Пространства Орлича, порожденные параметризованными функциями Юнга векторного аргумента

Как известно, пространство Орлича L состоит из измеримых функций р , определенных на каком-либо пространстве с мерой ( T , T , Ф ) , и порождается неотрицательной функцией Ф , обладающей рядом свойств. При этом, если мы рассматриваем векторные функции р : T — X , где X - нормированное пространство, то естественно считать, что порождающая функция Ф определена на X .

Впрочем, функция Ф (как это часто принято) может быть определена на [ 0, ж ) , но тогда в определении пространства L непосредственно участвуют не значения p ( t ) самих функций р , а нормы | p ( t ) этих значений в пространстве X . Очевидно, такой подход сводится к предыдущему путем замены функ-

ции Ф на Ф 1 = ф(-|) (например, если ф ( u ) = u p , и >  0 , где p >  1 , то ф ( x ) = | x| p и L ф = L^p ).

На самом деле мы будем рассматривать еще более общую ситуацию, когда порождающая функция Ф определена на T х X . Такую функцию мы называем параметризованной функцией Юнга (роль параметра играет аргумент t е T , который в то же время является переменной интегрирования по мере ф ). В подобной ситуации пространства Ор-лича изучались в [1] и [2], но при более жестких ограничениях на функцию Ф .

В основе настоящей работы лежит заметка [3], не содержащая доказательств.

Статья состоит из трех параграфов. В §1 введены исходные объекты: пространство с мерой ( T , T , ф ) и банахово пространство X . Дано определение функции Юнга Ф и рассмотрены ее свойства, необходимые для дальнейшего изложения.

В §2 определяется пространство Орлича L . В него вводится норма Амемии и доказываются некоторые ее свойства, из которых важнейшими являются критерии сходимости и фундаментальности последовательности функций ф _п G L _ф .

В §3 доказывается полнота пространства Орлича Ь_ф , снабженного нормой Амемии.

В отличие от "скалярного" случая (когда функция Юнга определена на T хР ) "векторная" ситуация требует привлечения нетривиальных сведений из выпуклого анализа.

У читателя статьи предполагается знание основ теории нормированных пространств, а также основ теории меры и интеграла.

• §1 . Функция Юнга и ее свойства

Всюду в дальнейшем ( Т , T , ^ ) - пространство с а -конечной полной мерой, где ^ Т >  0, а X - вещественное сепарабельное банахово пространство с нормой |-| и нулем 0, причем X / { 0 } (|{ и 0 будут использоваться также в "числовом" смысле).

Пусть B - совокупность всех борелев-ских множеств в X . Функция ф : Т ^ X называется T -измеримой, если ( V B g B ) Ф ¹ ( B ) g T (как известно, в качестве множеств B в этом определении достаточно брать замкнутые или открытые множества). Обозначим через S множество всех T -измеримых функций ф : Т ^ X , отождествляемых при равенстве ^ -п.в. При обычном определении векторных операций над такими функциями (сложение и умножение на скаляр) S является вещественным векторным пространством с нулевым элементом 9 ( 9 ( t ) = 0 ^ -п.в.).

Определение 1.1. Функция Ф : Т х X ^ [ 0, да ] называется функцией Юнга ( с параметром t g Т ) , если при каждом x g X функция ф ( - , x ) : Т ^ [ 0, да ] T -измерима, а при каждом t g Т функция ф ( t , • ) : X ^ [ 0, да ] удовлетворяет следующим условиям:

• a )    ф ( t ,0 ) = 0 ;

• b )    четность, т.е.

(Vx g X) Ф(, — x) = Ф(t, x);

• с )    выпуклость, т.е. для любых x , y g X и a g ( 0,1 ) ;

Ф ( t , ax + (1 — a ) y ) <  a Ф ( t , x ) + ( 1 — a ) ф ( t , y ) ;

• d)    полунепрерывность снизу, т.е.

Vx G X

ф ( t , x ) = liminf Ф ⁽ t , y ) ;

y ^ x

• e )    V x ^ 0 ( 3 a >  0 ) ф ( t , a x ) >  0 ;

• f)    функция ф ( t , • ) ограничена в некоторой окрестности точки 0.

