Пространственная селективность шестиволнового преобразователя в параболическом волноводе с резонансной нелинейностью при одномодовых волнах накачки

Многоволновые взаимодействия (трех-, четырех-, шести- и т. д.) широко используются в задачах преобразования частоты [1–3], нелинейной спектроскопии [4; 5], нелинейной адаптивной оптики [6; 7], обработки в масштабе реального времени оптических изображений, сигналов [8–10 ] , интерферометрии [7; 11]. Переход к многоволновым процессам более высоких порядков расширяет круг решаемых задач. Например, переход от четырехволновых к шестиволновым процессам позволяет наряду с волной с обращенным волновым фронтом (ОВФ) получить волну с удвоенным обращенным волновым фронтом [12; 13], реализовать функцию корреляции интенсивностей волн [14] и т. д.

Использование нелинейных процессов высоких порядков требует применения, как правило, мощных источников когерентного излучения. Снижение требований к интенсивности источников излучения, используемого в многоволновых процессах, возможно при рассмотрении таких процессов в волноводах, в которых удается за счет увеличения длины взаимодействия при неизменной интенсивности излучения значительно

повысить эффективность нелинейных процессов [15–18]. Еще большее снижение интенсивности излучения возможно, если в качестве нелинейной среды в волноводах использовать среду с резонансной нелинейностью, в которой за счет подбора частот взаимодействующих волн можно на несколько порядков повысить значение нелинейной восприимчивости [19–21].

При применении шестиволновых преобразователей в системах адаптивной оптики для обработки оптических сигналов необходимо знание соответствия между комплексными амплитудами волн на входе (сигнальная волна) и выходе (объектная волна) таких преобразователей. В работах [22; 23] при использовании в качестве многомодовых волноводов с резонансной нелинейностью волноводов с параболическим профилем показателя преломления (параболический волновод), с бесконечно проводящими стенками проанализировано влияние на качество обращения волнового фронта при вырожденном шестиволновом взаимодействии ш + ш —ш + ш —ш = ш интенсивности волн накачки, гауссовой структуры одной из волн накачки.

Настоящая работа посвящена анализу качества ОВФ при вырожденном шестиволновом взаимо-

действии в параболическом волноводе с резонансной нелинейностью при условии одномодовых волн накачки с равными номерами мод.

при распространении первой (второй) волны накачки и сигнальной волны:

*           *

1. Модель шестиволнового преобразователя излучения

Имеется двумерный волновод, расположенный между плоскостями z = 0 и z = l . Волновод состоит из вещества с показателем преломления n ( x ) , коэффициентом поглощения а₀ и ансамбля частиц с коэффициентом поглощения а^ ^ а₀ . Частицы описываются многоуровневой схемой энергетических уровней. В волноводе распространяются волны накачки с комплексными амплитудами A^, А₂ и сигнальная волна с комплексной амплитудой А ₃. Шестиволновое взаи-

^a 1,2

~

A 1,2 A 1,2 A 1,2 a 3

1 + bl lAvl

^{+ b} 2

Разложим амплитуды взаимодействующих волн

по модам волновода:

модействие

обусловлено

нелинейным

поглощением излучения ансамблем частиц. В среде   наводится   нелинейная   поляризация

P ™ ~ ( A^A ₃ + A₂A ₂) A₁A₂A .₃, которая выступает в качестве источника объектной волны с комплексной амплитудой A , волновой фронт которой «обращен» по отношению к волновому фронту сигнальной волны.

При условии, что частицы среды моделируются либо трехуровневой схемой энергетических уровней с возбужденными синглетными уровнями, либо четырехуровневой схемой энергетических уровней [24; 25] в приближении заданного поля по волнам накачки, составляющая коэффициента поглощения ансамбля частиц, ответственная за генерацию при шестиволновом взаимодействии волны с ОВФ, имеет вид [22]:

Ò

A l ( x , z ) = 2 a 1 n ( z ) ^fn ( x ) exP ( — i ^P n z ) , n = 0

Ò

A 2 ( x , z ) = 2 ^a 1 m ⁽ z ) f m ⁽ x ) exP ⁽ i ^₽ m z ) ’ m = 0

Ò

A 3 ( x , z ) = 2 a 3 s ( z ) ^fs ( x ) exP ( —^Ф s z ) , s = 0

Ò

A6 (x, z) = 2a6r (z)fr (x)exP(^rz), r=0

где “ jp ( z ) - коэффициенты в разложении ампли-

туд взаимодействующих волн по модам волновода; f p ( x ) — P —я мода волновода; P p - постоянная распространения p -й моды; j = 1 ^ 3 , 6 ; p = n , m , s , r ;

Ò – число отсечки; x – поперечная координата.

