Пространство голоморфных функций полиномиального роста как локальная алгебра

Пусть G - область в комплексной плоскости, звездная относительно точки 0, H-∞(G) - пространство голоморфных в G функций полиномиального роста вблизи границы G. В нем вводится произведение Дюамеля ∗. Оно используется в операционном и операторном исчислениях, при решении дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, в спектральной теории, в задаче о спектральной кратности линейного оператора, в краевых задачах. Показано, что H-∞(G) с указанным умножение является унитальной ассоциативной и коммутативной топологической алгеброй. Оператор интегрирования J(f)(z)=∫z0f(t)dt линейно и непрерывно действует в H-∞(G). Установлено, что все линейные непрерывные в H-∞(G) операторы, перестановочные с J, представляются в виде Sg(f)=f∗g, где g - фиксированная функция из H-∞(G). В случае, когда G является строго звездной относительно точки 0, доказаны критерий обратимости элемента алгебры (H-∞(G),∗) и критерий того, что оператор Sg имеет линейный непрерывный обратный. Показано, что всякий ненулевой оператор из коммутанта J является композицией степени оператора J и некоторого изоморфизма из упомянутого коммутанта. При доказательстве ∗-обратимости привлекается ряд Неймана, обычно применяющийся в банаховых пространствах. В ненормируемых локально выпуклых пространствах функций ранее он использовался Л. Бергом, Н. Уигли и М. Т. Караевым. Описаны все замкнутые идеалы алгебры (H-∞(G),∗), замкнутые инвариантные подпространства и циклические векторы J в H-∞(G). Из полученных результатов следует, что оператор J является одноклеточным, а алгебра (H-∞(G),∗) локальна. Единственным максимальным идеалом в ней является множество всех ∗-необратимых элементов.