Пусть дана (до конца статьи) функция Юнга Ф : Т х X ^ [ 0, да ] . Установим некоторые свойства функции ф ( t , • ) при фиксированном t g Т .

Из условий c) и f) вытекает ([4], пункт 2.6.2, предложение 3б), что функция ф(t, •) непрерывна на Int (dom ф(t, •)), где dom ф(t, •) := {x g X :ф(t, x )<да}, а Int A обозначает внутренность множества A . В частности, так как (см.  f))

0 g Int (dom ф(t, •)), то, в силу а), lim ф(t, x ) = 0.            (1.1)

x ч0

Отметим, что множество dom Ф ( t , • ) , как очевидно, выпукло.

Рассмотрим поведение функции ф ( t , • ) на произвольном луче, выходящем из точки 0 g X , т.е. на множестве { a x : a >  0 } , где x ^ 0 . С этой целью зафиксируем t и x ^ 0 и положим

g ( a ) : =ф ( t, a x ) , a >  0 .

Так как функция g : [ 0, да ) ^ [ 0, да ] выпукла и g ( 0 ) = 0 , то отношение g ( a ) / a является неубывающей функцией от a g ( o , да ) (тем более, сама функция g - неубывающая на [ 0, да ) ). Следовательно, существует

r ( t , x ) : = lim a^{— 1} ф ( t, a x ) ,     (1.2)

a ^да причем, в силу условия (е), r(t, x)> 0. Отсюда, в частности, следует, что lim ф(t, ax) = да.

a ^да

Положим далее (по-прежнему при фиксированных t и x ^ 0 )

d ( t , x ) : = sup { a >  0: Ф ( t , a x ) < да } , так что 0 <  d ( t , x ) < да (см. f) ). Ясно, что

( 0, d ( t, x )) c Int { a : g ( a ) < ^ } .

Следовательно, функция g непрерывна на [0, d (t, x)) (см. выше ссылку на [4] и (1.1)). При этом, если d (t, x) < ^, то, в силу условия d), в 1imy g(в)= g(d(t,x)) • в —— d (t, x)-0

Таким образом, при любом a > 0 (с учетом равенства    Ф(t ,ax )=»    при a > d (t, x ))

lim ф ( , fi x ) = ф ( , a x ) •     (1.3)

в —— a —0

Обозначим через T ® B произведение а -алгебр T и B , т.е. а -алгебру на T x X , порожденную совокупностью { A x B : A e T , B e B } .

Лемма 1.1. Функция Юнга Ф (T ® B) - измерима.

Доказательство . Пусть счетное множество Y плотно в X . Возьмем произвольное c e [ 0, да ) и покажем, что {( t , x ) : ф ( t , x ) < c } =

= U_c , где

Uc := AU[{ t:ф(t, y )

Тем самым лемма будет доказана, так как очевидно, что U_ceT ® B.

Итак, пусть   o(t, x)< c, так что x e dom ф(t, •). Рассмотрим два случая.

• 1)    x e Int (dom o(t, •)). Тогда, в силу непрерывности функции o(t, •) в точке x, для любого n eN существует такая окрестность точки x, что ф(t, y)< c + n¹ для всех у из

этой окрестности. Отсюда следует, что ⁽t, x^)eUc.

• 2)    x – граничная точка множества dom ф(t, •) (значит, x ^ 0). Тогда ([5], теорема V.2.1, доказательство)

(Vae(0,1)) ax e Int (dom ф(( •)), так что функция ф(t, •) непрерывна в точке ax. При этом (Va e (0,1)) O(t, ax) < c . Исходя из этого при произвольном n eN возьмем an > 0 в интервале (1 — (2n|x|) 1,1) и найдем такое у e Y, что |у — anx <(2n )1 Ф(t, У )< c + n 1. Тогда

Ix — у| < ⁽1 — a_n)x| + |y — anx< n¹

и

Это значит, что (t, x) e U_c.

Пусть теперь   ф(t, x)>c . Тогда

ф(t, x)>c + n¹ при достаточно большом n e N. Согласно условию (d) существует такое 5 > 0, что если   |у — x| < 5, то

Ф(t, У) > c + n¹. При этом можно считать, что n¹< 5. Отсюда следует, что (t, x)^ U_c.

