Производные в среднем случайных процессов и диффузионные модели в экономике

Многие задачи диффузии решаются методами интегрального преобразования, например, методом операционного расчета. Существует несколько типов таких преобразований: преобразование Фурье, Лапласа, Ханкеля, Мейера, Конторовича-Лебедева, ряд других.

В ходе интегральных преобразований к каждому из членов дифференциального уравнения (а также к граничным условиям) применяется интегральное преобразование, в результате чего вместо уравнения и граничных условий по концентрациям создается уравнение и граничные условия получены относительно его образа.

Диффузионная модель развития процентных ставок в финансовой математике - это математическая модель, которая описывает динамику процентных ставок в форме стохастических дифференциальных уравнений диффузионного типа. Семейство моделей процентных ставок очень разнообразно, включая однофакторные модели (спотовые модели), многомерные модели и модели форвардных кривых [2].

Производные в среднем. Пусть £ ( t ) - стохастический процесс в > ^л , заданный на некотором вероятностном пространстве ( Q , F, P ), который является L -случайной величиной для всех t е [ 0, T ] с R. Обозначим через N _t о-подалгебру о -алгебры F , порожденную прообразами боре-левских множеств при отображении $ ( t ), а через E^ t - условное математическое ожидание относительно N ^_t . Следуя Э. Нельсону, введем понятия производных в среднем справа и слева [5].

Определение 1. ( i ) Производная в среднем справа Df ( t ) процесса f ( t ) в момент времени t это L 1 -случайная величина вида

,х          . (fU + At)-f(t))

Df ( t ) = lim E t —----- )   ⁽ ) ,                           (1)

A t >+ 0    к        ^A t       7

где предел предполагается существующим в L 1 ( Q , F, P ) и A t >+ 0 означает, что A t >  0 и A t >  0.

• ( ii )    Производная в среднем слева D f ( t ) процесса f ( t ) в момент времени t это L 1 - случайная величина

D f ( t ) = lim E t ^{( f (} t ) - ^{f (} t -^A t )' A t >- 0 к         ^A t        7

где обозначения такие же, как в ( i )[5] .

В уравнении с производным средним не участвует винеровский процесс, то есть мы можем покрыть более широкий класс решений.

Напомним, что процесс Ито - это процесс вида

Д t ) = ^ 0 + j в ( s ) ds + J a ( s ) dw ( s ) ,                            (3)

где первый интеграл в правой части - интеграл Лебега, а второй - интеграл Ито. Процесс Ито, называется диффузионным процессом, если в ( t ) и A ( t ) измеримы относительно N_t [4].

Теорема 1. Для диффузионного процесса f ( t ) вида (3) Df ( t ) существует и равно в ( t ).

t

Утверждение Теоремы следует из того, что j A ( s ) dw ( s ) является мартингалом относительно 0 естественной фильтрации винеровского процесса.

Введем дифференциальный оператор D 2 формулой

_D(_{# (z)} , _E/ ( f ( t + ^A) - f ( t ) )( f ( t+ ^A t ) - f ( t ) ) к                                         ,

где (f (t + At)- f (t)) - столбец (вектор в >п ), строка (транспонированный или сопряженный вектор) и предел предполагается существующим в L1 (Q,F,P) [5].

Определение 2. D 2 называется квадратичной производной в среднем. D 2 принимает значения в полях симметрических неотрицательно определенных матриц [4].

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение в форме Ито вида d f (t) = a (t, f (t)) dt + A( t, f (t)) dw (t).                                    (5)

Теорема 2. (i) Решение уравнения (5) удовлетворяет следующей системе уравнений с производными в среднем

D f ( t ) = a ( t , f ( t )),

D 2 f ( t ) = a ( t , f ( t )),                                              (6)

где a ( t , x ) - векторное поле, а a ( t , х ) - поле симметрических матриц вида A ( t , x ) A ( t , x )*, где A ( t , x )* - транспонированная матрица A [4].

• (ii)    если f ( t ) - решение системы (6), в котором a ( t , x - векторное поле, а a ( t , х ) - поле неот-

• рицательно определенных симметрических матриц, то могут существовать его решения, которые не являются решениями уравнение типа (5), т. е. f (t) может принадлежать более широкому классу процессов, чем диффузионные.

Доказательство. Действительно, нетрудно видеть, что в уравнении (6), построенном по уравнению (5), снос a(t,x) является правой частью в первом уравнении системы (6), а a(t, х) = A(t,x)A(t,x)*. Однако при переходе от (6) к уравнению типа (5) нахождение A(t,x) по a(t, х) требу- ет дополнительных предположений и, главное, в системе (6) не задействован винеровский процесс, т.е. $ (t) заведомо может не быть диффузионным и не удовлетворять никакому уравнению в форме Ито.

