Пространства Бергмана, Харди и сопряженные к ним

Введение. Основными результатами работы являются: пространство Харди не равномерно выпукло и не строго нормировано; пространство Бергмана H 1 ’ строго нормировано; дано аналитическое представление ограниченных линейных функционалов над пространством Бергмана.

Основные определения и вспомогательные результаты. Dr = {z е С :| z |< r}, D = D1, dr (Z) = {zеС:| z-Z l< r}; Tr = {z е С :| z |= r}, T = T1, do - плоская мера Лебега; линейный функционал / (x) = 1 jjxtodo; пространство Hp: множество аналитических функций в области П D

D , принадлежащих пространству Lp (D), 0< p < «; пространство Hp: множество функций, аналитических в области D, с конечной величиной

I

||ф||„ = lim        ^( z )| pd arg z >

^{11 11 p}      r ^ 1 I 2 n J ^{1         1}

T

r

1/ p

, 0 <  p <  « .

Определение 1. В-пространство назовем равномерно выпуклым, если из xn = yn = 1 и xn + Уп

^ 1 следует, что || x n - y n || ^ 0 .

Наряду с равномерной выпуклостью в дальнейшем окажется полезным понятие строго нормированного пространства.

Определение 2. Пространство называется строго нормированным, если из равенства II x + У II = I x ll +1 У II следует, что x = Cy, C >0.

Определение 3. Функцию f ( f = 1), принадлежащую B-пространству, назовем экстремальной функцией (ЭФ) линейного функционала / е B*, если l(f) = ||/||.

Теорема I. Если V – равномерно выпуклое пространство, то для любого линейного функционала из V ^* ЭФ существует и единственна [1].

Теорема II. Если для линейного функционала / ( x ) = — [ х й| dr | существует ЭФ f , то

2п T почти всюду на T выполняется

|| l ll fl^ ⁼ ®^t ) ^- X^(t ), ^{й е L}„ , X^{е H} „

Основные результаты. Теорема 1. Пусть X – строго нормированное банахово пространство и l ( x ) – линейный непрерывный функционал, определенный на этом пространстве. Если существует функция, на которой достигается экстремум функционала, то она единственна [3].

l ( x ) ^x

Доказательство. Пусть f е X и l(f) = Ц|| = sup x=1

Предположим теперь противное, т. е. что существует еще одна функция g м Cf ( C -некоторая постоянная) такая, что || g || < 1 и / ( g ) = ||/||. Так как / ( x ) - непрерывный линейный функционал, то | / ( x )| < || / || ■ || х ||. И поэтому экстремум функционала достигается только для функций с нормой, равной единице, т. е. f = g = 1. Из-за строгой нормируемости X и условия g м Cf следует:

и, следовательно,

f + g

f + g

<2 (I и +i и в,

< 1, но f и g – экстремальные элементы l ( x ) , значит,

/ ( f -2- g ) = 2( / ( f ) + / ( g )) = / 1.

f + g

То есть – тоже экстремальный элемент, но его норма строго меньше единицы. Полученное противоречие и доказывает теорему.

Теорема 2. Пространство H - строго нормированное.

Доказательство. Пусть мы имеем случай равенства в неравенстве треугольника, т. е.

JJ ( f ^(z ) ^{+ g ( z} )| ) d ^ = JJ f ^{( z} ) d ^ ⁺ JJ ^{g ( z} )| d ^a .

D    DD

Поскольку | f ( z ) + g ( z )| < | f ( z )| + | g ( z )|, то из

JJ (f (z) + g( z )| - f (z )| - |g(z)|) da = 0 D следует, что почти всюду |f(z) + g(z)| = |f(z)| + |g(z)|, и из этого равенства следует, что arg f =argg почти всюду. Выбирая теперь в области |z| <1 подобласть, в которой f (z) * 0 и g(z) * 0 , что можно сделать вследствие аналитичности функций, получаем, что arg f / g = 0, а тогда в этой области lnf / g =C > 0 , так как мнимая часть логарифма равна нулю и, следовательно, в этой области

f ( z ) = Cg ( z )                                          (1)

Пространство строго нормированное, так как с учетом теоремы единственности аналитических функций равенство (1) можно распространить на весь единичный круг.

