Промежуточные подгруппы в полной линейной группе второго порядка над полем рациональных функций, содержащие квадратичный тор
Автор: Дзигоева Валентина Созрыкоевна, Койбаев Владимир Амурханович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.10, 2008 года.
Бесплатный доступ
В работе дается описание подгрупп полной линейной группы GL(2,k) над полем рациональных функций k= F_q(t) (с коэффициентами из конечного поля нечетной характеристики F_q, содержащих тор, соответствующий квадратичному расширению основного поля k.
Группа, подгруппа, промежуточная подгруппа, тор, квадратичный тор
Короткий адрес: https://sciup.org/14318230
IDR: 14318230
Текст научной статьи Промежуточные подгруппы в полной линейной группе второго порядка над полем рациональных функций, содержащие квадратичный тор
§ 1. Введение
В рамках задачи исследования структуры подгрупп группы GL(2, к) над глобальным полем k, содержащих тор, соответствующий квадратичному расширению основного поля k [1], мы рассматриваем в данной работе случай, когда основное поле является полем рациональных функций.
Пусть k = F q (t) — поле рациональных функций от одной переменной t над конечным полем F q нечетной характеристики, K = к( ^ Д — квадратичное расширение поля к, где ' — неквадрат поля констант, ' G F * \ F * 2. Рассмотрим регулярное вложение мультипликативной группы K * в группу всех к — линейных обратимых отображений Aut k (K )
K ∗ α
^ Aut k (K ), 99K а,
где а — оператор умножения, ct(x') = ax, x G K . Образом вложения служит максимальный нерасщепимый тор T (квадратичный тор). Зафиксируем базис 1, ^ ^ поля K . Тогда тор T представляет собой подгруппу матриц вида
T ={ (У ?)
где (x, у) = (0, 0), x, y G к
,
в группе G = GL(2, к).
В настоящей работе дается описание решетки Lat(T, G) подгрупп H полной линейной группы G, содержащих T , т. е. решетки промежуточных подгрупп
Lat(T, G) = { H : T 6 H 6 G } .
Для каждой промежуточной подгруппы H , содержащей элементарную трансвекцию, определим модуль транвекций
A = A(H ) =
{° g k: C 0) g H}-
и кольцо множителей
R = R(H ) = { Д е k : ДА c A } .
Если A — подгруппа аддитивной группы поля k, R — кольцо множителей модуля А, то пара (R, А) называется допустимой, если существует промежуточная подгруппа H такая, что А = А(Н), R = R(H ). Подкольцо R поля к называется допустимым, если R = R(H ) для некоторой подгруппы H.
Согласно [2] решетка Lat(T, G) представляет собой
Lat(T, G) = {T} U {Ng(T)} U L, где L — дизъюнктное объединение подрешеток Lat(R, А) = {H Е Lat(T, H) : R(H) = R, А(Н) = А} по всем допустимым парам (R, А). Таким образом наша задача сводится к выявлению всех допустимых пар (R, А), а затем, описанию всех подрешеток Lat(R, А). Заметим, что для произвольного поля к нечетной характеристики, нормализатор Ng(T)
тора T совпадает с полупрямым произведением тора T и группы второго порядка, по-
(0 —У
рожденной матрицей
§ 2. Допустимые пары и допустимые кольца
В этом параграфе дается описание допустимых пар и допустимых колец.
Пусть S0 — множество всех неприводимых многочленов четной степени кольца F q [t]. Если S — некоторое множество неприводимых многочленов из F q [t], то через S - 1(F q [t]) мы обозначаем кольцо всех рациональных дробей, в знаменатели которых входят неприводимые многочлены из S и только они (кольцо частных). Далее, пусть v g) = deg g — deg f показатель нормирования. Для произвольного целого к положим
Л к = {f Е F q (t) : v(f) > к^.
Ясно, что Л i • Л ^ = Л i+j , Л i D Л i +1, Ло = Л — кольцо полуправильных рациональных дробей.
Через R0 мы обозначаем подкольцо полуправильных рациональных дробей, в знаменатели которых входят неприводимые многочлены четной степени и только они:
Ro = S — 1(F q [t]) П Л.
Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:
-
(а) Пара (R, А) является допустимой тогда и только тогда, когда А — идеал кольца R , содержащего подкольцо R0 .
