Пространства CD_0-функций и удвоение по Александрову

Банахово пространство X = (X, +, • , || * k ) над полем R вещественных чисел, снабженное (частичным) порядком 6, называется банаховой решеткой, если

• (1)    порядок 6 является решеточным, т. е. для любых x, y ∈ X существуют супремум x V у и инфимум x Л у (а значит и модуль | x | := x V — x);

• (2)    порядок 6 согласован с линейными операциями, т. е. для любых x, y, z ∈ X и 0 6 A G R из x 6 у следует x + z 6 у + z и Ax 6 Ay;

• (3)    норма k · k монотонна относительно порядка 6, т. е. для любых x, y ∈ X из | x | 6 | y | вытекает || x k 6 \\ y \\ (откуда следует, что || x k = ° | x | ° для всех x G X).

Банахова решетка X называется абстрактным M -пространством с единицей или, более коротко, AM 1 -пространством, если

• (4)    || x V y \ = max {\ x \ , || y k} для всех 0 6 x,y G X;

• (5)    существует такой элемент 1 G X, что | x | 6 1 равносильно || x \ 6 1 для всех x G X. Классическими примерами AM 1 -пространств служат функциональные банаховы пространства с равномерной нормой, снабженные поточечным порядком:

• (а)    (R n , \ . \ _те ), n G N;

• (б)    пространство `^∞ ограниченных последовательностей;

• (в)    пространство L “ (Q) (классов) существенно ограниченных измеримых функций на пространстве с мерой Q;

• (г)    пространство C (Q) непрерывных функций на компакте Q (т. е. компактном хаусдорфовом топологическом пространстве).

Теория банаховых решеток включает следующий хорошо известный факт.

Теорема Крейнов — Какутани. Всякое AM 1 -пространство линейно изометрично и порядково изоморфно пространству C (Q) для подходящего компакта Q (причем такой компакт Q является единственным с точностью до гомеоморфизма).

Можно сказать, что в общем случае компакт, соответствующий по теореме Крейнов — Какутани рассматриваемому AM 1 -пространству, оказывается «необозримым» («неявным», «неконструктивным»), хотя бы потому, что известные универсальные подходы к его «построению» существенно опираются на аксиому выбора (или лемму Цорна) и задействуют такие понятия, как ультрафильтры, максимальные идеалы и т. п. Впрочем, на пути к искомому компакту часто возникают и другие довольно громоздкие конструкции, ослабляющие интуитивную связь с исходным AM 1 -пространством. Так, один из классических способов построения компакта Q, реализующего данное AM 1 -пространство X в виде C (Q), состоит в следующем: сначала рассматривается порядковое пополнение X пространства X, затем X представляется в виде пространства C (Q) непрерывных функций на экстремально несвязном к омпакте Q (который возникает, например, как множество всех ультрафильтров базы X , наделенное специальной топологией) и, наконец, искомый компакт Q получается в результате «склейки» точек Q, не разделяемых функциями, соответствующими элементам исходного пространства X . Другой распространенный подход к построению реализующего компакта AM 1 -пространства состоит в рассмотрении второго сопряженного пространства и привлечении реализационных фактов теории коммутативных банаховых алгебр, задействующих такие «неявные» объекты, как, например, характеры алгебры. Пожалуй, самый короткий универсальный путь к реализующему компакту проложен в [1], где точки компакта возникают в виде максимальных порядковых идеалов исходного AM 1 -пространства. (Но и эту конструкцию по понятным причинам вряд ли можно считать «обозримой».)

Вместе с тем очевидно, что изучение свойств какого-либо конкретного AM 1 -пространства может существенно упроститься, если удастся найти явное и простое описание соответствующего реализующего компакта. В качестве примера рассмотрим банахову решетку X, являющуюся замыканием (по равномерной норме) пространства всех функций f : P ^ R, определенных на бесконечном множестве P и являющихся постоянными на P за исключением конечного числа точек. ¹ (Пространство таких функций f несмотря на свою простоту играет важную роль в некоторых вопросах теории регулярных операторов в векторных решетках; см., например, [8]). Каждый элемент пространства X можно описать как функцию x : P ^ R, для которой существуют число А и последовательность точек p n Е P такие, что x = А вне { p n : n Е N } и x(p n ) ^ А при n ^ го . Поскольку X является AM i -пространством, оно изоморфно C (Q) для некоторого компакта Q. Теперь устройство пространства X становится совершенно прозрачным, если заметить, что в качестве Q можно взять александровскую одноточечную компактификацию P ∪ {∞} дискретного топологического пространства P . В компакте P ∪ {∞} точки p ∈ P изолированы, а окрестностями точки ∞ являются дополнения конечных подмножеств P .) Изоморфизм AM i -пространства X на C(P U {го} ) осуществляется доопределением функции x ∈ X в точке ∞ числом λ, фигурирующим в приведенном выше описании x.