Теорема доказана.

Теперь докажем теорему об общем виде линейного функционала над пространством H 1 , полученную Х.Х. Бурчаевым и В.Г. Рябых [4], используя идею доказательства [5].

Теорема 3. Для того, чтобы выражение вида

/ _m ( x )= lim ¹ JJ x ( ^z ) ^ (Rz")d a

R ^1-0 П d было линейным функционалом над пространством H(, необходимо и достаточно, чтобы

^ ( Z )^!^' ^{<Е D} ■

Доказательство. Необходимость. Пусть x e H 1 ' , a / _m e H 1" . Замечая, что x ( Rz ) сходится по норме пространства Щ к x ( z ), имеем:

/ ( x ( t ))= lim / ( x ( R²t ))= lim / [ ¹ [f x ( ^Rz ) ^d £ ( z ) ) = ^{4 4} R - 10 ^{4 4}    ” R - 10 Vn- D (1 - Rtz ) ² J

(1 - Rtz ) ²

d c (z )= lim ¹ jj x ( Rz ) m ( Rz ) d G .

^R • ■ ⁰ л D

Здесь m ( Rz ) = / 1---- ¹—_r 1 , z e D , R <1.

V (1 - Rtz ) ² J ,        ,

Отсюда ( t = re ' ⁹ , z = p e ' ^ф ) ^ (Rz ) = 2 R/ 1---- t —_T I . Следовательно, V (1 - Rtz ) 3 J

I ®'(Rz )| = l

< «И J

2 Rt

(1 - rz rdr

< 2R/ 1 ff ^{d G (t} ) 3 n^{j j} (1 - Rtz ) ³

<

( 1 - Rr\z ) ( 1 - ( Rr|z |) 2 ) ^{2 n}

2п j P(Rr|z|, 9-ф)d9.

Здесь P – ядро Пуассона.

Таким образом, |®' ( Rz )| <  4|| / || j

Rrdr

-----------г <-----гл . ( 1 - Rr|z |)     ^{1 - R}|^z|

Необходимое условие доказано.

Достаточность. Для упрощения вычислений доказательство проведем при несущественном ограничении на функцию x ( z ), именно: x (0) = 0, x e H 1 ' .

Пусть теперь m' ( z ) <  C / ( 1 - | z |) . Воспользуемся равенством

-z ( ( 1 - | z |²) x(Rz ) m ( Rz ) ) = - 2 zx ( Rz ) ® ( Rz ) + R ( 1 - | z |²) x ( Rz ) m' ( Rz ).

На его основании выводим, используя формулу Грина: jj- ^Lф ( zd G = 1 j ф ( Z ) dz ,

D dz           2' T lim1 fzx(Rz)®(Rzd

R - 1 Л D

= R m^ff xRz ) ( 1 - z ² ) “’ ( ^Rzd

G

<

D

Определение 4. Функция f(z) , заданная и непрерывная в замкнутом круге | z | < 1 и аналитическая в открытом круге | z | <  1, принадлежит:

• а)    классу Л_а A , если она удовлетворяет условию sup ^-, _{|< Л} | f(e ⁸ 1 ) - f(e ⁸ 2 )| = O(h ^a ), где 0 <  a <  1 (условие Липшица);

• б)    классу Л , A , если она удовлетворяет условию f ( e ^{i ( 8+} h ) ) - 2 f ( e ^{i 8} ) + f(e i ^{( 8-} h ) )| = O ( h ) (условие Зигмунда).

Определение 5. Пусть функция f ( z ) определена и аналитична в единичном круге z < 1

и f (z ) = S ^^z k . Тогда

• а)    дробная производная порядка р > 0 функции f ( z ) есть функция f ^{[ , ]} ( z ) = S ? .    k ^{+ 1 + e )} z ^k ;

k =0          k !