-
(b) Если R — допустимое кольцо, то либо R = S - 1(F q [t]) , либо R = S - 1(F q [t]) П Л для некоторого S ⊇ S0 . Справедливо и обратное утверждение.
Доказательству теоремы предпошлем следующие утверждения.
Лемма 1. Пусть у Е F q [t] , у — неприводимый многочлен четной степени, deg у = 2m > 4 . Тогда найдутся два неприводимых многочлена Ш 1 , Ш 2 четной степени, deg Л1 = 2m — 2 , deg л 2 = 2 такие, что (у,л1) = (у, л 2 ) = (ш1,ш 2 ) = 1.
Доказательство леммы вытекает из того, что над любым полем нечетной характеристики найдется по крайней мере три различных унитарных неприводимых многочлена второй степени (например, (t + a)2 — ^, а Е F q ).
Лемма 2. Пусть f, у Е Fq [t], (f, у) = 1, deg у > n. Пусть, далее, f • tk = fk ш + ygk
для некоторых f k , g k , ш Е F q [t] при всех k = 0, n — 1. Тогда многочлены f o , fi,... , f n - i , ϕ — линейно независимы.
-
<1 Действительно, если
n - i
52 X k f k + Xy = 0, (2)
k=O то из (1) мы имеем n-i f λktk k=0
= Ш
n - i
X k=0
X k f k + XУ
n - i
λkgk - λω k=0
Тогда из (2)
n-i f Xλktk k=0
n - i
λkgk - λω k=0
Отсюда, так как (f, у) = 1, то
n - i
P k=0
λktk
^ . у, но deg у > n, а потому
Отсюда и из (2) следует, что Ao = Xi = ... = X n - i = X = 0. B
fP X k tk) = 0. k=0
< Доказательство теоремы 1. (a) То, что A — идеал кольца R следует из [2]. Далее, согласно [2] достаточно показать, что кольцо Ro совпадает с кольцом у yg2
RH = ring ^. . )= ™g ^, f ^ [ t ] .
Всякий многочлен вида f2 — yg2, (f, g) = 1, представляет собой произведение неприводимых многочленов четной степени [5], следовательно, R(y) С Ro. Докажем обратное включение Ro С R(y).
Отметим в начале, что Fq С R(y). Действительно, y Е R(y) [3], далее, ring ( 1,У, у1у )
z - µ z ∈ F
С R(y). Отсюда ring 1, y, F q 2 С R(y), а потому F q С R(y).
Пусть теперь ^ Е Ro. Докажем включение ^ Е R(y) индукцией по deg у. Пусть deg у = 2. Согласно [5] у = f2 — yg2 для некоторых f, g, Е F q [t], (f, g) = 1.
С другой стороны
f 2
f2 — yg2,
g2
f2 — yg2,
fg
f2 — yg2
содержатся в R(y). Так как deg ^ 6 deg у, то степени многочленов f2, g2, fg не превосходят 2 и эти многочлены линейно независимы, следовательно, ^ Е R(y). Индукционное предположение состоит в следующем. Если ^ Е Ro и deg у < 2m, m > 2, то ^ Е R(y). Пусть теперь ^ Е Ro и deg у = 2m. Пусть у = f2 — yg2, (f, g) = 1 . Тогда f! ϕ
f2
f2 — yg2
Е R(y).
Можно считать, что ϕ — степень неприводимого многочлена четной степени. Действи-
тельно, если y = y1 • y2, (y1, ^2) = 1, то, разлагая дробь ^ в сумму дробей со знамена-
телями ϕ1 и ϕ2 , мы воспользуемся индукционным предположением. Таким образом, мы можем воспользоваться леммой 1. Выберем W 1 и ш 2 как в лемме 1 и положим ш = W 1 • W2.
Тогда (y,w) = 1. Согласно индукционному предположению t^-- , ^ Е R(y), а потому t k Е R(y), к = 0, 2m — 1. Отсюда f • t k Е R(y). Напомним, что (y, ш) = 1. Из разложения
f2t k ϕω
f k + g k
ϕω
и того, что g k Е R(y ) — как линейная комбинация многочленов ty , мы имеем f k Е
R(y), к = 0, 2m — 1. Далее, ^ = 1 Е R(y). С другой стороны, из леммы 2 следует, что многочлены fo, fi,..., f2m-1, y линейно независимы (и их степени 6 2m), поэтому ^, deg ^ 6 2m, является их линейной комбинацией, а потому ^ Е R(y).