Перейдем к описанию некоторых известных диффузионных моделей, в которых переход от уравнений типа (5) к уравнениям типа (6) приводит к расширению множества возможных решений.

Однофакторная модель краткосрочных процентных ставок выглядит следующим образом: dr = д(t,r(t))dt + o(t,r)dWt , где Wt - винеровский процес.

Простейшая модель, предложенная Мертоном в 1973 году, описывается уравнением: dr = ^dt + odW_t , где д и о - константы [6]

Этот метод оценки стоимости свопа кредитного дефолта был разработан Робертом Мертоном в 1978 году. Метод Мертона основан на модели Блэка–Шоулза для расчета стоимости европейского опциона. Разница в том, что в методе Р. Мертона динамика стоимости капитализации компании следует геометрическому броуновскому движению:

dV = цVdt + o_V VdW                             (7)

где V - суммарная стоимость активов фирмы; д - ожидаемая доходность активов фирмы; о v -волатильность стоимости активов фирмы; W - винеровский процесс [2].

Модель Васичека, предложенная им в 1977 году, предполагает, что процентные ставки колеблются около определенного среднего уровня:

drt = а(в - r1 )At + 7 eJAt, где о e VA7 - винеровский процесс, в - средний уровень процентной ставки.

Эта модель была первой, которая учитывала тенденцию процентных ставок возвращаться к среднему значению (средняя инверсия): процентные ставки не могут расти бесконечно, потому что их высокий уровень ограничивает экономическую активность и после определенного предела ничего не достигает; с другой стороны, цены, конечно, снизу ограничены. Поэтому ставки должны быть в ограниченной зоне.

Недостатком модели Васичека является то, что она использует нормальное распределение для коэффициента дрейфа волатильности, которое теоретически допускает отрицательные ставки [3].

Следует отметить, что во всех перечисленных моделях, кроме (7), заранее не предполагается, что решение является диффузионным, и в этих случаях переход к системам типа (6) проводится достаточно просто и расширяет множество возможных решений. Для геометрического броуновского движения (7) это не так очевидно.

Рассмотрим следующее обобщение геометрического броуновского движения [1], которое также расширяет множество возможных решений, а именно, процесс 5 (t), описываемый следующей системой стохастических дифференциальных уравнений dSa (t) = Sa aa (t;S1 (t),_,Sn (t))dt + Sa Aae(t;S1 (t),...,Sn (t))dwв ,             (8)

где w^в - независимые винеровские процессы в М¹ , образующие вместе винеровский процесс в Ж n , a ( t,x ) - векторное поле на R n , A ( t,x ) - отображение из [ 0, T ] х R n в пространство линейных операторов L (R n , R n ) , а А^а в обозначает матрицу оператора А . Также отметим, что геометрическое броуновское движение (7) получается из (8) в случае, когда a ( t ) и A ( t ) зависят только от времени t (т. е. не зависят от точки x e R n ). В формуле (8) мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании по одинаковым верхнему и нижнему индексам, т. е. в этом случае знак суммы не пишется.

Если координаты S^a решения (8) положительны при всех t , то по формуле Ито процесс

§(t) = In5(t) = {ln51 (t) ,.,lnSn (t)} удовлетворяет уравнению de (t) =^ a — diag (AA*) ^ (t ,1 (t)) dt + A (t, ^ (t)) dw (t),                       (9)

где diag ( AA * ) - вектор, составленный из диагональных элементов матрицы AA * ( A * - транспонированная A ). Также по формуле Ито, если процесс $ ( t ) удовлетворяет (9), то процесс

S ( t ) = exp 1 ( t ) = ( exp 1 ¹ ( t ) , . , exp e ’ ( t ) )

удовлетворяет (8). Укажем, что в данной ситуации координаты S^a положительны [1].

Обозначим через В симметрическую положительно определенную матрицу АА (где А – транспонированная матрица A ). Если процесс удовлетворяет уравнению (8), то он в свою очередь будет удовлетворять следующему уравнению с производными в среднем:

Л          \     ²        У                                               (10)

D2I (t) = B (t, 1 (t))

или, эквивалентно,

Пусть ^ ( t ) - решение уравнения (10) (или (11). Мы называем его логарифмом процесса

S ( t ) = exp 1 ( t ) = e ^v ^^.,e

Отметим, что если уравнение (10) (или (11)) задано априори с некоторым B , то процесс S ( t ) = exp 1 ( t ) может не удовлетворять (8). Таким образом, модели, основанные на уравнениях (10) или (11), покрывают более широкий класс задач, чем те, которые основаны на (7) и (8).