Пространственная задача Римана для двоякокруговых областей
Автор: Луканкин Г.Л.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.4, 2002 года.
Бесплатный доступ
Поставлена и решена двумерная краевая задача сопряжения для двоякокруговых областей. В качестве математического аппарата решения задачи используется интеграл типа Темлякова. Решение задачи сводится к рассмотрению полного особого интегрального уравнения, решаемого известными способами.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318063
IDR: 14318063
Текст научной статьи Пространственная задача Римана для двоякокруговых областей
1. Введение. Интеграл типа Темлякова и некоторые его свойства
Определение 1 (см. [26, с. 349]). Областью D класса (Г) называется полная, ограниченная, выпуклая двоякокруговая область с центром в точке (0, 0) Е D, граница которой дважды непрерывно дифференцируема и аналитически выпукла извне.
Область D класса (Г) (D Е (Г)) допускает следующее параметрическое задание:
В = |J {(w,z) Е С2 : |w| < п(т), |z| < г2(т)} 0^т^1
= inter. P| {(w,г) E С2 : с(т)\ w + с?(т)|г < 1}, 0^т^1
где с(т) = тгх 1(т), с/(т) = (1 — т)г2 ^т), Г1(т) и г2(т) — действительные, непрерывно дифференцируемые функции в интервале (0,1), удовлетворяющие условиям
п(0) = 0, 0 < г'^т) ^ п(т)т \ (2)
т г2(т) = R2 exp

Т
1 — т
сНпг1
и}.
R2 > 0 (_R2 = const).
Граница области В Е (Т) имеет вид
ЭВ = {(w,z) Е С2 : w < щ (т), z| < г2(т), т Е [0,1] }
= | (w, г) Е С2 : w| = Г1(т)щ г = г2(т)г/е 'Г 0 < т < 1, 0 < t < 2тг, г/ = l|.
Рассмотрим функцию Ф(т, t, A, /z) (т и t — действительные переменные, А и /z — комплексные), которая суммируема в прямоугольнике R = {(т, t) Е JR2 : 0 ^ т ^ 1, 0 ^ t < 2%} при любых А и (.I (|А < +оо, /z < +оо).
Определение 2. Интегралом типа Темлякова I рода будем называть интеграл вида
1 2тг
KW1 Z' = 4Aj
0 0 |^| = 1
где (w, г) E C2 , u = c(t)w + d^ze^.
Функции Гх(т) и г2(т) определяются условиями (2) и (3), поэтому можно рассмотреть неаналитическую гиперповерхность
|w|=ti(t), г|=г2(т) (0 < т < 1),
являющуюся огибающей семейства гиперповерхностей
c(t)|w + с/(т)|г| = 1 (0 < т < 1)
и расположенную под огибаемой в каждой точке. Из соотношения (1) видно, что областью, границей ЭВ которой является гиперповерхность (5), будет область В Е (Т). Поэтому интеграл (4) получил название интеграла типа Темлякова I рода с определяющей ограниченной областью В.
Известно (см., например, [20, с. 33]), что для функций представимых интегралом типа Темлякова I рода (4), в точках (w,^) Е С2 имеет место формула
( 2тг-у+1/,
J Ат I Ф+ (T,t,u,ue~u) At
TiUT3 ^+v
Ф+ф\
P J Ат J Ф” (t, t, u, ue~u) At j ,
T2UT3 ф-Т'
где
Ф(тП + 2тг,ц,це”г1) = Ф(т,1,г/,г/е"1*),
Ф+(т,1,и,ие-1*) = — v /L
Z1VL J 7] — u
Ы=1
для u < 1, а функция Ф” (т, t, u, ue~lt) определяется по той же формуле, но для Ы > 1,
'ффо, г) = arg w — arg z,
{arccosafr, w|, z|), а(т, w|, z|)< 1, о, Hl HL H)> i,
7Г, a(T, |w|, 2:|)< -1,
«(т, H, И) = (i - c2(t)|w|2 - d2 (t^z^HMt^MWzW1 ■
В = {т : c(t)|w + б?(т)И| < 1}, T2 = {т : c(t)|w - с?(т)|г| > 1},
T3 = {т : c(t)|w + НТ)И > !> НТ)Ы ” НТ)И ^ O-
Пусть образ границы ЭВ области В в абсолютной четверть-плоскости задается уравнением г = A"(|w|) (или г2(т) = КфдффУ)- Обозначим через [адД] ф = 1,2,...,п) интервалы изменения параметра т такие, что функция г2(т) = Кфдфтф линейна на отрезке [ri (аД гх(Д)] ф = 1, 2,... , п), где п(т) = тс”1 (ц > 0), т Е [ад Д] ф = 1, 2,... , пф
Определение 3. Порядком границы w = ^(|г|) (т2(т) = K^ti^t^ области В называется число интервалов линейности [т1(а^),Г1(Д)] функции г2(т) = J^(ti(t)), принадлежащих отрезку [0, ri (1)].