-
(b) Пусть R — допустимое подкольцо. Согласно пункту (а) нашей теоремы R D Ro. Рассмотрим случай, когда R С Л (случай R * Л рассматривается аналогично).
Обозначим через S множество всех неприводимых многочленов входящих в знаменатели дробей из R. Так как R ⊇ R0 , то S ⊇ S0 .
Покажем, что R = S - 1(F q [t]) П Л. Очевидно, что R С S — 1(F q [t]) П Л. Докажем обратное включение. Если S = So, то доказывать нечего, поэтому пусть S ) So. Пусть p Е S — неприводимый многочлен нечетной степени. Для доказательства включения нам нужно показать, что всякая дробь P m , где deg f 6 deg p m , содержится в R. Действительно, кольцо R содержит дробь -h , где p | y 1 , (p, h) = 1, но тогда (R D Ro) кольцо R содержит дробь вида p h ϕ 1 0 , где ϕ0 ∈ S0 . Разлагая последнюю дробь в сумму дробей (заметим, что (p, yo) = 1) со знаменателями p и yo мы получим, что дробь вида h , а потому и дробь вида p h m , содержится в R (для некоторого h). Осталось показать, что p f m ∈ R для произвольного многочлена f , deg f 6 deg p m .
Пусть deg pm = n, yo Е So, (p, yo) = 1, deg yo > n. Тогда ^ Е R, k = 0,n — 1, а потому ph • ^.0 Е R. Имеем, далее, (yo,pm) = 1, htk
p m ϕ0
f k + g k
p m ϕ0
для всех k = 0, n — 1. Заметим, что (h,p) = 1. Из леммы 2 следует линейная независимость многочленов f0, f1, . . . , f n - 1,p m степень которых 6 n, а потому их линейная комбинация дает нам произвольный многочлен f , deg f 6 n. Ост алось заметить, что, так как ^ ^ Е Ro, то из (4) следует включение p m Е R, k = 0,n — 1, 1 = pp m Е R. Следовательно, p f m ∈ R. B
§ 3. Допустимые кольца
Как уже было показано (теорема 1), всякое допустимое кольцо R содержит подкольцо Ro. Точнее, R совпадает либо с R = S — 1 (F q [t]), либо R = S — 1 (F q [t]) П Л для S D So. В этом параграфе мы покажем (теорема 2), что всякое допустимое кольцо R отличное от R0 является областью главных идеалов, при этом идеал кольца R0 является либо главным, либо порождается двумя элементами. Если R = S — 1 (F q [t]), то кольцо R является кольцом главных идеалов (как кольцо частных области главных идеалов), поэтому, в дальнейшем в этом параграфе, мы предполагаем, что R = S — 1 (F q [t]) П Л, S D So.
Доказательство следующих двух лемм мы опускаем.
Лемма 3. Пусть M С S - 1(F q [t]) — R-модуль,
F = ff E F q [t] : g E M, (f,g)=1} .
Пусть НОД F = 1 . Тогда
-
а ) найдутся ^, ^ 2 E M такие, что (^1, ^2) = 1 ,
-
б) | E M для некоторого g E h S i -
- Замечание.Через hSi мы обозначим мультипликативное множество многочленов, порожденное множеством S , S ⊇ S0 .
Лемма 4. Пусть M С S - 1(F q [t]) — R-модуль, u, ui E M, u = 0 такие, что v (ui) > v(u) . Тогда для некоторого r E R имеем v(u i — ru) > v(ui) .
Введем обозначение
A k = Л к П S - 1(F q [t]).
Заметим, что Ao = R и A k является R-модулем для любого целого k.
Лемма 5. Пусть u E S - 1(F q [t]) , v(u) = l. Если s > l, s E Z, то
Ru + A s = A i .
<1 Пусть u1 E A i , v(u1) > l. Согласно лемме 4 мы можем подобрать Г1, Г2, ..., такие, что l = v(u) 6 v(u1) < v(u 1 — r 1 u) < v (u 1 — r 1 u — r 2 u) < . . .
Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим
v(u1 — r 1 u — r 2 u — . . . — r k u) > s.
Откуда следует, что u1 — ru E A s . Итак, A i С R u + A s . Обратное включение очевидно. B
Лемма 6. Пусть M С S - 1(F q [t]) — R-модуль, содержащий f l , g с условием (f1, f2) = 1 . Если v(M ) = min v(u) = l > —го , то M = A i .
u ∈ M
-
< Согласно лемме 2 дробь 1 E M для некоторого g. Пусть deg g = k. Тогда A k С M .
