Проницаемость двумерной пористой среды из волокон квадратного сечения (ячеечная модель)

DOI:

При математическом моделировании фильтрационных задач движения жидкости сквозь пористые среды зачастую используют уравнение для усредненной (фильтрационной) скорости, полученное на основе эмпирического закона Дарси. Более точный микроскопический анализ течения сквозь пористую среду — задача сложная и требует дополнительных упрощений: линеаризации гидродинамических уравнений, предположения об одинаковости размеров частиц, пренебрежения броуновским движением и др. [3; 7]. Важным макроскопическим параметром, определяющим характер течения и результирующее гидравлическое сопротивление, является коэффициент проницаемости, зависящий от пористости среды, структуры порового пространства, физико-химических свойств материала среды.

В настоящей работе решена задача о течении вязкой несжимаемой жидкости сквозь пористую среду, моделируемую совокупностью одинаковых стержней квадратного поперечного сечения. Такая задача может быть сведена к задаче обтекания одиночного стержня в рамках ячеечной модели [7], то есть решается краевая задача о течении в жидкой оболочке, окружающей одиночный стержень. При этом пористость для отдельной ячейки совпадает со средней пористостью всей моделируемой проницаемой среды.

Этот метод может быть эффективно применен к сравнительно концентрированным системам (с объемной долей твердых включений ф ~ 0 , 5 ^ 0 , 6). Ячеечные модели дают удовлетворительное приближение к усредненной картине течения вблизи твердых частиц в реальной физической системе, но, тем не менее, нельзя рассчитывать на то, что они хорошо описывают гидродинамические поля вблизи воображаемых границ ячеек. Вопрос о выборе формы и размеров жидкой ячейки, а также условий на ее границе, остается открытым и до сих пор привлекает исследователей (например, [15]).

Проведено сопоставление результатов, полученных в данной работ, с аналитическими [9; 11], полуаналитическими [10; 13; 14], расчетными [8; 12] и экспериментальными [13] данными других авторов, определены наиболее оптимальные аналитические зависимости для коэффициента проницаемости системы квадратных стержней в различных диапазонах объемной концентрации частиц.

1.    Поперечное обтекание квадратного стержня (ячеечная модель)

Рассматривается стационарное двумерное однородное течение несжимаемой ньютоновской вязкой жидкости со средней скоростью U через ячейку квадратного сечения размера 2ЬН с расположенным в ее центре квадратным включение (стержнем) размера 2аН (см. рис. 1). Свяжем с жидкой ячейкой декартову систему координат: ось Ох в направлении скорости U , ось Оу перпендикулярно ей, ось Ох поперек потоку и вдоль образующих стержня. После обезразмеривания пространственных переменных х и у на Н , компонент скорости и , х на U и давления р на p U/Н (где ^ — коэффициент динамической вязкости жидкости) система уравнений движения в приближении Стокса примет вид

A v = V p, V- v = 0 . (1)

На поверхности включения задаются граничные условия прилипания v = 0; на границах жидкой ячейки — условия Хаппеля: непроницаемости (равенства нулю нормальной компоненты скорости х _п = 0) и равенства нулю касательного напряжения т = 0.

Исключая из системы (1) давление р и учитывая двумерность постановки, задача сводится к бигармоническому уравнению на функцию тока

AA ^ = 0 . (2)

Линейность уравнения движения, а также симметрия постановки задачи позволяют ограничить рассмотрение четвертью ячейки (х, у) G [0,6] х [0,6] (см. рис. 2). Краевые условия для функции тока на границах расчетной области будут следующими. Условия прилипания на твердой поверхности включения:

ф(с,у) = 0,  фж(с, у) = 0,      0 < у < ° (с = ь - °)(3)

ф(х, а) = 0,   ф^(х, а) = 0, с < х < Ь.(4)

Симметрия относительно у = 0 и х = Ь приводит к условиям:

ф(х, 0) = 0,  фуу (х, 0) = 0,      0 < х < с,(5)

фж(Ь, у) = 0,   фжжж(Ь, у) = 0,       а < у < Ь.(6)

Граничные условия на поверхности жидкой ячейки:

Ф(0, у) = у/Ь,  фжж(0, у) = 0,      0 < у < Ь,(7)

ф(х, Ь) = 1,   фуу(х, Ь) = 0,       0 < х < Ь.(8)

Для наглядности условия (3)–(8) вынесены на рисунок 2.

