Прощелкивание неоднородной по толщине нелинейно-упругой пологой арки
Автор: Фатуллаева Лаура Фаик Кызы
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.7, 2005 года.
Бесплатный доступ
В геометрически нелинейной постановке предлагается вариационный метод смешанного типа для определения напряженно-деформируемого состояния. В качестве примера дается постановка и указывается способ решения задачи об устойчивости неоднородной по толщине упругой пологой арки.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318149
IDR: 14318149
Текст научной статьи Прощелкивание неоднородной по толщине нелинейно-упругой пологой арки
Статья посвящается столетнему юбилею выдающегося математика С.М. Никольского
В геометрически нелинейной постановке предлагается вариационный метод смешанного типа для определения напряженно-деформируемого состояния. В качестве примера дается постановка и указывается способ решения задачи об устойчивости неоднородной по толщине упругой пологой арки.
-
1. Введение
-
2. Задача устойчивости неоднородной по толщине пологой арки
© 2005 Фатуллаева Л. Ф.
Создание и широкое применение в технике, машиностроении, станкостроении, авиастроении и т. д. композитных материалов приводит к необходимости определения напряженно-деформируемого состояния (НДС) в средах, изготовленных из различных, нелинейно-упругих материалов, сопряженных между собой посредством полного сцепления либо посадки. Когда тело имеет сложную пространственную конфигурацию, составлено из нескольких частей, деформации конечны, а распределение внешних нагрузок имеет довольно сложный вид, возникают большие трудности математического характера. Это обстоятельство связано с тем, что теоретические исследования в этой области приводят к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений равновесия в частных производных с разрывными коэффициентами при нелинейных краевых условиях. Получение здесь точных решений весьма затруднительно, иногда, даже невозможно. Поэтому первостепенное значение приобретает развитие приближенных, в частности, вариационных методов.
В этой связи здесь разработан вариационный принцип смешанного типа для определения НДС тел, составленных из конечного числа элементов. Эффективность предложенного метода иллюстрируется на примере решения задачи прощелкивания линейноупругой кусочно-неоднородной по толщине пологой арки, шарнирно опертой по концам, которая подвержена равномерно распределенной вертикальной нагрузке.
Допустим, что имеем шарнирно опертую на двух концах пологую арку, ось которой образована дугой синусоиды ш = с sin(nz/l).
Сечение арки предполагается прямоугольным с высотой 2h и шириной b. Положим теперь, что арка, имеющая пролет l и стрелу подъема с о , составлена из n чередующихся различных по толщине слоев с различными модулями упругости E k+i [k = 0,1,..., (n - 1)]. Будем считать, что в каждом слое модуль упругости зависит от поперечной координаты у, т. е. E k+i = E k+i (у). Толщину каждого слоя обозначим через 5 k+i , n — 1
причем ^2 ^ k+i = 2h.
k=0
Запишем уравнение состояния для пакета в целом в виде одного равенства [1]:
v af E k+i (y)V
a ^m^
k k+1 -h + X у §i 6 у 6 - h + X у ^i (^o = 0), k = 0, 1,..., (n - 1), i=0 i=0 где m — коэффициент нелинейности, принимающий только четные значения.
В дальнейшем ограничимся моделью линейной упругости, т. е. когда
m
= 0. Арка несет равномерно распределенную вертикальную нагрузку интенсивности q . В этом случае функционал имеет вид [1]:
J =
bjj^ +
2
■: dydz
-2/Е / Г'? + /
dz,
—
h 0 0
k
=
0
a
k
0
где k ak = -h + У^ §i, i=0
k+1
a
k+i
=
-h
+ У^
§
i
-
i=0
Запятая в нижнем индексе означает частное дифференцирование по продольной координате z, а точка над буквой — дифференцирование по q, т. е. q = 1. Вследствие закона плоских сечений запишем
Ё
= U
,z
+ Ш
,z
Ш
,z
-
?Ш
,zz
Чтобы найти стационарные значения функционала (1), используем метод Релея — Ритца. Аппроксимирующие функции запишем следующим образом: u = 0,
a
= E
i
ш
=
nc
0
sin
(zp, ,
(a
0
+a
v
(2?)+
va
v
(
h
)),
где
a
V
= a
i
sin(nz/l),
a
V
=
03
sin(nz/l), или в скоростях
lD
= 77 C
0
sin
πz
l
2–88 Л. Ф. Фатуллаева a = E;
(T
0
+ T
v
(ly ) + '
v
(ly ) )'
Подставляя (2)–(7) в функционал (1) и введя следующие обозначения ak+1 , ф, = XX ^ i = 0,...,4,
E
k+1
k=0
a
k
после интегрирования, получим следующую формулу для функционала:
J
=
b
hE
;
n
c^
o
n^. + 16
vbhE
;
c
o
na
2
П?7 + 2
bh
2
E
;
^conГт
;
+
bhE
;
a
o
c
0
n
2
l
9
l
3
l 2l
+ 8
bhvE
;
П c^rn
2
-
9
l
bl bl
4
bl
- E
2
a
2
ф
0
-
2^
2
E^
2
a
2
-
h
_
Ev2
ф
4
Г
2
- 8lb • nh2 vE;Ф2aoa2 -
4l
^2- ж ■
4bl . . . , . 2l — bE
хао
Ф
;
Г
;
- —г
vE
хФз
Г
;
Г
2
+
nco —
.