Определение 4. Мы скажем, что функция Ф(т, t, г/, r/e”lt) принадлежит классу а (Ф Е а), если Ф по г/ удовлетворяет условию Lipa (0 < а ^ 1), независимому от т и t, и ограничена по модулю для (т, t,i^ Е М = {(т, 1дф : (т, t) Е R, г/ = 1}.
Рассмотрим следующие функции:
/1(т, |wL kl) = И - W(t)|w + 7V(t)ti(t) - г2(т),
№, |w|, |г|) = 2|z| - /i(t, |w|, |z|),
/з(т, |w|, к!) = 2И + ^(т)Г1(т) - Г2(т) - /1(т, |wLkl):
где N^t) = ^(т^г'^т))-1, 0 < т < 1, причем a = lim N^t), b = lim МфУ t— >-0 t — >1
Используя заданные функции, рассмотрим в пространстве С2 области:
D^ = D= Q {(w^) G С2 : ШИН <0},
0^т^1
£)+- = {(w,z) G С2 : /2(т, |wL к!) < °}:
D"+ = {(w,z) G С2 : /3(т, |wL kl) < °}:
D~~ = C2\D++ U D+- U D- + , множества
Bs,i = {(w,z) G C2 : w = (1 + s)(2ci) ^ z = (1 - з)(2ф) хщ r/ = 1, с^ > 0, ф > 0 s = ±1, i = 1,2,... , n}, а также следующие области:
-
1) если cti ф 0, Зп ф 1 (1 < п < +оо), то
9^{(w,z) G С2 :/1(ай |w|, z|) < 0, /2(1, |w|, z|) < 0, s = +1 или
/1 (А, И И) < °, /з(0, |w|, \ф) > 0, s = -1, г = 1,2,... ,п},
9/i{(w,z) G С2 : /1(0, |w|,|z|) < °, ЫЗг, И И) < 0, s = +1 или
/1(1, Н, И) < 0, /3(а^, |w|, |z|) > 0, s = -1, г = 1,2,... ,п}:
-
2) если «1 = 0, pi = 1, то
9i+i = 9ti,i = D++, qyi = D+", qZ1;1 = D" + .
Семейство двумерных поверхностей, проходящих через точки окружностей BSii (s = ±1, г — фиксировано), обозначим через стзк^ = {(w’2) е ^2 : И = к^Ц - с^ т), argw - arg г = I
(argO = argwq — I, (wq,0) G В+1ф, s = 1 или г = fc|w + d”1, argw — arg г = I
(argO = argz0 + 3 (О,го) G В_1ф, s = -1,
\k\ < +oc, Z <2%, Z = l,2,...,n|.
Л. А. Айзенберг установил (см., например, [26, с. 352]), что интеграл (4) является функцией голоморфной в областях D++, D~+ и D+-, а если Ф G а, то непрерывен во всем пространстве С2, за исключением множеств BSii (s = ±1, г = 1,2,... ,п).
Определение 5. Множества Bs^ назовем окружностями особенностей интеграла типа Темлякова I рода.
Для интеграла типа Темлякова имеют место следующие утверждения:
Предложение 1 (см. [3]). Интеграл (4) на двумерном многообразии бесконечно удаленных точек С2 обращается в нуль, причем, если точка (w,z) стремится к бесконечно удаленной точке вида (тоо,оо( (или (oo,Zq) ), то это стремление происходит произвольным способом; если же точка (w,z( стремится к точке вида (оо,оо), то это стремление должно происходить по пути, расположенному на гиперповерхности г = c^cZ™11 w| + b (Ь — произвольное вещественное число).