Пусть теперь Q — произвольный непустой компакт без изолированных точек и пусть C o (Q ) — совокупность всех таких функций f : Q ^ R, что множество { q Е Q : | f (q) | > е } конечно для любого числа е > 0. В работе [9] Ю. А. Абрамович и А. В. Викстед ввели в рассмотрение пространство

CD o (Q) := C (Q) + c o (Q)

функций f : Q ^ R, каждая из которых представляется в виде суммы f = fc + fd непрерывной fc Е C(Q) и ««дискретной» fd Е Co(Q) составляющих. Стоит сразу отметить, что благодаря отсутствию в Q изолированных точек имеет место разложение в прямую сумму CDo(Q) = C(Q) ® Co(Q), а отображения f ^ fc и f ^ fd представляют собой соответствующие линейные проекторы.

Ю. А. Абрамович и А. В. Викстед показали в [9], что относительно равномерной нормы и поточечного порядка пространство CD o (Q) представляет собой банахову решетку, обладающую некоторыми весьма экзотическими порядково-топологическими свойствами, и отметили, что несмотря на свою «причудливость» эта банахова решетка является AM 1 -пространством, а значит (согласно теореме Крейнов — Какутани) изоморфна пространству C Q для подходящего компакта Q . Оставив в стороне вопрос о явном описании соответствующих компактов Q , авторы работы [9] тем не менее заметили, что благодаря своим необычным свойствам такие компакты представляют интерес и для общей топологии.

Пространства CD o (Q) (и другие аналогичные пространства «непрерывнодискретных» функций) послужили предметом дальнейших исследований (см., например, [2, 10, 11]), в рамках которых появилось первое явное описание реализующего компакта Q пространства CD o (Q). А именно, в работе [12] З. Эрджан установил, что в качестве Q можно взять множество Q x{ 0,1 } , наделенное следующей сходимостью:

(qa,ra) ^ (q, r) тогда и только тогда, когда fc(qa) + rafd(qa) ^ fc(q) + rfd(q) для любой функции f G CDo(Q).

Теорема [12]. Введенная выше сходимость соответствует некоторой компактной хау сдорфовой топологии на Q x{ 0,1 } . Сопоставление каждому элементу f G CD o (Q) функции f : Q x{ 0,1 } ^ R , определенной равенством f (q,r) = f _c (q) + rf d (q), осуществляет изометрический и порядковый изоморфизм CD o (Q) на C (Q x{ 0,1 } ) .

Этот результат сыграл ключевую роль в проблеме описания компакта Q , реализующего CD ₀ (Q) в виде C (Q).

Предложенный подход к определению реализующего компакта можно было бы подвергнуть критике, заметив, что в определении его топологии в явном виде участвует само пространство CD o (Q) — ведь это обстоятельство не позволяет в полной мере свести изучение CD o (Q) к C(Q), возвращая анализ свойств Q и C(Q) к рассмотрению исходного пространства CD o (Q). Тем не менее в [12] было приведено альтернативное описание сходимости сетей в Q , не использующее пространство CD 0 ( Q ) как таковое и задействующее лишь сходимость в Q . Пожалуй, единственным возможным объектом для критики осталось введение топологи посредством сходимости сетей, усложняющее ее осмысление с традиционной «окрестностной» позиции.

Как бы то ни было, отмеченный выше «недостаток» был полностью устранен В. Г. Троицким в [15]. Для удобства введем два отображения (*)c, (*)d : Q ^ Qx{0,1}, полагая qc := (q, 0), qd := (q, 1).

Кроме того, для всякого подмножества P С Q положим

P c := { p c : p G P } = P x{ 0 } , P d := { p d : p G P } = P x{ 1 } .

