl определяются экспериментально на образцах из материала, подчиняющегося критерию текучести Φ ( σ _ij ) = 0 при разных величинах напряжений. Тензор b_ijkl естественно назвать тензором накопления повреждений. Подсчитаем коэффициент запаса от пластического разрушения k ^* во время [0, T ] на основе кинематической теоремы по возможным путям пластической деформации со скоростями v_i ( x ).

∫ Γ ( ε _ij ) dx

k ^* = inf ^D _*       .                                       (19)

^v i ∫ ^σ ij ^ε ij^dx

D

Диссипативная функция Γ ( ε ij ) является преобразованием Лежандра функции Φ( σ ij ). Равенство k^* = 1 означает разрушение тела D , а t* – время, предшествующее аварии.

Сформулируем задачу упругопластического расчета на конечном интервале [0 , T ] в ослабленной вариационной форме. Предположим, что внешняя нагрузка и начальные напряжения таковы:

f i ∈ W ^{1, ∞} (0 T ,[ L ³ ( D )] ³ , σ ij (0) ∈ P (0) ∩ Ε 0 .

Требуется найти σ ij из P ( t ) ∩Ε 0 и u i из BD ( D ) , чтобы выполнялись соотношения

( ( E_i ^- _jk ¹ _l σ ɺ _kl + M_ij ( σ _kl ) σ _ij ),( τ _ij - σ _ij ) ) + ∫ u_i ( τ _{ij , j} - σ _{ij , j} ) dx ≥ 0, ∀ τ _ij ∈ P ( t ) ∩ E ₀,

D                                            (20)

σ _{ij , j} + f_i = 0, σ _ij = σ _ij (0) if t = 0, k ^* > 1.

Доказательство существования обобщенных решений системы (20) осуществляется аналогично построениям Пеано по обоснованию метода ломаных Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений [12]. Разобьем интервал интегрирования по времени на n частей:

Δ t = T / n , t_{n + 1} = t_n +Δ t , n = 1,2.... N

Приняв в интервале [ t 0 , t 1 ] напряжения неизменными по сравнению с моментом t 0 , вычислим по (20) во всех точках области величины скоростей деформаций и напряжений. Вычисление возможно, так как в работе [13] доказано, что задача (20) равносильна нахождению седловой точки функции Лагранжа

L(σij,vi)= 1 ∫(Ei-jk1lσɺijσɺkl +Mij(σkl)σɺij)dm+ ∫(σɺij,j +Xɺi)vidm,    M =D×[0,t](21)

2MM

В книге [6] доказывается существование седловой точки этого оператора, так как (21) является положительно определенным квадратичным функционалом в силу монотонности оператора M ij . В момент t ₁ примем

σij (t1 )=σij(t0)+Δtiσɺij(t0), ui(t1)=ui(t0)+Δtivi(t0).(22)

Формулы (18), (19), (22) позволяют найти тензор c_ijkl ( t ₁) и величину k* ( t 1 ) в момент t 1 . Если k* ( t 1 ) >  1, то можно сделать расчет на отрезке времени [ t 1 , t 2 ] по аналогии с предыдущим, найти напряжения и перемещения при t = t 2 . В случае k* ( t 2 ) >  1 следует продолжать вычисления до момента t n , когда число k* ( t n ) станет меньше единицы. Затем нужно разбить интервал времени [0, T ] на большее число отрезков N ^ >  N и продолжать предыдущие расчеты до тех пор, пока для чисел k* ( t N^ ) не выполнится условие

| k *( t N ^ ) - k *( t N ^ - 1 )| ≤ ε *                                     (23)

Здесь ɛ* – заданное малое число. Доказывается на основе теорем вложения Соболева и свойств монотонных операторов [9, 14], что предельные значения искомых функций при бесконечном возрастании N^ существуют и обладают свойством

σ ij ∈ L ^∞ (0 T , H ),      σ ɺ ij ∈ L ²(0 T , H ),      u i ∈ L ² w (0 T , BD ( D )).             (24)

Индекс w в формуле (24) означает, что перемещения u i удовлетворяют уравнениям (20) в смысле слабой* сходимости. Справедливо также предельное соотношение (25)

Механика

lim t_N л = t *.                                           (25)

N л ^^

Число t* следует принять за время разрушения вязко-упругопластической конструкции.

Заключение

В работе установлена теоретическая возможность прогноза времени разрушения в задачах установившейся вязко-упругопластичности (ползучести) конструкций, материал которых удовлетворяет условию текучести Надаи–Шлейхера. Решение использует достижения математической теории вариационных неравенств. Существенно, что в настоящее время численный анализ предлагаемой постановки задачи возможен, так как соответствующие алгоритмы найдены [15, 16]. Поэтому представляет интерес проведение экспериментальных работ по определению введенного в настоящей статье тензора накопления повреждений b ijk l для различных материалов.