С учетом разложения сигнальной волны от точечного источника, расположенного на передней грани волновода A ₃ ( x , z = 0 ) = 5 ( x - x ₀) , по модам волновода и, например, одномодовой первой волны накачки A^ ( x , z = 0 ) = a 0_n f _n ( x ) выражение для коэффициента поглощения (2) с точностью

до постоянного множителя перепишется следующим образом:

^a 1 = a ₁₀

( *           *             *

A^A^ + A₂A ₂ I A^AA₃

( 1 + b l I 0 + b 2 I 2 ) *          *

,

^a 1 ^{( x} , z ) = ( ^{a 0} n ) f 3 ^{( x} ) exp [- i ( p n ^- p * n ) z ] x

где I _o = A^A + A₂A ₂; b и b₂ - коэффициенты, определяемые сечением поглощения (излучения) ст ij и вероятностью безызлучательных переходов 5 ij между i и j энергетическими уровнями; ^а10 = N СТ 2> N — концентрация частиц.

Если интенсивность одной из волн накачки, например первой (второй), намного больше интенсивности второй (первой) волны накачки, то формально возникновение объектной волны с ОВФ можно рассматривать как результат дифракции второй (первой) волны накачки на «решетке» коэффициента поглощения ( а‘₂ ) , возникающей

N xXf (x)f* (x0 )exP [-i(₽n -e*) z]x s=0

x

^{1 + b} 1 ( ^a0n ) ^fn2 ( ^x ) ^exP ^[- i ( ₽ n ^-₽ * n ) z ] ⁺

^{+ b} 2 ( ^a 10 n ) ^f4 ( ^x ) ^exP ^{[- 2} i ( ^e n

*

-

P

n

- 2

В приближении заданного поля по волнам накачки при малом коэффициенте преобразования распространение волн накачки, сигнальной и объектной волн в среде с резонансной нелинейностью описывают четыре уравнения вида [23]:

[v ² + k ² n ² ( x ) - 2 ik a₀ ] A j = 0 , j = 1 - 3 ,               (5)

а                                                  б

Рис. 1. Зависимость коэффициента поглощения от продольной и поперечной координат в случае n = 0, a₀ £ = 10 ² b ₂ / b 2 = 0,1, £ ^2 62 / x q = 10, I = 0,01 ( а ); 10 ( б

Fig. 1. Absorption coefficient versus the longitudinal and transverse coordinates for n = 0, a₀ £ = 10 ^{- 2} b ₂ / b 2 = 0,1, £^ 2s₂ / x q = 10,

I = 0,01 ( а ); 10 ( б )

*

[v ² + k ² n ² ( x ) - 2 ik a₀] A ₆ = ik a₀₁ --- ⁰¹²³ . (6)

^{L                        J}              ( 1 + b 1 1 0 + b 2 1 02 )

Уравнения (5)–(6) с учетом (3)–(4) позволяют найти функцию размытия точки (ФРТ) шестиволнового преобразователя излучения ( G ( x , x ₀) ), которая устанавливает однозначную связь между комплексными амплитудами объектной и сигнальной волнами:

A ₆ ( x , z = 0 ) = J G ( x , x ₀) A ₃ ( x ₀, z = 0 ) dx^ , полностью определяет качество ОВФ.

Как показано в работах [22; 23], при малом коэффициенте отражения и выполнении условий фазового синхронизма функция размытия точки шестиволнового преобразователя излучения на резонансной нелинейности в многомодовом волноводе при условии одномодовых волн накачки с равными номерами мод ( n = m ) имеет вид

M

G ( x , x 0 , z = 0 ) = G 0 ^ f ⁽ x ) f ⁽ x 0 ) У nnnnrr .           ⁽⁷⁾

r = 0

Здесь G – коэффициент, определяющий эффективность шестиволнового взаимодействия; £

^Y nr = J y nnnnrr ( z ) exp ( ^-4^a 0 z ) dz ;

0                                [              \2

Y nnnnrr ( z ) = J f4 ( x ) f2 ( x ) dx I 1 + b1 ( a0n ) x x fn2 (x)exp [-2a0z] +

4- I ²

^{+ b} 2 ( ^a 10 n ) ^{f ( x} ) ^exP ^{[- 4 a} 0 z ]

– интеграл перекрытия; M – число мод волновода, учитываемых при анализе ФРТ.

2. Анализ результатов

В качестве волновода рассмотрим двумерный волновод с параболическим профилем показателя

преломления ( n ² ( x ) = n 2

^{1 -} 2⁶ 2 ( ^x / x q ) ²

, ⁶ 2 и x q

–

параметры, характеризующие волновод). Модами параболического волновода являются функции Гаусса – Эрмита [26].