В своей «заметке» [15] В. Г. Троицкий описал топологию З. Эрджана на Q x{ 0,1 } = Q c U Q d следующим образом: точки q d являются изолированными, а базовыми окрестностями всякой точки q c служат множества вида U _c U U d \{ q d } , где U — окрестность точки q в исходной топологии компакта Q .

Построенное таким способом топологическое пространство Q = Qc U Qd , которое обычно именуется удвоением по Александрову (Alexandroff duplicate) компакта Q и обозначается символом A(Q), действительно обладает рядом экзотических свойств. Как известно [7, 3.1.G], оно хаусдорфово и компактно (более того, в нем компактно любое содержащее Qc множество), его «непрерывная часть» Qc гомеоморфна Q, а «дискретная часть» Qd открыта и всюду плотна в Q. Отметим также, что удвоение окружности (называемое «двойной окружностью Александрова») служит классическим примером наследственно нормального топологического пространства, не являющегося совершенно нормальным и удовлетворяющего первой аксиоме счетности, но не сепарабельного и тем самым не удовлетворяющего второй аксиоме счетности [7, 3.1.26].

Теперь, вооружившись новым определением компакта Q = Q c U Q d , можно легко получить характеризацию сходимости сетей в Q (аналогичную приведенной в [12]). Поскольку все точки q d ∈ Q d изолированы, сеть в Q сходится к q d тогда и только тогда, когда она устанавливается на q _d . Что же касается точек q _c ∈ Q _c , то сходимость сети (q _a ,r _a ) к q c равносильна следующему условию: начиная с какого-то индекса точки (q _a , r _a ) отличны от q d и q _a ^ q в исходной топологии Q.

Помимо простого и явного описания топологии Q в окрестностных терминах В. Г. Троицкий предложил следующую элегантную характеризацию элементов CD q ( Q ) .

Теорема [15]. Функция f : Q ^ R принадлежит CDo(Q) тогда и только тогда, когда f имеет предел в каждой точке Q. При этом непрерывная часть fc Е C(Q) функции f Е CDq(Q) вычисляется формулой fc(q) = lim f (p) для всех q Е Q. p→q

Этот результат послужил очень удобным инструментом, позволившим значительно упростить исследование свойств CD q ( Q ) и, в частности, получить элементарные доказательства известных фактов об этом пространстве.

Очередной этап изучения CD o -пространств характеризуется переходом от вещественных функций f : Q ^ R к вектор-функциям f : Q ^ X, где X — банахова решетка. Изоморфизм между банаховыми решетками CD o (Q, X) и C (Q, X) в случае метрического компакта Q без изолированных точек фигурирует уже в [12]. В более общем случае связь между пространствами векторно-значных CD o -функций и непрерывных функций исследована в работе Ш. Алпая и З. Эрджана [2]. Дальнейшее развитие наметившейся теории показало, что основные факты о реализации CD o -пространств в виде пространств непрерывных функций выдерживают переход не только к вектор-функциям, но и к сечениям банаховых расслоений.

Банахово расслоение (или, точнее, непрерывное банахово расслоение) над Q является формализацией интуитивного представления о «непрерывной» функции X , определенной на Q и сопоставляющей каждой точке q Е Q некоторое банахово пространство X(q) (называемое слоем X в точке q ). Один из формальных подходов к определению «непрерывности» X [3, § 2.1; 6, 2.4.3] заключается в выделении так называемой непрерывной структуры в X — некоторого векторного подпространства C _X пространства сечений

S(Q, X) = Пи : Q ^ S X(q) : u(q) Е X (q) для всех q Е Q0 q ∈ Q

(снабженного поточечными операциями, см. [3, 1.7.3; 6, 2.4.3]) такого, что, во-первых, поточечная норма

¹ с Щ ^{: Q} ^ ^R , fl| с fl| ⁽ q) = ||c ⁽ q ^{) k} x ( q ) ⁽ q ^{Е Q )}

каждого сечения c ∈ CX непрерывна и, во-вторых, CX послойно плотно в X , т. е. множество {c(q) : c Е Cx} всюду плотно в X(q) для всех q Е Q. Непрерывная структура Cx позволяет определить совокупность C(Q, X) непрерывных сечений расслоения X как множество всех таких сечений u E S(Q, X), что |||u — c||| E C(Q) при c E Cx.

