Промежуточные подгруппы в полной линейной группе второго порядка над полем рациональных функций, содержащие квадратичный тор

§ 1. Введение

В рамках задачи исследования структуры подгрупп группы GL(2, к) над глобальным полем k, содержащих тор, соответствующий квадратичному расширению основного поля k [1], мы рассматриваем в данной работе случай, когда основное поле является полем рациональных функций.

Пусть k = F q (t) — поле рациональных функций от одной переменной t над конечным полем F q нечетной характеристики, K = к( ^ Д — квадратичное расширение поля к, где ' — неквадрат поля констант, ' G F * \ F * ². Рассмотрим регулярное вложение мультипликативной группы K * в группу всех к — линейных обратимых отображений Aut k (K )

K ^∗ α

^ Aut k (K ), 99K а,

где а — оператор умножения, ct(x') = ax, x G K . Образом вложения служит максимальный нерасщепимый тор T (квадратичный тор). Зафиксируем базис 1, ^ ^ поля K . Тогда тор T представляет собой подгруппу матриц вида

T ={ (У ?)

где (x, у) = (0, 0), x, y G к

,

в группе G = GL(2, к).

В настоящей работе дается описание решетки Lat(T, G) подгрупп H полной линейной группы G, содержащих T , т. е. решетки промежуточных подгрупп

Lat(T, G) = { H : T 6 H 6 G } .

Для каждой промежуточной подгруппы H , содержащей элементарную трансвекцию, определим модуль транвекций

A = A(H ) =

{° ^g k: C 0) ^g H}-

и кольцо множителей

R = R(H ) = { Д е k : ДА c A } .

Если A — подгруппа аддитивной группы поля k, R — кольцо множителей модуля А, то пара (R, А) называется допустимой, если существует промежуточная подгруппа H такая, что А = А(Н), R = R(H ). Подкольцо R поля к называется допустимым, если R = R(H ) для некоторой подгруппы H.

Согласно [2] решетка Lat(T, G) представляет собой

Lat(T, G) = {T} U {Ng(T)} U L, где L — дизъюнктное объединение подрешеток Lat(R, А) = {H Е Lat(T, H) : R(H) = R, А(Н) = А} по всем допустимым парам (R, А). Таким образом наша задача сводится к выявлению всех допустимых пар (R, А), а затем, описанию всех подрешеток Lat(R, А). Заметим, что для произвольного поля к нечетной характеристики, нормализатор Ng(T)

тора T совпадает с полупрямым произведением тора T и группы второго порядка, по-

(0 —У

рожденной матрицей

§ 2. Допустимые пары и допустимые кольца

В этом параграфе дается описание допустимых пар и допустимых колец.

Пусть S0 — множество всех неприводимых многочленов четной степени кольца F q [t]. Если S — некоторое множество неприводимых многочленов из F q [t], то через S ^{- 1}(F q [t]) мы обозначаем кольцо всех рациональных дробей, в знаменатели которых входят неприводимые многочлены из S и только они (кольцо частных). Далее, пусть v g) = d^eg g — deg f показатель нормирования. Для произвольного целого к положим

Л к = {f Е F q (t) : v(f) >  к^.

Ясно, что Л i • Л ^ = Л i+j , Л i D Л i +1, Ло = Л — кольцо полуправильных рациональных дробей.

Через R0 мы обозначаем подкольцо полуправильных рациональных дробей, в знаменатели которых входят неприводимые многочлены четной степени и только они:

Ro = S ^{— 1}(F q [t]) П Л.

Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:

• (а)    Пара (R, А) является допустимой тогда и только тогда, когда А — идеал кольца R , содержащего подкольцо R0 .

• (b)    Если R — допустимое кольцо, то либо R = S ^{- 1}(F _q [t]) , либо R = S ^{- 1}(F _q [t]) П Л для некоторого S ⊇ S0 . Справедливо и обратное утверждение.

Доказательству теоремы предпошлем следующие утверждения.