Следствие       1.1.       Функция

• r: T x (X \ {0}) — — (0, да], определенная равенством (1.2), T ® B -- измерима.

Доказательство. Положим (при a > 0) O_a (t, x )=o(t ,ax).  Так как функция Ф

(T ® B) - измерима, то, как нетрудно показать, при каждом a > 0 функция Ф_й также (T ® B) - измерима. Остается заметить, что r(t, x) = lim n¹ ф(/, nx).

n—да

Из леммы 1.1 вытекает ([6], теорема 1, [7], пункт 1.4, [8], §2, предложение 1) суперпозиционная измеримость функции Ф, т.е. T - измеримость суперпозиции Ф(^, (р (•)) при любой функции pe S. Для удобства читателя приведем несложное доказательство этого утверждения.

Итак, пусть    peS. Положим

Gp(t) = (t, p(t)), т.е. Gp : T — Tx X является соответствующей график-функцией. Тогда если A eT, B eB, то

G_p 1(AxB) = {t e A: p(t)eB } = Anp” 1(B)eT

Поэтому (VD e T ® B) G—¹(D) e T. Положим далее D = Ф^-1([0, c]), где c e [0, да). Тогда по лемме 1.1 D eT ® B, так что

{t:Ф(t, pt))<c } = Gp(D)eT.

Таким образом, функция Ф(•,p(•)) T -измерима.

Аналогично в силу следствия 1.1 функция r суперпозиционно измерима.

• §2 . Пространство Орлича и норма Амемии

Рассмотрим интегральный функционал I: S — [0, да], где I(p) := j ф(t, p(t))d^.

T

Из условий а), b), с) определения 1.1 вытекают аналогичные свойства функционала

I: I(0) = 0;           (Vфe S)I(- ф) = I(ф);

V(ф,и е S, a е(0,1))

I(a^ + (1 - aЩ)< aI(ф)+ (1 - a)IЩ). (2.1)

Определение 2.1. Пространство Орли-ча L определяется равенством

Lф := {фе S :(За > 0) I (аф) < да}.

Из указанных выше свойств функционала I вытекает, что L^ является векторным подпространством в S . Действительно, пусть фе Lq , т.е.   (За > 0) I (аф)<да.   Тогда

(VАeP \{0}) I((а^ ¹ Аф)= I(аф)<да, т.е. Аф е L_o. Далее, пусть ф, ф₂ е L_ф, т.е. (З а_i■ > 0) I(аф^да, i = 1,2. Положим а = min (а ,а₂). Тогда

I(2^-1аф + ф₂)) < 2^-1(I(аф) +1(аф))< да, т.е. ф₁+ ф₂е Lф.

Далее нам понадобится следующая терема об измеримости проекции и измеримом выборе [9], [10], [11].

Теорема А. Пусть (T,Т, р) - пространство с а -конечной полной мерой, X - полное сепарабельное метрическое пространство. Тогда если непустое множество C eT ® B, то prTC е Т (где prTC := {t е T:(Зx е X)(t,x)е C}), и существует T -измеримая функция ф: prTC ^ X, график которой содержится в C, т.е. {(t, ф(t)): t е prTC }с C.

Лемма 2.1. L® ^ {о}.

Доказательство. Из условия (f) следует, что Vt е T (Зx ^ 0) ф(t, x) < да, т. е. pr_TC = T, где C := {(t,x):x ^ 0,ф(t,x)< да}. В силу леммы 1.1, C еТ ® B. Тогда, по теореме А, существует функция ф е S, график которой содержится в C , т.е. (Vt е T) ф(t)^ 0 и ф(t, ф(t))< да.

Пользуясь счетной аддитивностью и а -конечностью меры р, найдем такое E еТ, что 0 < рЕ <да и sup{ф(t, ф(t)): t еE }<да. Тогда ф₀ := х_Еф ^ 0 (х_Е -характеристическая функция множества Е) и Iф)<да, т.е. ^ф0 ^{е L} ф .

Для введения нормы в пространство L положим при фе L_<1> и а > 0

h(а,ф):= а '(1 +1(аф)).

Теорема 2.1. Равенство

||фф := inf {h(а,ф) :а > 0} определяет норму в пространстве Lф, назы- ваемую нормой Амемии.