• б)    дробный интеграл порядка р > 0 функции f ( z ) есть функция "           k !

f ( z )= a             z ^k .

^{[М      Д ;} г ( к + 1 + р )

Лемма 1. Если функция f (z ) е H' p и 0 <  p <  q <  да , то

1          2 q - 2 2 ^Л

J (1 -Р ) ^p   p J f ( p e ^{i 8})| q d p d 8 <  « .

Доказательство. В силу оценки [6] | f ( z )| < —^;    Hp , C = const,

(1 - И)p для функций из H'p имеем:

2 п

J f ( p e ^{i 8})| q d 8<

( ^C 1I f k) q ^{- p}

2 —q - 2 (1 -p ) ^p

2 n

J | f ( p e ^{i 8})| p d 8 .

(

Положим M n ( p , f )= 2_ JJ | f ( z )|ⁿ d c (z ) 1 ^{2 n} | z |< p

V

x 1/ n

где 0 <  n <  ^да , 0 <  p <1.

Лемма 2. Пусть функция f (z ) е H' p и 0 <  p <  q <  да . Тогда

12 q — 3

• J (1 — p ) ^p M q ( p , f ) d p <  да . 0

Доказательство. Имеем, на основании теоремы Фубини, что

• 1           2 q-3 p             _           1             p

J(1 — p)p dpJ f (tei6 )| qtdt = J f (tei6 )| qtdt J(1 — p)p dp< 0                    00

| j q — 2 | J (1 — t ) ^p     f ( te i ⁶)| q dt .

• V P 7 0

• 1            2 p                                                  12

Отсюда J(1 — p ) pq J f ( te i ⁶)| q tdt <  1 I ² q — 2 I j(1 — t ) pq f ( te i ⁶)| q dt .

0                            /V p7

Умножим обе части этого неравенства на d 6 и проинтегрируем его по 6 от нуля до 2 п .

Применяя теорему Фубини и лемму 1, получаем:

1           2 q _ ₃ p 2 п

J(1 — p)p dpJJ f(tei6)|q tdtd6 < да, 000

что и требовалось доказать.

Лемма 3. Если функция f ( z ) аналитична в единичном круге | z | <1, то при 0< q <  1 справедливо неравенство

I im 1 M q ( г , f [ _P ] ) <  K(q , в ) J (1 — p ) ^{q в— 1} M q ( p , f ) d p , K(q , в ) = const. .                        0

Эта лемма доказывается аналогично следующей теореме работы [7].

Теорема 4. Если функция f (z) аналитична в единичном круге |z| <1, а 0< q < 1, то имеет место неравенство lim^ 2J f„](rei6)|q d6 < R(q,p)J(1 — r)q^j |f(rei6)|q drd6, R(q,в) = const. r^ 2П 0                             0            0

Лемма 4. Пусть функция f (z) е H' и 0 < p < q < 1, 0 < в < — 2 . Тогда pp f№](z) е Hq, q = pl|1 — в p|.

Доказательство следует из лемм 2 и 3.

Теорема 5. Если ф есть ограниченный линейный функционал в пространстве

H'p, 0 < p <1, то существует единственная функция g(z), аналитическая в круге |z| <1, такая, что ф(f ) = lim^ jf (z) g(z)d^(z).                                (4)

R . 2 , d r

При этом, 1) если 2/( m + 1) <  p <2/ m , m = 2,3,..., то g ^{( m — 2)} ( z ) еЛ_а A , где a = 2/ p — m ; 2) если p = 2 / ( m + 1), то g ^{( m — 2)} ( z ) е Л , A .