Лемма 1. Пусть у Е F q [t] , у — неприводимый многочлен четной степени, deg у = 2m >  4 . Тогда найдутся два неприводимых многочлена Ш 1 , Ш 2 четной степени, deg Л1 = 2m — 2 , deg л ₂ = 2 такие, что (у,л1) = (у, л ₂ ) = (ш1,ш ₂ ) = 1.

Доказательство леммы вытекает из того, что над любым полем нечетной характеристики найдется по крайней мере три различных унитарных неприводимых многочлена второй степени (например, (t + a)² — ^, а Е F q ).

Лемма 2. Пусть f, у Е Fq [t], (f, у) = 1, deg у > n. Пусть, далее, f • tk = fk ш + ygk

для некоторых f k , g k , ш Е F q [t] при всех k = 0, n — 1. Тогда многочлены f o , fi,... , f n - i , ϕ — линейно независимы.

• <1 Действительно, если

n - i

52 X k f k + Xy = 0,                              (2)

k=O то из (1) мы имеем n-i f      λktk k=0

= Ш

n - i

X k=0

^X k ^f k ^{+ X}У

n - i

λkgk - λω k=0

Тогда из (2)

n-i f Xλktk k=0

n - i

λkgk - λω k=0

Отсюда, так как (f, у) = 1, то

n - i

P k=0

λktk

^ . у, но deg у >  n, а потому

Отсюда и из (2) следует, что Ao = Xi = ... = X n - i = X = 0. B

fP X k tk) = 0. k=0

< Доказательство теоремы 1. (a) То, что A — идеал кольца R следует из [2]. Далее, согласно [2] достаточно показать, что кольцо Ro совпадает с кольцом у                   yg2

^RH = ring ^. .     )= ™g ^, f ^    [ t ] .

Всякий многочлен вида f² — yg², (f, g) = 1, представляет собой произведение неприводимых многочленов четной степени [5], следовательно, R(y) С Ro. Докажем обратное включение Ro С R(y).

Отметим в начале, что Fq С R(y). Действительно, y Е R(y) [3], далее, ring ( 1,У, у1у )

z - µ z _{∈ F}

С R(y). Отсюда ring 1, y, F _q ² С R(y), а потому F _q С R(y).

Пусть теперь ^ Е Ro. Докажем включение ^ Е R(y) индукцией по deg у. Пусть deg у = 2. Согласно [5] у = f² — yg² для некоторых f, g, Е F q [t], (f, g) = 1.

С другой стороны

f 2

f² — yg²,

g2

f² — yg²,

fg

f² — yg²

содержатся в R(y). Так как deg ^ 6 deg у, то степени многочленов f2, g2, fg не превосходят 2 и эти многочлены линейно независимы, следовательно, ^ Е R(y). Индукционное предположение состоит в следующем. Если ^ Е Ro и deg у < 2m, m > 2, то ^ Е R(y). Пусть теперь ^ Е Ro и deg у = 2m. Пусть у = f2 — yg2, (f, g) = 1 . Тогда f! ϕ

f2

f² — yg²

Е R(y).

Можно считать, что ϕ — степень неприводимого многочлена четной степени. Действи-

тельно, если y = y1 • y2, (y1, ^2) = 1, то, разлагая дробь ^ в сумму дробей со знамена-

телями ϕ1 и ϕ2 , мы воспользуемся индукционным предположением. Таким образом, мы можем воспользоваться леммой 1. Выберем W 1 и ш ₂ как в лемме 1 и положим ш = W 1 • W2.

Тогда (y,w) = 1. Согласно индукционному предположению t^-- , ^ Е R(y), а потому t k Е R(y), к = 0, 2m — 1. Отсюда f • t k Е R(y). Напомним, что (y, ш) = 1. Из разложения

f²t ^k ϕω

f k + g k

ϕω

и того, что g k Е R(y ) — как линейная комбинация многочленов ty , мы имеем f k Е

R(y), к = 0, 2m — 1. Далее, ^ = 1 Е R(y). С другой стороны, из леммы 2 следует, что многочлены fo, fi,..., f2m-1, y линейно независимы (и их степени 6 2m), поэтому ^, deg ^ 6 2m, является их линейной комбинацией, а потому ^ Е R(y).