^{f ( x} ) = й

1 _H

2 ^rr ! °

(  „2

Здесь

ка,

° 0

Для

° 0

exp

-

Й 2

.

H _r

® 0 2

2 x q

– многочлен Эрмита r -го поряд-

kn^ ( 2s₂ ) ^1/2

T     O)

, k = —.

c

приосевых мод волновода постоянная рас-

пространения r -й моды имеет вид

в _r = kn 1 - i a 0

-

2 r +1

kn^ O 2

.

2.1. Коэффициент поглощения

На рис. 1 при условии, что первая волна накачки возбуждает нулевую моду волновода ( n = 0), а сигнальная волна – волна от точечного источника, расположенного на передней грани волновода в точке x ₀ = 0 , приведены характерные графики зависимости от нормированных поперечной ( x^ = x^2 / йд) и продольной ( z^ = z / £ ) координат нормированного на максимальное значение коэффициента поглощения ансамбля частиц, ответственного за генерацию при шестиволновом взаимодействии объектной волны с обращенным

волновым фронтом (а = а’ / а‘ _max, а‘ _max - максимальное значение коэффициента поглощения)

при различных значениях нормированной интен-

сивности волны накачки

I = b ( a 0 n ) 2 ® 0\/ |

Вдоль оси волновода наблюдаются главные и побочные максимумы. Интерференция одномодовой волны накачки с номером n и r -й моды сигнальной волны приводит к периодическому из-

менению вдоль оси волновода интенсивности с

периодом

Л z ( n , r ) =

^{2 п x}q

2^2 n - r|

Период изменения коэффициента поглощения

вдоль оси волновода составляет

Л z =

^П x q

При номере моды одномодовой волны накачки n = 0 количество главных максимумов вдоль оси

волновода есть

5 =

/ ^2^

^{П X}q

Огибающая изменение коэффициента поглощения вдоль оси Х при интенсивности одномодовой волны накачки I < 0 , 1 определяется функцией f 3 ( x ) , а при интенсивности — I > 10 - функцией ^b 1²

f ^{- 1} ( x ) . Таким образом, при одномодовой волне накачки с номером моды n = 0 увеличение ее ин-

тенсивности приводит к возникновению вблизи оси волновода «провала», что означает уменьшение вклада в коэффициент поглощения ансамбля частиц низких мод сигнальной волны. Ширина «провала» с увеличением I возрастает.

2.2. Интеграл перекрытия

Анализ нормированного значения интеграла перекрытия (Y _-r = Y _-r / Y mr , Y mr_r — максимальное значение интеграла перекрытия) проводился для нулевой и четных мод волновода.

Из выражения для ФРТ (7) следует, что при одномодовых волнах накачки с равными номерами мод идеальное ОВФ будет наблюдаться при условии, что интеграл перекрытия не зависит от номера моды объектной (сигнальной) волны.

В случае одномодовых волн накачки с номерами мод - = m = 0 значение интеграла перекрытия с ростом номера моды объектной волны монотонно уменьшается. С увеличением интенсивности волны накачки уменьшается скорость изменения Y _{O r} в зависимости от r , возрастает значение интеграла перекрытия для высоких мод объектной волны. Отклонение зависимости интеграла перекрытия от постоянного значения уменьшается, что качественно свидетельствует об улучшении качества ОВФ [19].

Увеличение номера одномодовых волн накачки приводит к смещению максимума интеграла перекрытия, положение которого соответствует номеру моды волны накачки (рис. 2). С ростом интенсивности волны накачки, как и в случае волн накачки с номерами мод - = m = 0 , увеличивается

а

Рис. 2. Зависимость интеграла перекрытия от номера моды сигнальной волны при а₀ I = 10 ² , Ь₂ / b 2 = 0,1 I = 0,1 (квадрат); 10 (ромб); 30 (треугольник), - = m = 4 ( а ); 8 ( б)

Fig. 2. Overlap integral versus the mode number of the signal wave for a₀ 1 = 10 ^{- 2} , b ₂ / b 2 = 0,1 I = 0,1 (square); 10 (rhombus); 30 (triangle), - = m = 4 ( а ); 8 ( б )

б

значение интеграла перекрытия для мод объектной волны с номерами r >  n и r <  n , а значит, уменьшается отклонение зависимости интеграла перекрытия    от    постоянного    значения.

При n = m ^ 0 и больших значениях интенсивности волны накачки ( I > 20 для n = m = 4 , I > 25 для n = m = 8) наблюдается смещение максимума интеграла перекрытия с номера моды, соответствующего номеру моды волн накачки.