Обратно, 1) для любой функции g ( z ) , аналитической в круге z < 1, и такой, что g ^{( m — 2)} ( z ) еЛ _{2/ p} — m A , предел (4) существует для всех функций f ( z ) из H'_p , 2 / ( m + 1) <  p < 2 / m , m = 2, 3,... , и определяет линейный ограниченный функционал в пространстве H' _p ; 2) любая функция g ( z ) такая, что g ^{( m — 2)} ( z ) еЛ , A , определяет, согласно (4), ограниченный линейный функционал в пространстве H'_p , p = 2 / ( m + 1).

Доказательство. Докажем прямое утверждение теоремы.

Пусть ф - ограниченный линейный функционал в пространстве   H'p   и ф(zk) = bk /(2k + 2), k = 0,1,.... Тогда

I ф(zk) sH-lkkLp = (kpB)i7P < ”, откуда следует, что функция g(z) = I”=0bkzk аналитична в единичном круге |z| <1.

Для фиксированного р такого, что 0< р <1, положим fp(z) = f(p2z), и пусть f (z) = I”=0akzk е H'p. Так как fp(z) есть равномерный предел частичных сумм соответствующего ей степенного ряда, и линейный функционал ф непрерывен, то

N                ”

ф ( f p ) = lim IM Р 2 k z k ) = Z^^ Р 2 k .

N ^” k =0               k =0 ^{2 k + 2}

Но f _p ( z ) ^ f ( z ) по норме H'_p при p >  1 [8]. Следовательно,

ф ( f ) = lim У a —b k — p^{2 k} = lim — ff У az k У b_kz^kd o (z ) = lim — ff f ( z ) g ( z )d c (z ).

p^k 2k + 2^P p- 1 2 n Щ ¹ k       р- 1 2 я z V

Таким образом, показано, что ограниченный линейный функционал в пространстве H'p имеет вид:

ф ( f ) = H m 1- JJ f (Rz ) g ( Rz ) d c ( z ),                              (5)

^ 2n d где функция g(z) аналитична в единичном круге z < 1 .

Докажем свойства функции g ( z ) в представлении (4).

• 1)    Пусть 2 / ( m + 1) <  p < 2 / m , m = 2,3... и

• F dm Г Z ) = m!(-1)m+1 zm+1 (z) = dZm 11 -Zz J =  (1 -Zz)m+1

|z | <1, z = |z| e i .

Найдем значение функционала ф от функции F ( z ). Получаем

Ф (F ) = lim     JJ F(z ) g ( z ) d c ( z ) = -1- JJ I I z ^k Z ^{k + 1}

( m )

|    g ( z ) d _c(z ) =

Z

^Р ^ 1 ^{2 n} | z |< p                           ^{2 n} | z |<1 V k =0

= lim( 1)m+1 ff I У (k + 1)k...(k - m + 2)Zk-m+1 zkУbkzk |d^(z) = p y1    2n |z|

= ^{( - 1)} m + ¹ lim p ^{2 m} g ^{( m - 1)} ( p ² z ) = ( - ¹) m ^{+ 1} g ^{( m - 1)} ( Z ). 2 n    ^{p> 1}                      2 n

Отсюда следует оценка:

Г                    \ 1/ p      Г                                 У ^p

I g m ^{- 1)(}z ) _$ 21 _W. F ⁽ z ) H _{; £} 21_M m V 2^Р^ “1 1^^У |  . C 2 V 2¹ п _|Д ( 1 - _{r |} Z2^> -z z , 2 _J

Г 1

^ C 2 J

0 V

2 n dr

( 1 - r |_Z| ) ( m ⁺¹⁾ p - 1

1/ p

^ C 2

^Г    2 n^|^{)- 1}    '

_v ( m + 1) p - 2 ₁

( 1 -^ ) ^2/ p - m - 1 , C 2 =2| ф m !.

Используя эту оценку, получаем, что | g ^{( m 1)} ( Z )| = O ( ( 1 fZ ) ²/ p m ¹ ) , а это возможно тогда и только тогда, когда g ^{( m — 2)} ( С ) е Л_а A , a = 2 / p — m [9].