Понятие непрерывного сечения банахова расслоения можно расценивать как обобщение понятия непрерывной вектор-функции. Действительно, если X — банахово пространство, то C(Q,X ) = C (Q, X), где X — постоянное банахово расслоение со слоями X(q) = X, снабженное непрерывной структурой, состоящей, например, из постоянных функций c : Q ^ X [3, 2.2.1].

Отметим, что имеется альтернативный — и в определенном смысле эквивалентный — подход к введению непрерывной структуры, при котором непрерывность сечений возникает как чисто топологическое понятие. (Изложение обоих подходов, а также обоснование их эквивалентности можно найти в [13].) Обозначим символом Q ⊗ X объединение попарно непересекающихся копий { q }x X (q) слоев банахова расслоения X над Q:

Q 0 X = {(q, x) : q E Q, x E X (q)} и для произвольного сечения u Е S (Q, X) определим функцию Q 0 u : Q ^ Q 0 X, полагая (Q 0 u)(q) = (q, u(q)) для всех q E Q. Тогда всевозможные «трубки»

{(q,x) E Q 0 X : q E U, ||x — c(q)| < e}, определяемые сечениями c E Cx , открытыми подмножествами U C Q и числами e > 0, образуют базу некоторой открытой топологии на Q ⊗ X [13, 5.3]. При этом индуцированная топология каждой копии {q}xX(q) C Q 0 X слоя X(q) совпадает с исходной топологией этого слоя как банахова пространства, а произвольное сечение u E S(Q, X) оказывается непрерывным тогда и только тогда, когда функция Q 0 u : Q ^ Q 0 X непрерывна (в обычном смысле) относительно топологии трубок [3, 2.1.7].

Различные непрерывные структуры C 1 и C 2 в X могут порождать одну и ту же топологию на Q ⊗ X . В этом случае непрерывные структуры C 1 и C 2 называют эквивалентными, а банаховы расслоения (X, C 1 ) и (X, C 2 ) отождествляют. Такое отождествление оправдывается в том числе следующим фактом.

Теорема [3, 2.1.8]. Пусть C 1 и C 2 —непрерывные структуры в X и пусть C (Q, X | C 1 ) и C (Q, X | C 2 ) — соответствующие им множества непрерывных сечений. Тогда следующие условия равносильны:

• (1)    C 1 и C 2 эквивалентны ;

• (2)    C (Q, X | C i ) = C (Q, X | C 2 );

• (3)    C (Q, X | C i ) C C (Q, X | C 2 );

• (4)    C i C C (Q, X | C 2 );

• (5)    пересечение C (Q, X | C 1 ) П C (Q, X | C 2 ) послойно плотно в X.

Полезно иметь в виду следующие основные свойства множества C (Q, X) непрерывных сечений банахова расслоения X над компактом Q .

• (а)    Если u E C(Q, X ) , то ||| u ||| E C (Q) .

• (б)    Множество C (Q, X) является замкнутым векторным подпространством банахова пространства ' ^ (Q, X ) всех ограниченных сечений X, снабженного равномерной нормой k u k = ||Щ u Щ || = sup q _G Q ||u ⁽ q ⁾ k .

• (в)    Если u E C(Q, X ) и f E C (Q) , то fu E C (Q, X) . В частности, C (Q, X) является банаховым C (Q) -модулем.

• (г)    Множество C (Q, X) заполняет слои X. Более того, для любых q E Q и x E X(q) существует такое сечение u E C (Q, X) , что u(q) = x и | u | 6 | x | .

Доказательства утверждений (а)–(в) имеются, например, в [3, § 2.3]. Утверждение (г) принято называть теоремой Дюпре [13, 2.10]. Отметим, что эта теорема справедлива для банахова расслоения над произвольным топологическим пространством Q [5, 1.1].

Введенная выше топология трубок позволяет интерпретировать разнообразные топологические понятия и факты, касающиеся сечений u Е S (Q, X), в терминах соответствующих функций Q 0 и. Например [3, 2.3.7], сечение и Е S (Q, X) имеет предел x Е X(q) в точке q Е Q тогда и только тогда, когда предел функции Q 0 и : Q ^ Q 0 X в точке q равен (q, x):

lim u(p) = x О lim (p, и(р)) = (q, x) в Q 0 X . p→q             p→q

Согласно [3, 2.3.8] и теореме Дюпре последнее соотношение равносильно существованию такого сечения v Е C (Q, X), что v(q) = x и lim k u(p) — v(p) k = 0.