Действительно, пусть f E A k , тогда g f E R и f = gf • 1 E M .
Пусть u E M такой, что v(u) = l. Заметим, что k > l. Из леммы 4 следует
Ru + Ak = Ai, а так как Ru + Ak С M, то Ai С M. Обратное включение очевидно по определению числа l. B
Предложение. Пусть A ⊆ R — идеал кольца R. Тогда идеал A является либо главным, либо имеет вид A = uA 1 , где u E S - 1(F q [t]) и v(u) + 1 > 0 .
< Через fo и go обозначим НОД всех числителей и знаменателей соответственно
{ g:
f 0 f ∈ A g 0 g ∈ A .
дробей из A. Мы предполагаем, что A = (0). Тогда A = g 0 M , где M =
Согласно леммам 1 и 6 имеем M = Ai, где l = v(M). Отсюда A = uoAi, где uo = g0, причем v(uo) +1 > 0, так как A С R С Л. Далее, используя многочлены ш четной степени из So, в силу равенства wAi = Ai+2s, deg ш = 2s, мы получим что в случае, если l четно, то A = uAo = uR, u E R, если же l нечетно, то A = uA1, где v(u) + 1 > 0. B
Теорема 2. Всякое допустимое кольцо R , отличное от R0 , является областью главных идеалов. В кольце R0 всякий идеал является либо главным, либо порождается двумя элементами.
-
<1 Пусть A идеал кольца R, R = Ro. Как было отмечено в начале параграфа можно считать, что R = Л П S 1 (F q [t]), S 5 So. Тогда согласно предложению
A = uA1, где v(u) + 1 > 0, u G S-1(Fq [t]).
Так как S ) So, то пусть ш G S — неприводимый многочлен нечетной степени n, deg ш = n, пусть, далее, —o G So С S — многочлен четной степени n + 1, deg —o = n + 1. Тогда Ai = Ao = R,
—A = u——A1 = uR, A = —uR, где 2u G S-1(Fq[t]), v (2u) = v (2) + v(u) = 1 + v(u) > 0, а потому 2u G R.
Рассмотрим теперь идеалы кольца R 0 . Пусть A — идеал кольца R 0 , который не является главным. Согласно предложению тогда
A = uA 1 , v (u) + 1 > 0, u G S — 1(F q [t]).
Пусть u = f , где v(u) = k > — 1, ^o G h So i , deg ^o = 2l, deg f = 2l — k, k > — 1. Нетрудно проверить, что идеал A кольца R0 порождается двумя элементами. Точнее,
A = —Ai = fRo + f2^ Ro, ϕ0 ϕ ϕ где ^ G So, deg ^ = 2l + 2. B
§ 4. Подрешетка Lat (R, A)
Перейдем теперь к описанию подрешеток Lat(R, A), связанных с допустимыми парами.
В ходе описания мы используем [2] факторизацию промежуточных подгрупп H ∈ Lat(R, A), а именно представление H в виде
H=T• (A I)- где А = А(Н) 6 R*.
Согласно [2], роль наименьшей Fo и наибольшей F o подгрупп в подрешетке Lat(R, A) играют
Fo = T ‘ (a no(A)) , Fo = T ‘ (a Qo(A)) , где подгруппы Qo(A) и Qo(A) мультипликативной группы R* кольца R определяются следующим образом:
^o(A)
f (x,a) = (1 +
-
x α - µ α , x ∈ k, α ∈ A ,
x2 - µ x2 - µ
Qo = (0 g R* : 02 — 1 G A).
Очевидно, что
Q o (A) 6 A 6 Q0(A).
На множестве Lat(R, A) рассмотрим две унарные операции:
-
1) операция спуска:
Н ^ Н<1) = T H = h h - 1Th, h G H i — нормальное замыкание H (относительно T );
-
2) операция подъема:
H → H (1) = N g (H) — нормализатор H в группе G .
Операции допускают итерирование:
H(n) = ((H ) (п - 1) ) (1) , H ( n ) = (( h /n-D/i).
Теорема 3. Если стабильный ранг (s. r. R ) кольца R равен 1, то для любой подгруппы H G Lat(R, A) второе нормальное замыкание совпадает с наименьшей подгруппой подрешетки, Н<2) = F o .