• (b) Пусть R — допустимое подкольцо. Согласно пункту (а) нашей теоремы R D Ro. Рассмотрим случай, когда R С Л (случай R * Л рассматривается аналогично).

Обозначим через S множество всех неприводимых многочленов входящих в знаменатели дробей из R. Так как R ⊇ R0 , то S ⊇ S0 .

Покажем, что R = S ^{- 1}(F q [t]) П Л. Очевидно, что R С S ^— 1(F q [t]) П Л. Докажем обратное включение. Если S = So, то доказывать нечего, поэтому пусть S ) So. Пусть p Е S — неприводимый многочлен нечетной степени. Для доказательства включения нам нужно показать, что всякая дробь P m , где deg f 6 deg p m , содержится в R. Действительно, кольцо R содержит дробь -h , где p | y ₁ , (p, h) = 1, но тогда (R D Ro) кольцо R содержит дробь вида _p ^h _ϕ ¹ ₀ , где ϕ0 ∈ S0 . Разлагая последнюю дробь в сумму дробей (заметим, что (p, yo) = 1) со знаменателями p и yo мы получим, что дробь вида h , а потому и дробь вида _p ^h m , содержится в R (для некоторого h). Осталось показать, что _p ^f m ∈ R для произвольного многочлена f , deg f 6 deg p ^m .

Пусть deg pm = n, yo Е So, (p, yo) = 1, deg yo > n. Тогда ^ Е R, k = 0,n — 1, а потому ph • ^.0 Е R. Имеем, далее, (yo,pm) = 1, htk

p ^m ϕ0

^f k + g k

p ^m   ϕ0

для всех k = 0, n — 1. Заметим, что (h,p) = 1. Из леммы 2 следует линейная независимость многочленов f0, f1, . . . , f _{n -} 1,p ^m степень которых 6 n, а потому их линейная комбинация дает нам произвольный многочлен f , deg f 6 n. Ост алось заметить, что, так как ^ ^ Е Ro, то из (4) следует включение p m Е R, k = 0,n — 1, 1 = pp m Е R. Следовательно, _p ^f m ∈ R. B

§ 3. Допустимые кольца

Как уже было показано (теорема 1), всякое допустимое кольцо R содержит подкольцо Ro. Точнее, R совпадает либо с R = S ^{— 1} (F q [t]), либо R = S ^{— 1} (F q [t]) П Л для S D So. В этом параграфе мы покажем (теорема 2), что всякое допустимое кольцо R отличное от R0 является областью главных идеалов, при этом идеал кольца R0 является либо главным, либо порождается двумя элементами. Если R = S ^{— 1} (F q [t]), то кольцо R является кольцом главных идеалов (как кольцо частных области главных идеалов), поэтому, в дальнейшем в этом параграфе, мы предполагаем, что R = S ^{— 1} (F q [t]) П Л, S D So.

Доказательство следующих двух лемм мы опускаем.

Лемма 3. Пусть M С S ^{- 1}(F q [t]) — R-модуль,

F = ff E F q [t] : g E M, (f,g)=1} .

Пусть НОД F = 1 . Тогда

• а )    найдутся ^, ^ 2 E M такие, что (^1, ^2) = 1 ,

• б)    | E M для некоторого g E h S i -

• Замечание.Через hSi мы обозначим мультипликативное множество многочленов, порожденное множеством S , S ⊇ S0 .

Лемма 4. Пусть M С S ^{- 1}(F _q [t]) — R-модуль, u, ui E M, u = 0 такие, что v (ui) >  v(u) . Тогда для некоторого r E R имеем v(u i — ru) > v(ui) .

Введем обозначение

A k = Л к П S ^{- 1}(F q [t]).

Заметим, что Ao = R и A k является R-модулем для любого целого k.

Лемма 5. Пусть u E S ^{- 1}(F _q [t]) , v(u) = l. Если s > l, s E Z, то

Ru + A s = A i .

<1 Пусть u1 E A i , v(u1) >  l. Согласно лемме 4 мы можем подобрать Г1, Г2, ..., такие, что l = v(u) 6 v(u1) <  v(u 1 — r 1 u) < v (u 1 — r 1 u — r ₂ u) < . . .

Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим

v(u1 — r 1 u — r ₂ u — . . . — r k u) >  s.

Откуда следует, что u1 — ru E A s . Итак, A i С R u + A s . Обратное включение очевидно. B

Лемма 6. Пусть M С S ^{- 1}(F _q [t]) — R-модуль, содержащий f l , g с условием (f1, f2) = 1 . Если v(M ) = min v(u) = l >  —го , то M = A i .

u ∈ M

• < Согласно лемме 2 дробь 1 E M для некоторого g. Пусть deg g = k. Тогда A k С M .

Действительно, пусть f E A k , тогда g f E R и f = gf • 1 E M .

Пусть u E M такой, что v(u) = l. Заметим, что k >  l. Из леммы 4 следует

Ru + Ak = Ai, а так как Ru + Ak С M, то Ai С M. Обратное включение очевидно по определению числа l. B

Предложение. Пусть A ⊆ R — идеал кольца R. Тогда идеал A является либо главным, либо имеет вид A = uA 1 , где u E S ^{- 1}(F _q [t]) и v(u) + 1 >  0 .

< Через fo и go обозначим НОД всех числителей и знаменателей соответственно

{ g:

f 0 f _{∈ A g 0 g} ∈ A .

дробей из A. Мы предполагаем, что A = (0). Тогда A = g 0 M , где M =

Согласно леммам 1 и 6 имеем M = Ai, где l = v(M). Отсюда A = uoAi, где uo = g0, причем v(uo) +1 > 0, так как A С R С Л. Далее, используя многочлены ш четной степени из So, в силу равенства wAi = Ai+2s, deg ш = 2s, мы получим что в случае, если l четно, то A = uAo = uR, u E R, если же l нечетно, то A = uA1, где v(u) + 1 > 0. B

Теорема 2. Всякое допустимое кольцо R , отличное от R0 , является областью главных идеалов. В кольце R0 всякий идеал является либо главным, либо порождается двумя элементами.

• <1 Пусть A идеал кольца R, R = Ro. Как было отмечено в начале параграфа можно считать, что R = Л П S ¹ (F q [t]), S 5 So. Тогда согласно предложению

A = uA1, где v(u) + 1 > 0, u G S-1(Fq [t]).

Так как S ) So, то пусть ш G S — неприводимый многочлен нечетной степени n, deg ш = n, пусть, далее, —o G So С S — многочлен четной степени n + 1, deg —o = n + 1. Тогда Ai = Ao = R,

—A = u——A1 = uR, A = —uR, где 2u G S-1(Fq[t]), v (2u) = v (2) + v(u) = 1 + v(u) > 0, а потому 2u G R.

Рассмотрим теперь идеалы кольца R 0 . Пусть A — идеал кольца R 0 , который не является главным. Согласно предложению тогда

A = uA 1 , v (u) + 1 >  0, u G S — 1(F _q [t]).

Пусть u = f , где v(u) = k >  — 1, ^o G h So i , deg ^o = 2l, deg f = 2l — k, k >  — 1. Нетрудно проверить, что идеал A кольца R0 порождается двумя элементами. Точнее,

A = —Ai = fRo + f2^ Ro, ϕ0 ϕ ϕ где ^ G So, deg ^ = 2l + 2. B

§ 4. Подрешетка Lat (R, A)

Перейдем теперь к описанию подрешеток Lat(R, A), связанных с допустимыми парами.

В ходе описания мы используем [2] факторизацию промежуточных подгрупп H ∈ Lat(R, A), а именно представление H в виде

H=T• (A I)- где А = А(Н) 6 R*.

Согласно [2], роль наименьшей Fo и наибольшей F ^o подгрупп в подрешетке Lat(R, A) играют

Fo = T ‘ (a no(A)) ,    Fo = T ‘ (a Qo(A)) , где подгруппы Qo(A) и Qo(A) мультипликативной группы R* кольца R определяются следующим образом:

^o(A)

f (x,a) = (1 +

• ^x α - µ        α , x ∈ k, α ∈ A ,

x² - µ          x² - µ

Q^o = (0 g R* : 02 — 1 G A).