p→q

Пусть X — произвольное банахово расслоение над Q. Аналогами пространств Co(Q) и CDo(Q) являются пространства co- и CDo-сечений co(Q, X) = ©и Е S(Q, X) : |и| Е co(Q)}, CDo(Q, X) = C(Q, X) + co(Q, X), снабженные равномерной нормой. Пространство CDo(Q, X) было впервые рассмотрено Т. Хоим и Д. А. Роббинсом в статье [14] (там оно фигурирует как сумма Г(п)+Г(по)), где, в частности, построена линейная изометрия этого пространства на банахово пространство всех непрерывных сечений некоторого банахова расслоения X над удвоением Q компакта Q. (О том, как устроено расслоение X , мы поговорим чуть позже.) Кроме того, в [14] установлены некоторые взаимосвязи между C(Q)-линейными операторами из C(Q, X) в C(Q) и C(Q)-линейными операторами из C Q,X в C Q .

Достаточно очевидное разложение в прямую сумму CD o (Q, X) = C (Q, X) ® C o (Q, X) позволяет ввести в рассмотрение линейные проекторы ( * ) _c и ( * ) d пространства CD o (Q, X ) на соответствующие подпространства C (Q, X) и C o (Q, X). Таким образом, каждое сечение и Е CD o (Q, X ) единственным образом представляется в виде суммы и = и _с + U d своей непрерывной и _с Е C (Q, X) и «дискретной» U d Е c o (Q, X) частей.

Из упомянутой выше теоремы В. Г. Троицкого легко вывести ее дословный аналог для сечений.

Следствие. Сечение и Е S(Q, X) принадлежит CDo(Q, X) тогда и только тогда, когда и имеет предел в каждой точке Q. При этом непрерывная часть ис Е C(Q, X) сечения и Е CDo(Q, X) вычисляется формулой uc(q) = lim и(р) для всех q Е Q.

p→q

Несложная проверка показывает, что поточечная норма 111 и 111 : Q ^ R всякого сечения и Е CD o (Q, X ) принадлежит CD o (Q), причем | и | _c = | и _с | и | | и | _d | 6 | U d | . Таким образом, пространство CD o (Q, X), снабженное поточечной нормой |||•||| , является реше-точно нормированным пространством над банаховой решеткой CD o (Q) и пространством со смешанной нормой к и к = ° | и | ° [6, 7.1.1]. Кроме того, из ограниченности линейных проекторов ( - ) с и ( ^ ) d и полноты пространств C (Q, X) и c o (Q, X) вытекает полнота CD o (Q, X) относительно этой смешанной нормы к • к . Отметим также, что CD o (Q, X ) является банаховым CD o (Q)-модулем относительно поточечного умножения.

Обратимся теперь к представлению CD o (Q, X ) в виде пространства непрерывных сечений. Следуя [14], определим слои будущего банахова расслоения X над удвоением Q = Q _c U Q d следующим образом:

X(q c )= X(q d ) = X(q), q Е Q.

Далее, для каждого сечения u Е CD o (Q, X ) определим сечение e G S(Q,X), полагая e(q c ) := u c ^q), e^q d ) ^: = u(q), q ^{Е Q}.

Покажем, что множество

CX := ©e : u Е CDo(Q, X)} является непрерывной структурой в X . Действительно, в силу очевидной линейности отображения u ^ e множество CX является векторным подпространством S(Q,X). Кроме того, для любого сечения и Е CDo(Q, X) мы имеем |||u:||| = ||u|| Е C(Q). Наконец, множество CX содержит послойно плотное в X множество ©п : и Е C(Q, X)} и тем самым само является послойно плотным в X . Условимся сохранять символ X для обозначения непрерывного банахова расслоения X , CXe над Q и называть расслоение X удвоением расслоения X .

Теорема [14]. Отображение и ^ e осуществляет линейную изометрию CD o (Q, X ) на C(QX"}. При этом fu = fu для любых f Е CD o (Q) и и Е CD o (Q, X ) .

В качестве иллюстрации мы уточним связь между расслоениями и их удвоениями в случае постоянных расслоений, а также продемонстрируем согласование этой связи с переходом к подрасслоению, непрерывной заменой переменной и ограничением на топологическое подпространство. (Подробные доказательства всех приведенных ниже утверждений имеются в [4].)