Предложение 2 (см. [21, с. 12-13]). Пусть граница области D Е (Т) имеет конечный порядок n (1 ^ п < оо), а плотность интеграла (4) функция Ф Е а. Тогда предельные значения интеграла типа Темлякова I рода (4) в точках окружностей особенностей В8^ определяются по формуле:
1 2тг
f(w0,z0) = hm f(w,z)=T—^ dr dt -----------di]
(w,z)->(wo,zo)e5S]i 4л2г J J J i] — uq
О о
0г 2?Г
+ ± d1Ф(т,.,„„„„
—
^dt
^^^^^^^™
о
3,
Н = 1
H-VoW
Т U ^.t,W
«i I — Vo(k)
—
^dt,
где Ho = c(t)w0 + d(r(zoe lt, для т E [0,аД U (Д, 1],
г мо = exp -
(1 + s) argw0 + (1 + s)(arg20 + 1) , для т E [а^Д], (wq,Zo) G Bsy s = ±1; особый интеграл в формуле (7) понимается в смысле главного значения по Коши;
ToW = , , 1™ Т^т, |w|, |^|) Vu),z)^Vwo,zo)EBS)i
' 0, (iu,z(
TV, (w,z)
arccos(-^)’ -----> (1UO,ZO( E B8>il D++ ----------> (1UO,ZO( E B8>il D+-,D-+ ----> (w0,z0) G Bsv D- Определение 6. Функцию f(w,z( назовем функцией класса (Т) (/ Е (Т)), если она задана в пространстве С2, кроме точек окружностей B8^ (s = ±1, г = 1,2,... ,n\ и удовлетворяет следующим условиям: 1) функция f(w,z( — непрерывна в <С?\В8у, голоморфна в областях D^^, D D*-, и обобщенно-аналитична в D ; 2) функция f(w,z( имеет конечные пределы в точках Bs^ (s = ±1, i = 1,2,... , n) при стремлении точки (w, z) из областей D++, (или D- +, или D+-\, имеет предельные значения в точках Bs^ (s = ±1, г = 1, 2,... , п) по путям, расположенным на двумерных поверхностях сГд^’^ (s = ±1, г = 1,2,...,п), если стремление точки (ги,г^ происходит из области D~~. 2. Постановка и решение неоднородной краевой задачи линейного сопряжения функций из класса (Т) (задача Римана) Из свойств интеграла типа Темлякова I рода с ограниченной определяющей об ластью D Е (Т) вытекает справедливость следующего утверждения Утверждение 3 (см. [21, с. 13]). Всякая функция, представимая интегралом типа Темлякова I рода (4) с плотноствю из Ф класса а, принадлежит классу (Т). Пусть в пространстве С2 задана область D Е (Т), граница которой имеет конечный порядок п (1 ^ п < ос). Требуется найти функцию f(ji),z^ класса (Т), обращающуюся в нуль на двумерном многообразии бесконечно удаленных точек, удовлетворяющую в точках заданной окружности особенностей BSii = {(w, г) : го = т^с”1, z = О, r/o = 1, г = 1,2,... , п} (г — фиксировано) краевому условию Лф (г/офЛо) = G^o)f - (r/QC^^O) +g(r/o). (8) Функции G(r/o) и g(r/o) заданы на окружности особенностей Byi (г — фиксировано) и удовлетворяют условию Гёльдера, причем G(r/o) ф 0 на окружности Вцп Решение поставленной краевой задачи будем искать в виде интеграла типа Темлякова I рода с определяющей областью В. По условию В — область класса (Т), граница которой имеет конечный порядок п. Для фиксированного г рассмотрим интервал линейности [гДаДгДД)]. Тогда граница ЭВ области В Е (Т) имеет для этого отрезка вид Ci w + Д|г| = 1, т. е. п(т) = тс^1, т2(т) = Д-тЦ-1 для т Е [а», Д], с^ > О, ф > 0. Рассмотрим сначала решение задачи для случая сц ф 0 и Д ф 1. Подставив формулы (7) предельных значений интеграла типа Темлякова в краевое условие (8), получим 2тг / 0г / 1 f Г , 1-G(??o) f Д 'ф(тД,ио,иое ^dr — < (1 + G(i]0^ Ф(тД,ио,иое uJdr^--:--- —!с 4% J J mJ т] - и0 0 v at 7)1 = 1 1-ОЫ Г Г Ф(т,1,ио,иое-^)1 4--dr ------------------di] — 2g(r/0) > dt = и. m J J f/ - Mo To 7)| = 1 где То = [0, оф U (Д, 1], [ exp {г arg ^}, U0 = < T . 7)0 ' ( 7’1 (t) Cj ’ т Е т Е К, Д] То. Отсюда следует, что [1 + G(7?O)]F[a.i|g.](f,7)o) + - -сы Г ivi J 17)1 = 1 d - 1/0 di] + I K^^^o^FT^t,^ dT] = 2(дДо) + 0^, 2тг где f y(t,r/o) dt = 0 и ф(1,г/0) — некоторая функция непрерывная по t G [0,2я] и о удовлетворяющая условию Lipa (0 < a ^ 1) независимому от t, ^[a.,/3.] /3. (Mo) = I Ф(тД,ио,иое г13<1т, оц К^тр^Е^,^ = i - сы тгг / To ф^лМоич^!! 1 п(т) Cj At. Полученное уравнение (9) есть полное особое интегральное уравнение с ядром Коши, общая теория решения которого хорошо разработана (см., например, [7, с. 185-195]). Для некоторых частных случаев области D G (Т) уравнение (9) сводится к простейшему случаю особого интегрального уравнения — характеристическому уравнению, которое решается в замкнутой форме. Например, пусть а^ = 0 и Д = 1, тогда область D Е (Т) есть область типа А, а уравнение (9) принимает следующий вид: [1 + G(77o)]K[O,i](t,r?o) = ---^^ [ ^^^-dTi = 2(д(ц0) + ф(Д7,0)), тгг J т] - з/о Ы=1 т. е. характеристическое уравнение. Этот случай рассматривался нами ранее (см., например, [10, с. 14-15]), получено решение задачи в замкнутой форме.