Доказательство. Очевидно, (Vф е L^)

0 < |ф|| <да, причем V(фe Lф, Ае □ ) фф

0| = 0 . Ясно также, =И -I |ф|| .

что

Докажем неравенство треугольника. С этой целью для произвольных ф,щ е L® и s > 0 найдем такие а, в > 0, что h(а, ф)< ||ф|| + s и h(в И)< ЩИ + s . Тогда

|| ф + Щ <(ав)-1 (а + в )х х 1 +1 (ав (а + в )-1 (ф + И))].

Но, в силу (2.1),

I (ав (а + в)^-1(ф + И ))< в(а + в)^-11 (аф) + + а (а + в)^-11(вИ)

Поэтому

||ф + Щ| < а - + в' + а¹1(аф) + в'1(вф) < < И+1И^+2s, откуда следует требуемое неравенство.

Докажем наконец, что если ф ^ 0, то

||Ц > 0. Действительно, так как рА > 0, где А := {t: ф(t) / 0}, то, в силу теоремы Б.Леви и (1.2),

c := lim h(а, ф) = f r(t, ф(t))dp > 0. а ^w J

A

Возьмем такое в > 0, что (Vа > в) h(а, ф) > c /2. Но так как (V а е (0, в]) h(а,ф)>1/в, то Ц > min(c / 2, 1/ в)>0.

Рассмотрим некоторые свойства нормы Амемии.

Лемма 2.2. Если ф е L_ф \ {о},  то

I(И-1ф)<1.

Доказательство. Пусть сначала Ц < 1. Тогда (За > 0)h(а,ф)< 1, т.е. 1 +1(аф)< а, откуда а > 1. Поэтому, в силу (2.1),

I (ф)< а 11 (аф )< 1 - а 1 < 1.     (2.2)

Возьмем     теперь     произвольное ф е Ьф \ {0}. Тогда, с учетом (2.2),

(Vn eN)I((1 - n 1)фф)< 1.

Переходя здесь к пределу при n ^ да, получим, в силу (1.3) и теоремы Б. Лени, требуемое неравенство.

Следствие 2.1. Если Ц < 1, то

I (м)< м •

Доказательство. Достаточно считать, что М ^ в. Тогда, в силу (2.1) и леммы 2.2,

I М)< м • I(и ~м)< М •

Теорема 2.2 (критерий сходимости по норме). Если и gL^ ^п = 1,2,—, то MnIR0 при п ^ да тогда и только тогда, когда

(Va > 0) lim I (a| )= 0 • п чда

Доказательство. Если М_п| Н 0 при п ^да , то Va > 0, в силу следствия 2.1, I^(аМп )^ 0.

Пусть (Va > 0) I(<Мп )^ 0. Тогда (Ve > 0) (Яп0) (Vп > п0) I(е~Мп )< 1, откуда (Vп > п0) М„ 11 < 4 + I(е~M„ ))< 2е •

Аналогично доказывается критерий фундаментальности: если и g L_Ф , п = 1,2,...,то IIМ — М\Н 0 при m, п ^да тогда и только тогда, когда

(Va > 0) lim I{a(im - Мп )) = 0.  (2.3)

m, п ^да

Замечание 2.1. В теории пространств Ор-лича используется также так называемая норма Люксембурга Ц|_г, представляющая собой функционал Минковского выпуклого множества {|g Lф :I(м)< 1}, т.е.

|| ML := inf { a > 0: I (a ~М)< 1}.

При этом нормы Амемии и Люксембурга эквивалентны, а именно:

(V|e Lф ) Ml < M < 2Ml.

• §3 . Полнота пространства Орлича

Следующий пример [12] показывает, что пространство (L_ф, ||-||) может быть неполным.

Пример 3.1. Пусть множество T состоит из одной точки t₀(так что а -алгебра T = {0, T}), причем цГ = 1. Пусть, далее,

X = C [0,1] - пространство непрерывных функций x: [0,1]^ Р c нормой

| x = max{| x(а) : a g[0, 1]}.

Как хорошо известно, это пространство полно и сепарабельно. Наконец,

ф(t, x) := j Ix(a)da.