Рассмотрим произвольное банахово пространство X и предположим, что X является постоянным банаховым расслоением над Q со слоями X (q) = X. Из определения удвоения X видно, что все его слои совпадают с X. Обозначим через const(Q,X) и const (Q, X) множества всех постоянных сечений расслоений X и X соответственно. Как легко видеть, const (Q,X) = ©e : c Е const(Q,X)} C C(QXY

Следовательно, const (Q,X) является непрерывной структурой в X, эквивалентной C X , а значит, X представляет собой постоянное банахово расслоение над Q со слоем X . Это наблюдение позволяет почти без изменений перенести все основные факты о пространствах сечений CD 0 ( Q, X) и C Q, X на случай пространств вектор-функций CD o (Q,X ) = C(Q,X )+ c o (Q,X) и C(Q,X ).

Далее, пусть X 0 — подрасслоение банахова расслоения X над Q , т. е. такое банахово расслоение над Q, что X o (q) является банаховым подпространством X (q) для каждой точки q Е Q и, кроме того, C(Q, X o ) = C(Q, X ) П S(Q, X o ) [3, 2.2.2; 6, 2.4.11]. Учитывая очевидное равенство c o (Q, X o ) = c o (Q, X) П S (Q, X o ), мы заключаем, что

CD o (Q, X o ) C CD o (Q, X) П S(Q, X o ).

Любопытно отметить, что множества CD o (Q, X o ) и CD o (Q, X ) П S(Q, X o ) могут как различаться, так и совпадать, причем оба случая возможны для нетривиальных подрасслоений X 0 (т. е. ненулевых и не равных всему X ). Вместе с тем, несмотря на возможное отсутствие равенства CD o (Q, X o ) = CD o (Q, X) П S (Q, X o ), аналогичное равенство для удвоений рассматриваемых объектов справедливо всегда: если X 0 — подрасслоение X , то X o — подрасслоение X и, в частности, C(Q, Xo) = C(Q,X) П S(Q, Xo).

Переходя к анализу согласования между процедурой удвоения и непрерывной заменой переменной, рассмотрим произвольные непустые компакты P и Q без изолированных точек. Для банахова расслоения X = (X, Сх) над Q и непрерывной функции у : P ^ Q символом Xоу обозначается банахово расслоение над P со слоями (X оу)(р) = X (у(р)) и непрерывной структурой {с о у : с Е Сх} [3, 2.2.6]. Как легко видеть, и о у Е C (P, X о у) для всех и Е C(Q, X).

Функцию у : P ^ Q назовем локально уникальной, если любая точка р о Е P имеет такую окрестность U С P , что у(р) = у(р о ) для всех р Е U \{ р о } . Оказывается, что непрерывные локально уникальные функции самым тесным образом связаны с пространствами CD 0 -функций и CD 0 -сечений. А именно, следующие свойства непрерывной функции у : P ^ Q равносильны:

• (1)    функция ϕ локально уникальна;

• (2)    прообраз у^{- 1} (q) любой точки q Е Q конечен;

• (3)    если f Е с о (Q), то f о у е c o (P );

• (4)    если f Е CD o (Q), то f о у е CD o (P ), (f о у) с = f о у, (f о у^ = f d о у;

• (5)    если X — банахово расслоение над Q и и Е c o (Q, X), то и о у Е c o (P, X о у);

• (6)    если X — банахово расслоение над Q и и Е CD o (Q, X), то и о у е CD o (P, X о у), (и о у) с = и с о у, (и о у) d = U d о у.

Не менее удачной оказывается связь локально уникальных функций с удвоениями P = P c U P d , Q = Q c U Q d . А именно, если определить ««удвоение» у : P ^ Q функции у : P ^ Q вполне естественными формулами

Т(Рс) := у(р)с, T(Pd) := у(p)d, р Е P, то функция у будет непрерывной тогда и только ^тогда, когда функция у непрерывна и локально уникальна. Непрерывность у : P ^ Q дает возможность рассмотреть банахово расслоение X о у над P (где X — по-прежнему банахово расслоение над Q). Как и следовало ожидать, в этом случае имеет место равенство X о у? = X о у, причем ? о у = иГоТу для всех и Е CDo(Q, X).

