Прощелкивание неоднородной по толщине нелинейно-упругой пологой арки

Статья посвящается столетнему юбилею выдающегося математика С.М. Никольского

В геометрически нелинейной постановке предлагается вариационный метод смешанного типа для определения напряженно-деформируемого состояния. В качестве примера дается постановка и указывается способ решения задачи об устойчивости неоднородной по толщине упругой пологой арки.

• 1.    Введение

• 2.    Задача устойчивости неоднородной по толщине пологой арки

  © 2005 Фатуллаева Л. Ф.

Создание и широкое применение в технике, машиностроении, станкостроении, авиастроении и т. д. композитных материалов приводит к необходимости определения напряженно-деформируемого состояния (НДС) в средах, изготовленных из различных, нелинейно-упругих материалов, сопряженных между собой посредством полного сцепления либо посадки. Когда тело имеет сложную пространственную конфигурацию, составлено из нескольких частей, деформации конечны, а распределение внешних нагрузок имеет довольно сложный вид, возникают большие трудности математического характера. Это обстоятельство связано с тем, что теоретические исследования в этой области приводят к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений равновесия в частных производных с разрывными коэффициентами при нелинейных краевых условиях. Получение здесь точных решений весьма затруднительно, иногда, даже невозможно. Поэтому первостепенное значение приобретает развитие приближенных, в частности, вариационных методов.

В этой связи здесь разработан вариационный принцип смешанного типа для определения НДС тел, составленных из конечного числа элементов. Эффективность предложенного метода иллюстрируется на примере решения задачи прощелкивания линейноупругой кусочно-неоднородной по толщине пологой арки, шарнирно опертой по концам, которая подвержена равномерно распределенной вертикальной нагрузке.

Допустим, что имеем шарнирно опертую на двух концах пологую арку, ось которой образована дугой синусоиды ш = с sin(nz/l).

Сечение арки предполагается прямоугольным с высотой 2h и шириной b. Положим теперь, что арка, имеющая пролет l и стрелу подъема с о , составлена из n чередующихся различных по толщине слоев с различными модулями упругости E k+i [k = 0,1,..., (n - 1)]. Будем считать, что в каждом слое модуль упругости зависит от поперечной координаты у, т. е. E k+i = E k+i (у). Толщину каждого слоя обозначим через 5 k+i , n — 1

причем ^2 ^ k+i = 2h.

k=0

Запишем уравнение состояния для пакета в целом в виде одного равенства [1]:

v ^af E k+i (y)V

a ^m^

k                  k+1

-h + X у §i 6 у 6 - h + X у ^i (^o = 0), k = 0, 1,..., (n - 1), i=0                  i=0

где m — коэффициент нелинейности, принимающий только четные значения.

В дальнейшем ограничимся моделью линейной упругости, т. е. когда m = 0. Арка несет равномерно распределенную вертикальную нагрузку интенсивности q . В этом случае функционал имеет вид [1]:

J = bjj^ + 2 ■: dydz -2/Е / Г'? ⁺ / dz, — h 0                               0 ^k = ⁰ a k               0

где

k ak = -h + У^ §i, i=0

k+1 a k+i = -h + У^ § i - i=0

Запятая в нижнем индексе означает частное дифференцирование по продольной координате z, а точка над буквой — дифференцирование по q, т. е. q = 1.

Вследствие закона плоских сечений запишем

Ё = U ,z + Ш ,z Ш ,z - ?Ш ,zz

Чтобы найти стационарные значения функционала (1), используем метод Релея — Ритца. Аппроксимирующие функции запишем следующим образом:

u = 0,

a = E i

ш = nc 0 sin (zp, ,

(^{a 0 +a} v (2?)^{+ va} v ( h )),

где a V = a i sin(nz/l), a V = 03 sin(nz/l), или в скоростях

lD = 77 C 0 sin

πz l

2–88

Л. Ф. Фатуллаева a = E;

(^T 0 ^{+ T} v (ly ) ⁺ ' v (ly ) )'

Подставляя (2)–(7) в функционал (1) и введя следующие обозначения

ak+1    , ф, = XX ^ i = 0,...,4,

E k+1

k=0 _{a k}

после интегрирования, получим следующую формулу для функционала:

J = b ^{hE ; n} c^ o n^. + 16 vbhE ; c o ⁿa 2 П?7 + ² bh ² E ; ^conГт ; + bhE ; a o c 0 n ² l                      9                l             3            l                          2l

+ 8 bhvE ; ^П c^rn ² - 9           l

bl                bl                4 bl

- E 2 a ^{2 ф} 0 - 2^ 2 E^ ₂ a ² - h _ Ev^{2 ф} 4 Г ²

-

8lb              • nh2 vE;Ф2aoa2 -

4l ^2- ж ■ 4bl . . . , . 2l — bE _хао Ф ; Г ; - —г vE _хФз Г ; Г 2 + nco — .

πh             h ³                 π

Далее, варьируя J по ту, Гт о , ст ; , ст ₂ , и интегрируя полученные формулы при начальных условиях

n(0) = 1, a o (O) = a ; (0) = a 2 (0) = 0,

получаем следующую систему четырех уравнений:

n 3 \ 2 ^a _o n + 1.8n ² A ² v^a 2 n + 0.7n ³ A ² a _; + 2т = 0,

^ o r o + 4п ^-1 ^ ; Т ; + 8n - 1 V^ 2 Т 2 = 0.5п 2 А 2 £ ² (п 2 - 1) ,

4п-;^1 ao + ф2Т; + 4v^3T2 = 0.7п2А2£ (n - 1) , n-1v^2ao + 0.5v^3a; + v2^4a2 = 0.1nA2v£2 (n2 - 1) .

Исключая из последней системы σ 0 , σ 1 , σ 2 , приходим к следующему алгебраическому уравнению для определения η:

15.48A ² ^a _o n + 8.87A ² v^a ₂ n + 10.84A ² a _; + т = 0,

где

c 0 h         q          E 1

^e = X’ ^A = 7’ ^т = E i b ’ ^{y o} = T ^{Ф o} ’

^ 1 = E ^ф ; ,  ^ 2 = E ^ф 2 ,  ^ 3 = E ^ф 3 ,  ^ 4 = E ^ф 4 ,

°о = — —rr(4-93(ad — bc)A 2 £ 2 (n 2 - 1) - 6 - 9 ^ i ^ 2 £A ² a(n - 1) ^ o (ad — bc)

+ 1.26^ 1 A 2 ^ 2 a(n 2 — 1) + 6.26y 1 A ² £ 2 c(n 2 — 1) — 6 . 9 ^ o ^ i £A ² c(n — 1)

— 12.57v^ 1 ^ ₂ A ² ^ ² d(n 2 — 1) + 13.85v^ o ^ 2 A²^d(n — 1)

+ 13.85v^ 2 A ² £b(n — 1) — 2.52v^ 1 ^ ₂ A ² £ ² b(n 2 — 1)),

0 1 = , , ¹ , x (5.43^A ² ^ 2 a(n — 1) — 0.99A 2 ^ 2 ^ i a(n ² — 1) (ad — bc)

— 4.93A 2 ^ 2 y i c(n ² — 1) + 5.43A 2 ^^ o c(n — 1)),

0 2 = z ,¹ , x (4-93£ 2 A 2 _nd(n ² — 1) — 5.43A 2 e^ o d(n — 1) (ad — bc)

• — 5.43A ² ^^ 2 b(n — 1) + 0.99A 2 < 2 v i b(n 2 — 1))-

• Здесь

a = 2-55v^1^2 — 3-14v^o^3, b = 1-27^1 — O-79^o^2, c = 3-14v^2^3 — 3-14v^1^4, d = 0-79^2 — 1-57^1^3-

Из (8) следует, что τ как функция η принимает экстремальное значение при dT = 0-

При достижении критического значения безразмерной нагрузки η кр происходит хлопок. Величина этой критической нагрузки находится по формуле (8), если внести в нее значение η кр , получаемое формулой (9). Дальнейшее связано с заданием числа слоев n и последовательным решением полученных уравнений.

Таким образом, задача устойчивости упругой пологой арки сводится к решению алгебраического уравнения.