C Обозначим через Но = T • ^A (1 + A)*^ промежуточную подгруппу из Lat(R, A).
Покажем, что нормальное замыкание любой подгруппы Н содержится в Но.
Пусть β γ ∈ H. Тогда [2]
(в •) (: ч (в:)'- b(G)
где 71 = 1 + 1 • + 2 л/х + , b G T .
'1 Y х 2 —ц y(x 2 — ^ ) ( x 2 - ^ ) y 2
Имеем Y1 G (1 + A), и, так как Y1 G R * , то Y1 G (1 + A) * . Таким образом,
A(1) =A(H(d) 6 (1 + A)*, и H(1) 6 Но-
Покажем теперь, что нормальное замыкание Но совпадает с F> Согласно [2], при условии s. r. R = 1 справедливо
A((H o ) (1) ) = Q o (A) • (1 + A) * 2-
Если y G (1 + A) * , то y 2 G Q o (A) [2].
Таким образом, (1 + A) * 2 С Q(A) и A((H o ) (1) ) С Q o (A) ^ (H o ) (1) = F o .
Осталось воспользоваться монотонностью операции спуска
H1 6 H2 ^ (Н1)(1) 6 (Н2)(1).
Имеем
(Н)<2) = (Н(1))<1) 6 (Н0)(1) = F0-
Откуда Н <2) = F o . B
Теорема 4. Если s. r. R = 1 , то второй нормализатор произвольной подгруппы из Lat (R, A) совпадает с наибольшей подгруппой подрешетки, (Н)<2) = F0 .
C Так как нормальное замыкание Н<1) = T H — наименьшая нормальная подгруппа в Н, содержащая тор, то Н 6 N g (H <1) ). В частности, из (H o ) <1) = F o следует Но 6 N g (F o ) , т. е. Но 6 F o (1) .
Далее, очевидно, что H1 6 F 0. Докажем обратное включение. Пусть
Ho1) = T • (A Л') , где Л 0 6 " (A).
Согласно [2],
Л = {0 G Q0(A) : g(x,0) G (1 + A)*} , где g(x, 0) = й^2x2 Л = 1 + • .
у \ / 6 2 (x 2 -^) x 2 -^ в 2
Отметим, что
-
-1/ \ (x2 — ^)02 М 0 - 2 — 1 ( a л-П
g (x,9) = (x0)2 — д = 1 + (x0)2 — д • 0 - 2 = g ^x90 ^ ■
Докажем, что Q0(A) 6 Л . Пусть y G Qo(A), тогда y 2 — 1 G A. Имеем
И Y2 — 1
g(x, y) = 1 +—2----• 2— G 1 + A, а значит g(x, 7) G (1 + A)* и Y G Л0. Таким образом, Л0 = Q0(A), следовательно, (Ho)(1) =
F 0. Осталось воспользоваться монотонностью операции подъема, H i 6 H2 ^ H(1) 6
H ^1 . Имеем
F 0 = (H o )(1) 6 (F 0 )(2) 6 (H)(2).
Из чего следует, что H (2) = F 0. B
Список литературы Промежуточные подгруппы в полной линейной группе второго порядка над полем рациональных функций, содержащие квадратичный тор
- Койбаев В. А. Подгруппы группы GL(2,Q), содержащие нерасщепимый максимальный тор//Докл. АН СССР.-1990.-Т. 312, № 1.-С. 36-38.
- Койбаев В. А. Подгруппы группы GL(2,k), содержащие нерасщепимый максимальный тор//Зап. науч. семинаров ПОМИ РАН.-1994.-Т. 211.-С. 136-145.
- Боревич З. И., Койбаев В. А. О кольцах множителей, связанных с промежуточными подгруппами, для квадратичных торов//Вестник СПбГУ. Сер. 1.-1993.-№ 2.-С. 5-10.
- Дзигоева В.С., Койбаев В.А. О ПОДГРУППАХ ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ СТЕПЕНИ 2 НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ НЕРАСЩЕПИМЫЙ ТОР //
- Вестник Северо-Осетинского государственного университета имени Коста Левановича Хетагурова. 1999. № 1. С. 22-23.
- Дзигоева В. С., Койбаев В. А. О подгруппах полной линейной группы степени 2 над полем рациональных функций, содержащих нерасщепимый тор//Вестник СОГУ.-1999.-№ 1.-С. 22-23.