• 2.3.    Полуширина центрального

максимума модуля ФРТ

Численный анализ выражения (7) показывает, что с ростом поперечной координаты модуль ФТР монотонно (или осциллирующе) уменьшается. Для характеристики качества ОВФ используем полуширину центрального максимума модуля функции размытия точки, из решения уравнения [7]

^{( Л х} ) ,

определяемую

| G ( х = Л х , х ₀ = 0 , z = 0 )|= - | G ( x = 0 , х ₀ = 0 , z = 0 )| . (12)

На рис. 3, рис. 4 приведены зависимости нормированной полуширины центрального максимума модуля ФРТ ( л Х = Л х V2 / й₀) от номера моды волны накачки (рис. 3), от интенсивности волны накачки (рис. 4). При расчете зависимости Л х от I учитывали 40 мод объектной волны. Для сравнения на рис. 4, а (зеленая кривая) приведена зависимость нормированной полуширины центрального максимума модуля ФРТ четырехволнового преобразователя излучения [28]

0             5             10            15           и

Рис. 3. Зависимость полуширины центрального максимума модуля ФРТ шестиволнового преобразователя от номера моды волн накачки при а₀ 1 = 10 ^{- 2} ; b ₂ / b 2 = 0,1; I = 0,1 (квадрат), 10 (ромб)

Fig. 3. Half-width of the central maximum of the point spread function modulus of the six-wave converter versus the mode number of the pump waves for  a₀ t = 10 ^{- 2} ;    b ₂ / b 2 = 0,1;

I = 0.1 (square), 10 (rhombus)

Независимо от интенсивности волны накачки увеличение номера моды волн накачки приводит к монотонному уменьшению полуширины центрального максимума модуля ФРТ. Увеличение значения I уменьшает скорость изменения полу- ширины в зависимости от номера моды волн накачки (рис. 3). Изменение номера моды волн накачки от 0 до 10 приводит к уменьшению нормированной полуширины центрального максимума модуля ФРТ при I = 0,1 от 0,42 до 0,23, при I = 10 от 0,35 до 0,26.

Если при номере моды волн накачки n = m = 0

увеличение интенсивности приводит к монотон- ному уменьшению полуширины центрального максимума модуля ФРТ (рис. 4, а), то при n ^ 0 с ростом I вначале наблюдается увеличение, а затем уменьшение Лх (рис. 4, б). Причем значение I, при котором полуширина достигает наиболь- шего значения с ростом номера моды волн накачки, смещается в сторону больших значений. В предельном случае I ^ж полуширина центрального максимума модуля ФРТ перестает зависеть от номера моды волн накачки. Так, уже при I > 50 полуширины центральных максимумов модуля ФРТ при номерах мод одномодовых волн накачки n = m = 0 и n = m = 2 совпадают с погрешностью, меньшей 1 %.

Заметим, что при возбуждении волнами накачки нулевой моды волновода характер изменения качества ОВФ с увеличением интенсивности волны накачки как для шестиволнового, так и для четырехволнового преобразователей излучения совпадает [27;  28]. При I = 0,1 полуширина центрального максимума модуля ФРТ шестиволнового преобразователя излучения оказывается на 7 % больше полуширины центрального максимума модуля ФРТ четырехволнового преобразователя излучения.

Приближенное аналитическое выражение, свя- зывающие нормированную полуширину центрального максимума модуля ФРТ шестиволнового преобразователя излучения в параболическом волноводе с интенсивностью излучения одномодовой волны накачки, есть

Л х = Л х ₀ +

a + s I

.

1 + у I + 5 1 ²

Здесь Л Х_о - нормированная полуширина центрального максимума модуля ФРТ при условии у _nr = const ; а , у , 5 , s - коэффициенты, значения которых для нулевой и первых двух четных номе-

Рис. 4. Зависимость полуширины центрального максимума модуля ФРТ шестиволнового преобразователя от интенсивности волны накачки при а₀ £ = 10 - 2 ; b ₂ / b 2 = 0,1; ( а ) n = m = 0 (коричневый); ( б n = m = 2 (красный), 4 (синий)

Fig. 4. Half-width of the central maximum of the point spread function modulus of the six-wave converter versus the pump wave intensity for а₀ £ = 10 ^{- 2} ; b ₂ / b 2 = 0,1; ( а ) n = m = 0 (brown); ( б n = m = 2 (red), 4 (blue)

Таблица. Коэффициенты аппроксимирующей функции Table. Coefficients of the approximating function

n	Л * 0	α	γ	δ	ε
0	0,205	0,173	0,108	0	0
2		0,075	0,583	0,005	0,051
4		0,046	0,192	0,001	0,014