_ „                                               .   dm ^{+ 1} Г Z )

• 2)    Если p = 2/( m + 1), то полагая, что F ( z ) =---- _г —-— , аналогично получаем

dZ m+111 -zz J равенство |g(m)(Z)| = O((1 — |£|)1), которое имеет место тогда и только тогда, когда g(m—2)(О еЛ,A [9].

Докажем теперь обратное утверждение теоремы.

• 1)    Пусть 2 / ( m + 1) <  p < 2 / m , f ( z ) е H'_p , g ^{( m — 2)}(z ) е Л_а A , a = 2 / p — m . Убедимся, что при этих условиях существует конечный предел

lim JJ f (z)g(z)da(z), pn1|z|

P ' |z|

H P .

Положим да

_v ( p ² )= V a—b L_ p ^{2 k} , f o k 2 k + 2

Составим выражение

h ⁽ m ^{— 1)} ( z ) = ( z ^{m — 2} g(z))⁽ m - 1)

да

= f b k (k + m — 2)... kz k .

k =1

¹ JJ eX- 2] ⁽ re i ^{8 ) h (1 П} | z |< p

Отсюда

да                            ( да

:m ^{— 1)}(re ^{— 8} ) p ² drd 8 = f a_kb_k p ^{2 k + 1} = I f a k=1                  I k =0

^1k       p² k ^{+ 2} ^^— ab p = ⁽ v ⁽ p ^{2 )} p ^{2 )} ' - ab p .

2 k + 2 J

|h ⁽ m ^{— 1)}(z )| <  - 3 (1

—

|z | ) ^{2/ p — m — 1} ), - 3 <  да .

Из равенства (6) и неравенства (7) следует, что

Г p

| ( _V ( p 2 ) p = ) '|s „ J ⁿ 0

2 п

^{12/ P — m — 1} J f [ m — 2] ⁽ re ' '⁸ ) ^{dd 8} + 1 ^ 0 b o| <

< 2 - 3 (1 — p ) ^{2/ p — m — 1} X J f m — 2] ( re i ⁸ ) drd 8 + a o b ol <  ^{2 n} 00

< 2 - 3 (1 — p ) ^{2/ p — m — 1} M ( p , f [ m — 1] ) + - 4 + a 0 b o| , - 4 = supf'( r ²)|.

Умножая обе части неравенства (8) на dp и интегрируя по р от нуля до единицы, в силу лемм 2 и 4 заключаем, что f|(v(p)p)'| dp < да, отсюда следует, что и lim | y(p)|< да. pn1

• 2)    Пусть теперь p = 2/( m + 1), g ^{( m — 2)} ( z ) еЛ , A. Из равенства (6) при 1/2< p <1 вытекает, что

  4 P 2 n

  I ( _V ( P 2 ) P 2 ) '|< ⁴ dir J F ( z)G(z ) d 8 + \a _o b _o| , П

  
  

  2 n

  
  
  
  
  
  
  
  

где G(z) = zh ⁽ m 1) ( z) = z(z m ² g(z))⁽ m 1) и F(z) = f_[m - _2]( z ) e H 2V на основании леммы 4. А из условия g ⁽ m ^{- 2)} ( z ) e Л , A следует [9], что

| G X z )| = O ( ( 1 - z ) — 1 ) .                                         (10)

Заметим также, что

J F ( z ) G ( z ) d 9 = J F 1/2] ( z ) G ^[1/2] ( z ) d 9 ,                             (11)

в чем легко убедиться, полагая F ( z ) = £ ” = ₀ A_kz ^k , G(z ) = £ ” = ₀ B_kz ^k и выполняя соответствующие операции над функциями F ( z ) и G ( z ) .

Из неравенства (9) и равенства (11) вытекает, что

|(_v ( p ² ) р ² ) '| <  4 J rdr ²J F 1/2] ( z ) G ^[1/2] (z ) d 9 + | a о Ь о I ,

• ^П 0     0

а из (10) следует неравенство

|G :.-; <  C 5 ( 1 - | z |)^{- 1}'² , C ₅< ” .