0 xp=O -ф^—0 с

Рис. 1. Жидкая ячейка с твердым включением

Рис. 2. Расчетная область

Рис. 3. Линии тока при ф = 0,1

2.    Функция тока и сила сопротивления

Краевая задача для функции тока решена численно с помощью симметричной конечно-разностной аппроксимации бигармонического уравнения (2) и граничных условий (3)-(8) второго порядка точности [1]. Для достижения абсолютной ошибки 10 ^-3 гидродинамических полей разбиение расчетной области обычно проводилось на 300 отрезков по каждому направлению. Система разностных уравнений решена методом последовательной верхней релаксации с параметром релаксации 1 , 5 <  ш <  2 , 0. Расчеты представлены для широкого диапазона концентрации твердых включений ф = а ² /Ь ² = = 0 , 001 -У 0 , 8. Характерная картина линий тока изображена на рисунке 3.

По функции тока находим распределение давления в рассматриваемой области. Поскольку р _ж = (А ф ) ^ , р _у = — (А ф ) _ж , то, полагая р(0,у ) = 0, получаем

ж

Р ⁽ х,у ) = ^ф жу

^{( х,}у ^{) +} У

ф ууу ( t у ) d t

Сила сопротивления (обезразмеренная на pUH) для четверти стержня равна сумме, проинтегрированных по соответствующим площадкам, нормального напряжения на левой границе (ж = с, 0 < у < а) и касательного напряжения на верхней границе (у = а, с < ж < Ь)

¹ F

4 ^ж

а j [-Р(с, у) 0

ь

+ 2 ф у ( с, у )] dy + j [ ф уу ( ж, а )

С

- ф _жж ( ж, а )] dж =

а

С

-

I Ф (с, у) -J

Ф ууу ( ж, у ) dж

ь dУ + ^ [фуу (ж,а)

С

- ф_га ( ж,а )] dж.

Из условий прилипания на твердых границах (3), (4) следует ф _жу (с,у) = 0 при 0 <  <   у <  а , ф^( ж, а ) = 0 при с <  ж <  Ь , а из условия симметрии (5) ф _уу ( ж, 0) = 0 при 0 <  ж <  с , тогда выражение для силы сопротивления будет следующим

F = 4

ь

I ^ф уу ^{( ж,а )} 0

dж.

То есть расчет силы сопротивления твердого включения сводится к интегрированию касательного напряжения на уровне у = а .

3.    Проницаемость системы квадратных стержней

В рамках ячеечной модели сила сопротивления, отнесенная к площади жидкой ячейки, численно равна падению давления на длине L, обусловленному протеканием жидкости сквозь систему включений

F ,   Л"

Ь 2 = L .

Полагая объемную долю φ твердого включения в жидкой ячейке равной объемной доли твердой фазы во всей совокупности включений и объединяя полученное выражение для силы сопротивления с законом Дарси, получим выражение для коэффициента проницаемости системы стержней (обезразмерен на Н 2 )

А = 1

а ²    F^ .

На рисунке 4 изображена зависимость проницаемости квадратных стержней к ₈ /а², полученной численно по формуле (10) в рамках ячеечной модели «квадрат в квадрате», от проницаемости круговых стержней k _c /R 2 (R — радиус поперечного сечения круговых стержней), задаваемой аналитически [7], в рамках ячеечной модели «круг в круге». Сопоставление проведено в широком диапазоне концентрации φ и замечено, что при 0 , 1 < Ф <  0 , 6 эта зависимость линейная [2]

^ 1 = 1 ^к с = 11 A_n 1 - 1 - Ф 2

а ²    а ² R ² а ² 8 ф ф 1 + ф ²

где коэффициент пропорциональности а ² « п / 4 получен методом наименьших квадратов и равен отношению площадей кругового и квадратного сечения одинакового размера.