Пусть теперь P — непустой компакт без изолированных точек, являющийся топологическим подпространством Q. Для банахова расслоения X = (X, С х ) над Q символом X | р обозначается банахово расслоение над P со слоями (X | р )(р) = X (р) и непрерывной структурой { с | р : с Е С х } [3, 2.2.5]. Сразу отметим очевидное равенство C(P, X| р ) = C(P, X), где C(P, X) — множество всех непрерывных сечений расслоения X , определенных на P [3, 2.1.2]. Вновь оправдывая ожидания, удвоение P компакта P оказывается топологическим подпространством удвоения Q компакта Q . При этом имеют место следующие соотношения:

• (а)    X | р = X \ е и, в частности, CLP, X | pj = C{PX );

• (б)    и | р = y \ e для всех и Е CD o (Q, X);

• (в)    если и Е CD o (Q, X), то Ц_Р Е CD o (P, X | р ), (и | р ) _с = и с | р , (и | р ) d = u d | p .

Из определения удвоения Q = Q c U Q d видно, что отображение ( • ) _с является гомеоморфизмом Q на замкнутое подмножество Q c С Q. Это наблюдение позволяет, рассматривая ( • ) _с в качестве отождествления, считать Q топологическим подпространством Q. Тогда, принимая это соглашение, мы приходим к следующим равенствам:

(а⁰) X о ( . ) _с = X | _Q = X;

(б⁰) ? о ( • ) _с = u|q = и для всех и Е C (Q, X).

В соответствии со сложившейся традицией, вводя в рассмотрение какие-либо новые объекты, мы не можем позволить себе оставить в стороне исследование соответствующих морфизмов. Пусть X и Y — банаховы расслоения над Q. (Как и прежде, Q — непустой компакт без изолированных точек.) Символом S[X, Y] обозначим совокупность всевозможных функций H , определенных на Q и сопоставляющих точкам q ∈ Q ограниченные линейные операторы H(q) : X(q) ^ Y(q). Как легко видеть, S[X, Y] является векторным пространством относительно поточечных операций.

Для H Е S[X , Y ] и u Е S(Q, X ) будем обозначать символом Hu сечение расслоения Y , определяемое формулой (Hu)(q) = H (q)u(q). Введем в рассмотрение векторные подпространства C[X , Y ], c o [X, Y ], CD o [X , Y ] С S[X , Y ], состоящие из тех функций H Е S[X, Y ], для которых из и Е C (Q, X) следует Hu Е C (Q, Y ), Hu Е c o (Q, Y ), Hu Е CD o (Q, Y ) соответственно. Элементы этих трех подпространств условимся называть соответственно гомоморфизмами, c 0 -гомоморфизмами и CD 0 -гомоморфизмами из X в Y . Использование термина « CD 0 -гомоморфизм» оправдано еще и тем фактом, что пространство CD o [X , Y ] состоит в точности из тех функций H Е S[X , Y ], для которых из u Е CD o (Q, X ) следует Hu Е CD o (Q, Y ).

Как легко видеть, C[X, Y ] + c ₀ [X, Y ] С CD ₀ [X, Y ].

С помощью принципа ограниченности можно показать, что sup _qG Q ||H(q) | <  го для любого CD o -гомоморфизма H . При этом каждое из пространств C[X , Y ], c o [X, Y ], CD o [X , Y ] является банаховым пространством относительно равномерной нормы k H || = suP qeQ k ^{H (} q) k .

Простым примером c o -гомоморфизма служит любая функция H Е S [X, Y ], поточечная норма ||| H ||| : q ^ | H(q) | которой принадлежит C o (Q). Тем не менее множество C o [X, Y ], вообще говоря, не исчерпывается функциями такого вида. Действительно, из приведенных в [14, Example 9] построений следует, что в случае сепарабельного компакта Q существует c 0 -гомоморфизм, поточечная норма которого равна единице на всюду плотном подмножестве Q . Более того, можно утверждать, что вне зависимости от свойств Q поточечной нормой c 0 -гомоморфизма может быть совершенно произвольная ограниченная положительная функция f : Q ^ R. А именно, для любого непустого компакта Q без изолированных точек существуют банаховы расслоения X и Y над Q такие, что для произвольной функции 0 6 f Е ' ^ (Q) найдется c o -гомоморфизм H Е c o [X, Y ] с поточечной нормой ||| H ||| = f . Стоит отметить, что в качестве X и Y можно выбрать постоянные расслоения, т. е. сформулированное выше утверждение сохраняет силу для функций H : Q ^ B(X, Y ), где X и Y — банаховы пространства.