πh h
3
π
Далее, варьируя J по ту,
Гт
о
,
ст
;
,
ст
2
, и интегрируя полученные формулы при начальных условиях
n(0) = 1, a
o
(O) = a
;
(0) = a
2
(0) = 0,
получаем следующую систему четырех уравнений:
n
3
\
2
^a
o
n
+ 1.8n
2
A
2
v^a
2
n + 0.7n
3
A
2
a
;
+ 2т = 0,
^
o
r
o
+ 4п
-1
^
;
Т
;
+ 8n
-
1
V^
2
Т
2
= 0.5п
2
А
2
£
2
(п
2
-
1) ,
4п-;^1 ao + ф2Т; + 4v^3T2 = 0.7п2А2£ (n - 1) , n-1v^2ao + 0.5v^3a; + v2^4a2 = 0.1nA2v£2 (n2 - 1) .
Исключая из последней системы σ
0
, σ
1
, σ
2
, приходим к следующему алгебраическому уравнению для определения η:
15.48A
2
^a
o
n + 8.87A
2
v^a
2
n
+ 10.84A
2
a
;
+
т
= 0,
где
c
0
h q E
1
e = X’ A = 7’ т =
E
i
b
’ y
o
= T Ф
o
’
^
1
= E ф
;
, ^
2
= E ф
2
, ^
3
= E ф
3
, ^
4
= E ф
4
,
°о
= —
—rr(4-93(ad
—
bc)A
2
£
2
(n
2
-
1)
-
6
-
9
^
i
^
2
£A
2
a(n
-
1) ^
o
(ad
—
bc)
+ 1.26^
1
A
2
^
2
a(n
2
—
1) + 6.26y
1
A
2
£
2
c(n
2
—
1)
—
6
.
9
^
o
^
i
£A
2
c(n
—
1)
—
12.57v^
1
^
2
A
2
^
2
d(n
2
—
1) + 13.85v^
o
^
2
A2^d(n
—
1)
+ 13.85v^
2
A
2
£b(n
—
1)
—
2.52v^
1
^
2
A
2
£
2
b(n
2
—
1)),
0
1
= ,
, 1 , x
(5.43^A
2
^
2
a(n
—
1)
—
0.99A
2
^
2
^
i
a(n
2
—
1) (ad
—
bc)
—
4.93A
2
^
2
y
i
c(n
2
—
1) + 5.43A
2
^^
o
c(n
—
1)),
0
2
=
z ,1 , x
(4-93£
2
A
2
nd(n
2
—
1)
—
5.43A
2
e^
o
d(n
—
1) (ad
—
bc)
—
5.43A
2
^^
2
b(n
—
1) +
0.99A
2
<
2
v
i
b(n
2
—
1))-
a = 2-55v^1^2 — 3-14v^o^3, b = 1-27^1 — O-79^o^2, c = 3-14v^2^3 — 3-14v^1^4, d = 0-79^2 — 1-57^1^3- Из (8) следует, что τ как функция η принимает экстремальное значение при dT = 0-
При достижении критического значения безразмерной нагрузки η
кр
происходит хлопок. Величина этой критической нагрузки находится по формуле (8), если внести в нее значение η
кр
, получаемое формулой (9). Дальнейшее связано с заданием числа слоев n и последовательным решением полученных уравнений.
Таким образом, задача устойчивости упругой пологой арки сводится к решению алгебраического уравнения.
Список литературы Прощелкивание неоднородной по толщине нелинейно-упругой пологой арки
- Амензаде Р. Ю., Гусиев Х. Т. Вариационный метод решения задачи устойчивости неоднородной по толщине пологой арки//Тр. Азерб. мат. о-ва.-1996.-Т. 2.-С. 223-230.