Очевидно, данная функция

Ф : Г x C[0, 1] ^ ^ [0, да) удовлетворяет всем условиям из определения 1.1 (в частности, функция ф(t, •) непрерывна на C[0, 1]), так что ф - функция Юнга.

Так как Г = { t₀}, то любая функция М: Г ^ X T -измерима и пространство S фактически совпадает с X = C[0,1]. И так как цГ = 1, то

(V | g S)IМ) = j x(a )da < да, где x = |(t0). Таким образом, Lo = S, причем

\

I^M = inf ЦI I + ^a

2j x(a) da :a > 0

0'            J

= j |x(a)da, т.е. пространство (Lф, ||-||) изометрично пространству непрерывных функций x: [0,1] ^ Р с нормой

I x 1 =j x^(a ) ^da •

Но, как хорошо известно, это пространство неполно. Значит, и пространство (Lф, | Jj) не- полно.

Теорема 3.1. Если функция Юнга ф удовлетворяет условию

(Vt g Г)liminf Ф(t, x)>0,      (3.1)

I x| ^да то пространство Орлича (L(P, ||-||) полно.

Замечание 3.1. Очевидно, из (3.1) вытекает условие е) из определения 1.1. Отметим ещё, что для функции Юнга ф из примера 3.1 условие (3.1) не выполняется. Действительно, возьмем непрерывные функции x, :[0, 1]^ [0, да), п = 1,2,..., такие, что

(Vn) xn (a) = 0 при n1 < a< 1 и |xn| = nn . Тогда |xn| > м при n > м , но lim ф(t, хп) = lim n >м          n >м

J xn^(a)^da =⁰,

так что        lim inf 0(t,х) = 0.

х| ^«

Доказательство Теоремы 3.1. Пусть {ф_п} – последовательность Коши в пространстве L , так что выполняется условие (2.3). В частности,

(vk e N) lim I(2k (ф - фп ))= 0, m, n >м и так как

• 1    (2 k (Фт - In ))>

• >k^{t :ф[t, 2^k(фт(t)-Фп(t))]>k ¹ }, (3.2) то Vk правая часть неравенства (3.2) стремится к нулю при т, n >м. Поэтому найдется такая подпоследовательность {in_k} (далее у_к := ф„_к), что (V к )A < 2 ^к ,где

Ak^:= ^{t^{:ф [t}, ^{2 к}(фк^(t)-Фк+i^{(t ))]}>^к ' ^}.

Отсюда следует, что   рВ = 0, где

В = пиАк . n >1 к > n

Зафиксируем t g T \ В. Нетрудно проверить, что lim ф, 2 к фк (t) - фк+i(t))] = 0.

к ^м

Отсюда и из (3.1) следует, что a a > 0 (v к) 2к фк(t)- у к+i(t) < a. Но тогда последовательность {ук (t)} фундаментальна в X и, в силу полноты X , сходится. Положим, ф(t) = lim ук (t) при t g T \ В и ф(t) = 0 при к ^м t g В. Тогда фе S. Остается показать, что ф g Lф и фкк - ф|| ^ 0 при к > м.

Возьмем произвольные а > 0 и £ > 0.

В силу (2.3)

(Зр g N)V(к, l > p)I(2а(фк — ф)) < £ . (3.3)

Так как при любых t g T их, y g X (в силу выпуклости функции ф(t, •))

Ф(t,у)< 2^-1^(t, 2(у - х))+ ф(1, 2х)] и   ф(t, 2(у - х))^ 0 при х^у, то

^(t, У ) < 2 1 lim inf ф(t, 2х). Отсюда следует, х ^ у что Vt g T \ В и Vк

ф, а(Фк (t)- ф(t))]<

< 2 1 lim inf ф[t, 2а (уу (t) - у (t))].

l ^м

Поэтому, в силу теоремы Фату ([5], теорема III, 6.19) и (3.3),

^(vк > р)^{1 (а(}Фк^-ф)) <

< 2 ¹ lim inf I (2а(у - у)) < £ / 2.

l >м

Следовательно,   (Vк > р) у: - ф g Ьф

(откуда и ф g L_ф) и |ф - ф| > 0 при к ^ м.

Тем самым полнота пространства (к_ф, ||•||) доказана.