Очевидно, что

Q _o (A) 6 A 6 Q⁰(A).

На множестве Lat(R, A) рассмотрим две унарные операции:

• 1)    операция спуска:

Н ^ Н<1) = T ^H = h h ^{- 1}Th, h G H i — нормальное замыкание H (относительно T );

• 2)    операция подъема:

H → H ⁽¹⁾ = N g (H) — нормализатор H в группе G .

Операции допускают итерирование:

H(n) = ((H ) (п - 1) ) (1) , H ^{( n )} = (( h /n-D/i).

Теорема 3. Если стабильный ранг (s. r. R ) кольца R равен 1, то для любой подгруппы H G Lat(R, A) второе нормальное замыкание совпадает с наименьшей подгруппой подрешетки, Н<2) = F o .

C Обозначим через Но = T • ^A (1 + A)*^ промежуточную подгруппу из Lat(R, A).

Покажем, что нормальное замыкание любой подгруппы Н содержится в Но.

Пусть _{β γ} ∈ H. Тогда [2]

(в •) (: ч (в:)'- b(G)

где ₇₁ = 1 +    ¹ •       ₊ ² л/^х ₊          , b G T .

'1             Y      х 2 —ц y(x ² — ^ ) ( x ² - ^ ) y ²

Имеем Y1 G (1 + A), и, так как Y1 G R * , то Y1 G (1 + A) * . Таким образом,

A(1) =A(H(d) 6 (1 + A)*, и H(1) 6 Но-

Покажем теперь, что нормальное замыкание Но совпадает с F> Согласно [2], при условии s. r. R = 1 справедливо

A((H o ) (1) ) = Q o (A) • (1 + A) * ²-

Если y G (1 + A) * , то y ² G Q o (A) [2].

Таким образом, (1 + A) * ² С Q(A) и A((H o ) (1) ) С Q o (A) ^ (H o ) (1) = F o .

Осталось воспользоваться монотонностью операции спуска

H1 ⁶ H2 ^ ^(Н1)(1) ^{6 (Н}2)(1).

Имеем

^(Н)<2) = ^(Н(1))<1) 6 ^(Н0)(1) = F0-

Откуда Н <2) = F o . B

Теорема 4. Если s. r. R = 1 , то второй нормализатор произвольной подгруппы из Lat (R, A) совпадает с наибольшей подгруппой подрешетки, (Н)<²⁾ = F⁰ .

C Так как нормальное замыкание Н<1) = T H — наименьшая нормальная подгруппа в Н, содержащая тор, то Н 6 N g (H <1) ). В частности, из (H o ) <1) = F o следует Но 6 N g (F o ) , т. е. Но 6 F _o ⁽¹⁾ .

Далее, очевидно, что H1 6 F ⁰. Докажем обратное включение. Пусть

Ho¹) = T • (A Л') , где Л 0 6 " (A).

Согласно [2],

Л = {0 G Q0(A) : g(x,0) G (1 + A)*} , где g(x, 0) = й^2x2 Л = 1 +      •     .

у \      /     6 2 (x ² -^)          x ² -^    в ²

Отметим, что

• -1/    \    (x² — ^)0²            М      0 ^{- 2} — 1      ( a л-П

g ⁽x^,9) = (x0)² — д = ^{1 +} (x0)² — д • 0 - ² = g ^x⁹⁰ ^ ■

Докажем, что Q⁰(A) 6 Л . Пусть y G Q^o(A), тогда y ² — 1 G A. Имеем

И    Y² — 1

g(x, y) = 1 +—2----• 2— G 1 + A, а значит g(x, 7) G (1 + A)* и Y G Л0. Таким образом, Л0 = Q0(A), следовательно, (Ho)(1) =

F ⁰. Осталось воспользоваться монотонностью операции подъема, H i 6 H2 ^ H⁽¹⁾ 6

H ^¹ . Имеем

F ⁰ = (H _o )⁽¹⁾ 6 (F ₀ )⁽²⁾ 6 (H)⁽²⁾.

Из чего следует, что H ⁽²⁾ = F ⁰. B