Как уже отмечалось, сумма гомоморфизма и c 0 -гомоморфизма представляет собой CD 0 -гомоморфизм. Менее очевидным представляется тот факт, что такими суммами исчерпывается все множество CD 0 -гомоморфизмов. А именно, имеет место разложение в прямую сумму

CD o [X, Y ] = C [X, Y ] ф c o [X, Y ].

В частности, любой CD o -гомоморфизм H Е CD o [X , Y ] единственным образом представляется в виде суммы H = H c + H d , где H c Е C [X, Y ] и H d Е c o [X, Y ]. При этом ||H c k 6 ||H|| и k H d k 6 2 | H || для всех H Е CDo[X, Y ].

Очевидное неравенство k fH || 6 ||f UH || (f Е CD o (Q), H Е CD o [X, Y ]) позволяет заключить, что CD o [X, Y ] является банаховым CD o (Q)-модулем.

Теперь рассмотрим удвоения X и Y банаховых расслоений X и Y и для каждого CD o -гомоморфизма H Е CD ₀ [X, Y ] определим функцию H Е S£X,Y ], полагая

H ( q c ) := H c ( q ) , H ( q d ) := H ( q ) , q Е Q.

e

Теорема. Отображение H → H осуществляет линейную изометрию банахова про странства CD ₀ [X, Y ] на CX,^Y] . При этом для любых f Е CD ₀ (Q), u Е CD ₀ (Q, X ) и H Е CD o [X , Y ] имеют место равенства Hu = He и fH = fH.

Для произвольной определенной на Q функции G положим

G | c := G ◦ (O c = G( - , 0), G i d := G ◦ (O d = G( - , 1).

Тогда из последней теоремы вытекает следующее описание гомоморфизмов из X в Y: функция G E SX,Y ] принадлежит CX,Y ] в том и только в том случае, если

G | c E C [X, Y ], G i d - G | c E c o [X, Y ]

или, что равносильно,

G i d E CD o [X, Y], G | c = (G | d ) c .

Отметим также, что образы пространств C[X , Y ] и C o [X, Y ] относительно изометрии H ^ H описываются следующими формулами:

{ H : H E C [X, Y ] } = { G E CXY\ : G | c = G i d }

= ^{ G E S X,Y\  : G | c = G i d E C [X, Y ] },

{ H : H E c o [X, Y ] } = { G E C fY\ : G |c = 0 }

• = ^{ G E S X,Y\  : G i c = 0, G i d E c o [X, Y ] }.

Приведенные выше сведения позволяют легко описать пространства гомоморфизмов, c 0 -гомоморфизмов и CD 0 -гомоморфизмов в терминах их действия в банаховых модулях. Для произвольных банаховых C (Q)-модулей U и V обозначим символом Hom(U, V) банахов C (Q)-модуль всех ограниченных C (Q)-линейных операторов из U в V. Кроме того, для H E CD o [X , Y ] определим функцию Th : C (Q, X) ^ CD o (Q, Y ), полагая ( T h u)(q) = H (q)u(q) для всех u E C (Q, X) и q E Q. Тогда отображение H ^ Th осуществляет C (Q)-линейные изометрии между следующими парами банаховых C (Q)-модулей:

C[X, Y]    ~ Hom (C(Q, X),C(Q, Y)), co[X, Y]    ~ Hom (C(Q, X),co(Q, Y)),

CD o [X, Y ] ~ Hom ( c ( q, X),CD o (Q, Y )).

В частности, банаховы пространства CD o [X, Y ], C X,Y\, Hom (C(Q, X),CD o (Q, Y )) и Hom (C(Q,X),C(Q,Y)) линейно изометричны. Кроме того, имеет место разложение в прямую сумму

Hom (C(Q, X),CD o (Q, Y )) = Hom (C(Q, X),C(Q, Y )) Ф Hom (C(Q, X),c o (Q, Y )).

Таким образом, любой ограниченный C (Q)-линейный оператор T : C (Q, X) ^ CD o (Q, Y ) единственным образом представляется в виде суммы T = T _c + T d ограниченных C (Q)-линейных операторов T c : C(Q, X ) ^ C(Q, Y ) и T d : C(Q, X ) ^ c o (Q, Y ). При этом T c = T h _c и T d = T H d , где H — такой CD o -гомоморфизм из X в Y , что T = Th .