В работах [4–6] проведено прямое численное моделирование течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале, частично заполненном регулярной решеткой квадратных стержней. В качестве вспомогательного результата рассчитаны значения проницаемости такой системы стержней путем усреднения микроскопических гидродинамических полей. В ходе сравнения полученных данных для квадратных стержней с имеющимися в литературе данными для круговых стержней обнаружено, что для разреженной системы введением коэффициента формы σ2 можно использовать аналитическую зави- симость

A = AA;flnZ - 1 , 476 + 2ф) , ф <  0 , 2 ,               (12)

а2   о2 8ф \ ф              / полученную методом сингулярностей для круговых цилиндров [11]. Справедливость этой формулы для круговых цилиндров подтверждается рядом исследований и для более плотных упаковок (ф < 0, 6) [10; 12; 13].

Отметим, что для разреженной системы волокон тип их упаковки (квадратная, треугольная или гексагональная) практически не влияет на проницаемость [11; 13; 14]. В случае стесненного расположения твердых включений влияние упаковки уже более существенно, что связано с различием извилистости поровых каналов.

Для умеренно разреженных решеток волокон хорошей аппроксимацией является полуэмпирическая формула Кармана — Козени к = (1 - ф )Н2_ь/с _к , где Н и = ( 6 2 — а ² ) / 2 а — гидравлический радиус жидкой ячейки, с коэффициентом Козени с _к , рассчитанным на основе ячеечной модели Хаппеля двух концентрических круговых цилиндров [7]. Некоторые исследователи [8; 13] отмечают, что ячеечная модель дает завышенные значения проницаемости по сравнению с их данными. Для стержней квадратного сечения наблюдается такая же картина. Использование корректирующего множителя 1 / о ² [5] вносит ошибку более 25 % в вычисление проницаемости. С целью уменьшения этой ошибки следует использовать меньший коэффициент 8 / 9 [6]

к а ²

-1- 6n1 — 1 —ф

9 φ φ 1 + φ ²

0 , 1 <  ф <  0 , 6 .

Для больших значений объемной концентрации коэффициент Козени ск следует брать равным 6 из интервала 4,5 < ск < 6, соответствующего экспериментальным данным для реальных пористых сред [7]. Выражение для проницаемости тогда примет вид к а2

(1 - φ ) ³ 24 φ ²

0 , 6 6 ф <  0 , 8 .

На рисунке 5 представлены значения коэффициента проницаемости к/а ² , полученные в результате прямого численного моделирования. Данные практически совпадают с данными Ванга [14] для проницаемости бесконечной упорядоченной совокупности квадратных стержней, полученной с использованием полуаналитического метода коллокации для функции тока.

Таким образом, формулы (12)–(14) дают хорошее приближение для коэффициента проницаемости системы квадратных стержней, в то время как ячеечная модель с условиями Хаппеля на границе жидкой ячейки дает завышенные значения проницаемости по сравнению с прямыми численными расчетами.

Рис. 4. Проницаемости системы квадратных k _s /a² и круговых k _c /R² стержней, вычисленные по ячеечной модели ( • ), и линейная зависимость (11) ( сплошная линия )

Рис. 5. Проницаемость системы квадратных стержней. Точки — численные значения: ( о ) — прямые численные расчеты [4-6]; ( + ) — работа [14]; ( о ) — работа [8] для ф 6 0 , 85 . Кривые: 1 — формула (12) для ф 6 0 , 1 ; 2 — формула (11) с коэффициентом формы с ² = п / 4 для 0 , 1 <  ф <  0 , 6 ; 3 — формула (13) для 0 , 1 <  ф <  0 , 6 ; 4 — формула (14) для 0 , 6 6 ф <  0 , 8 ; 5 — работа [14] для ф <  0 , 03 ; 6 — работа [14] для ф >  0 , 6

Заключение

В работе предложены зависимости для коэффициента проницаемости модельной пористой среды с волокнами (стержнями) квадратного сечения в широком диапазоне объемной концентрации включений. Несмотря на значительное различие формы поперечных сечений (квадрата и круга), обнаружено, что для вычисления проницаемости системы квадратных стержней могут быть использованы те же зависимости, что и для круговых цилиндров, но требуются некоторые корректирующие коэффициенты, учитывающие различия формы поперечного сечения. Полученные аппроксимационные выражения могут быть полезны в дальнейшем при решении макроскопических фильтрационных задач обтекания волокнистых пористых сред.