Следовательно, имеет место оценка

I (V(p2 )p2 )'| < C (1 - p)-1/2 M (p, F[1/2]) + ^0bo I + C4, где F[1/2](z) e H4/5 по лемме 4.

Отсюда, аналогично предыдущему случаю, получаем, что lim |y ( p)| <  ” . Теорема доказана.

Р^ 1

Теорема 6. Пространство H ₁ не является строго нормированным.

Доказательство. От противного. Из теоремы I вытекает, что, если пространство строго нормировано, то у линейного непрерывного функционала над пространством H ₁ может быть только одна ЭФ.

Получим противоречие этому утверждению, построив линейный функционал, имеющий более одной ЭФ:

l( x ) = - Т1г J x ( t )t "³dt.

2 n i T

Очевидно, что Ц || = 1, так как, с одной стороны, | l ( x )| < || х ||, и, одновременно полагая здесь x ( t ) = - t ²     (| |- t ²|| = 1), получаем l ( x ) = 1; с другой стороны, если

ф( t ) = t ( t + d )(1 + dt ), d e С, то ||ф|| =¹ J |1 + dt |² dt = 1 + | d |², а ^п T¹

l

ф

1 1 + d l² J

—

2 п i ^J

i ’ d + t ² ( 1 + d |² ) + T d )

¹ + d l²

т 3 d т = 1 = || / ||.

Таким образом, ЭФ функционала l ( x ) не единственна.

Теорема доказана.

Теорема 7. Пространство H ₁ не является равномерно выпуклым.

Доказательство. От противного. Предположим, что пространство равномерно выпукло. Из этого предположения следует, что, если l e H 1* , то функционал l имеет ЭФ.

Получим противоречие этому утверждению, приведя пример линейного функционала из H ₁ ^* , у которого нет ЭФ. Для этого воспользуемся примером из [2]. Положим ω ( τ ) = 1 при τ ∈ γ , и ω ( τ ) = 0 при τ ∈ T \ γ ; m γ > 0, α , β – концы дуги γ ; l ( x ) = 1 ∫ x ( τ ) ω ( τ ) d τ .

Очевидно, I l II = sup 1 ∫ x ( τ ) d τ . А при использовании теоремы из [2]:

I l II    _{a ∈} n _H v . m . I ω ( τ ) - a ( τ )I ≤ ω ( τ ) - 1

a ∈ H _∞                                 2

. 2

В плоскости W возьмем отрезок длиной π - 2πε, ε > 0, и окружим его аналитическим контуром L длиной 2π . Функция W = Ψ(z) осуществляет конформное однолистное отображение D на intL, причем такое, при котором точки α и β переходят в противоположные концы диамера области, ограниченной L. Ясно, что 1

∫ Ψ′ ( τ ) II d τ I =1

T

и

2 π

I ^l II ^≥ I l ( Ψ′ ) I _{= 2}1 _π

∫ Ψ′ ( τ ) d τ ^γ

⁼ 2¹ -I Ψ ( α ) - Ψ ( β )I ≥ 12 - ε .

Последнее, в силу произвольности ε , указывает, что II l II = ¹ , а inf v . m . I ω - a достигается при a ( τ ) = 1 . Но тогда из теоремы II вытекает равенство ¹ f II d τ I = ± 1 f ( τ ) d τ ; это означает, что f ( τ ) d τ вещественна на T , т. е. f ( τ ) ≡ 0 .

Полученное противоречие и доказывает теорему.

Доказательство окончено.

Выводы. 1. Пространство H ₁ ′ строго нормировано.

• 2.    Общий вид непрерывного линейного функционала в пространстве H _р ′ следующий:

ϕ ( f ) = _R lim₁¹ ∫∫ f ( Rz ) g ( R z ) d σ ( z ). ^→ 2 π _D