Список литературы Пространственная задача Римана для двоякокруговых областей
- Айзенберг Л. А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения.-Новосибирск: Наука, 1990.-248 с.
- Боганов В. И. Об особом интегральном уравнении с действительными параметрами//Вестн. Моск. пед. ун-та. Математика. Физика.-1998.-№ 3-4.-С. 5-9.
- Боганов В. И., Луканкин Г. Л. Интеграл типа Темлякова и его предельные значения//Докл. АН СССР.-1967.-Т. 176.-С. 16-19.
- Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К. Вопросы теории дисперсионных соотношений.-М.: Физматлит, 1958.-204 с.
- Виноградова И. Н. О решении краевых задач//Теория функций, функциональный анализ и их приложения.-М., 1972.-В. 15, Ч. 2.-С. 198-216.
- Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных.-М.: Наука, 1964.-412 с.
- Гахов Ф. Д. Краевые задачи.-М.: Наука, 1977.-640 с.
- Дзебисов Х. П. О решении некоторых краевых задач//Математический анализ и теория функций.-М., 1974.-В. 4.-С. 99-123.
- Дзебисов Х. П. Внутренняя и внешняя односторонние краевые задачи сопряжения для двоякокруговых областей пространства//Владикавк. мат. журн.-2000.-Т. 2, Т. 4.-С. 3-10.
- История отечественной математики.-Киев: Наукова думка, 1970.-Т. 4, кн. 1.-С. 193-210.
- Какичев В. А. Краевые задачи для функций, аналитических в биобластях//Вестн. Новгородского ун-та им. Я. Мудрого. Естественные и технические науки.-Новгород, 1995.-С. 110-114.
- Какичев В. А. К вопросу о конструировании сверток//Изв. МАН ВШ.-2001.-№ 2 (16).-С. 135-145.
- Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса.-М.: Мир, 1972.-384 с.
- Краснощеков А. Л. О решении некоторых краевых задач//Математический анализ и теория функций.-М., 1977.-В. 8.-С. 58-73.
- Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение задачи о сильном испарении (конденсации)//Изв. РАН. Механика жидкости и газа.-1993.-№ 6.-С. 143-155.
- Линник Ю. В. Статистические задачи с мешающими параметрами.-М.: Наука, 1966.-342 с.
- Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные особые уравнения со сдвигом.-М.: Наука, 1977.-448 с.
- Лобанова О. В. Постановка и решение некоторых краевых задач//Математический анализ и теория функций.-М., 1976.-В. 6.-С. 70-88.
- Луканкин Г. Л. Об интегралах типа Темлякова и некоторых их свойствах//Comment. Math. Univ. Carlov.-1968.-Т. 9, № 2.-С. 269-280.
- Луканкин Г. Л. О некоторых краевых задачах для функций двух комплексных переменных//Учен. зап.-1969-70.-Т. 269, вып. 14.-С. 23-48.
- Луканкин Г. Л. О задачах линейного сопряжения функций двух комплексных переменных//Математический анализ и теория функций.-М., 1973.-В. 1.-С. 10-24.
- Луканкин Г. Л. Задачи линейного сопряжения в пространстве//Многомерный комплексный анализ и его приложения.-М., 1991.-С. 3-14. Деп. в ВИНИТИ 29.12.1991, № 4899-В91.
- Луканкин Г. Л. Пространственная задача линейного сопряжения//Вестн. МАН ВШ.-1999.-№ 4 (6).-С. 82-89.
- Луканкин Г. Л., Латышев А. В., Рындина С. В. Граничная задача для одного класса линейных релаксационных нестационарных уравнений//Изв. МАН ВШ.-2001.-№ 2 (16).-С. 94-101.
- Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.-М.: Наука, 1968.-542 с.
- Фукс Б. А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных.-М.: Физматгиз, 1962.-420 с.
- Черчильяни К. Математические методы в кинетической теории.-М.: Мир, 1973.-245 с.