Простые возмущения базисов в пространствах кёте
Автор: Кондаков Владимир Петрович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.10, 2008 года.
Бесплатный доступ
В заметке представляется подход к исследованию проблем характеризации базисов в пространствах Кёте, который основан на рассмотрении свойств возмущений операторов и базисных последовательностей.
Пространства кёте, возмущение базиса, квазиэквивалентность базисов
Короткий адрес: https://sciup.org/14318247
IDR: 14318247
Текст научной статьи Простые возмущения базисов в пространствах кёте
Уже с давних пор вместе с классическими каноническими базисами функциональных пространств рассматривались «близкие», в некотором смысле, базисы типа Пинкерле и др. Построение таких «близких» систем (возмущений) использует либо спектральные свойства риссовских операторов, либо непосредственно ряд Неймана для обратного оператора.
Для решения важных задач структурной теории пространств К¨ете числовых последовательностей (например, решения проблемы единственности безусловных базисов) требуются оценки характеристик коэффициентных функционалов аналогичных возмущений базисов в этих пространствах.
Ниже, после некоторой модификации и обобщения известных результатов (см., например, [1–3]) о возмущениях базисных систем, внимание будет сосредоточено на конечномерных возмущениях p-абсолютных базисов пространств К¨ете в непосредственной связи с характеризацией всех базисов этих пространств.
1. Возмущения базисов в пространствах последовательностей
Определение 1. Базис (e n ) счетно-нормированного пространства (E, ( | • | r ) Г =1 ) называют p-абсолютным (1 6 p < го ), если система полунорм
∞ 1p kekr = 1>0,(е)|рЫР , r =1,2,...,
\ n=1 /
∞ где e = ^еП(е)еп, n=1
e G E, задает на E исходную топологию, т. е. системы полунорм ( | • | r ) Г =1 и ( к • k r ) Г =1 — эквивалентны.
В нормированных пространствах l p , 1 < p < го , с p-абсолютным базисом ортов можно рассматривать операторы T : l p ^ l p , удовлетворяющие условию
∞
Е k Te n k q < + го , p + q = 1,
где en = (^in)^! — базис ортов. Вместо (en) можно брать и какой-нибудь другой p-абсолютный нормированный базис с тем же значением p. Такие операторы аналогичны операторам Гильберта — Шмидта и совпадают с ними при p = 2. При p = 1 можно рассматривать вместо (1) условие lim ||Tenk = 0, lim kTxnk = 0 n→∞ n→∞ kxn k для базиса (xn) с произвольными нормами элементов.
При выполнении каждого из этих условий в соответствующих пространствах проверяется без труда известный критерий предкомпактности образа единичного шара для банаховых пространств l p (p < го ) числовых последовательностей. В самом деле, ограниченность образа T U единичного шара и равномерное убывание остатков показывается выкладкой с применением неравенства Гельдера (или непосредственно при p = 1)
T
∞
E n=N

sup n 0 : k n 0 k lp = 1
1 p
∞ e n = N
ξ n e n
l p
sup n^lMllq = 1
∞
E ^П*(Te n )
n = N
∞
E
n = N
I n 0 (Te n ) | q
6 k ξ k l p
∞ kTenklqp n=N
для любых £ G l p и N = 1, 2,... Согласно спектральной теории компактных операторов в банаховых пространствах, оператор I - T (I — тождественный) непрерывно обратим, если единица не является собственным числом оператора T , с описанным выше свойством (см., например, [4]).
Принимая во внимание эти факты, переходим к рассмотрению возмущений базисов в счетно-нормированных пространствах с p-абсолютными базисами.
Напомним, что пространством Кете, определяемым матрицей [a r (n)],
0 6 ar (n) 6 ar+i(n), r,n G N, называют пространство числовых последовательностей lp[ar(n)] = Ь = «n): I€|r = (i^ №(n) p \n=1 /
< + го , V r G N ,
где 1 6 p 6 го , и при p = го
|^|r = sup |£n|ar(n) < +го, Vr G N, n с топологией, определяемой монотонной системой полунорм (| • |r).
Базис ортов (e n = (d in ) i =1 ) n =1 пространства Кете, очевидно, является p-абсолютным базисом. В следующем утверждении речь пойдет о возмущениях базиса ортов, вместо которого можно брать и любой другой p-абсолютный базис этого пространства.
Предложение 1. Пусть последовательность элементов (g n ) n =1 пространства Кете E = l p [a r (n)] (1 6 p < го ) такова, что при любом r Е N для нее справедливо условие
Е ( l e n - g n i r V < . го ( lim ' ' = 0 при p =1 ) , (2)
П=1 V lenlr / V" 'x lenlr / и нет нетривиальных разложений нуля по этой последовательности, т. е.
X Пп9п = 0 влечет Пп = 0, V n Е N, n то (gn )П=1 является p-абсолютным базисом пространства E, эквивалентным базису ортов, т. е. существует автоморфизм S пространства E, переводящий базис (en)n=1 в (gn)n=1.
C Определим сначала формально оператор S , полагая
∞∞
S€ = ^^ n g n для € = ^€ n e n . n =1 n =1
Чтобы показать непрерывность S = (S — I ) + I , достаточно убедиться в непрерывности S - I . Для любого r ∈ N имеем
∞
| S€ — £ | r = sup | € 0 (S€ — €) | = sup X £ „ € 0 (g n — e n ) l € 0 i r =1 1С1 Г =1 n =1
6 (e ^c)) p £s up, (e P0 () | q ) q 6 (e ( e ) q ) q .
n =1 | s | r \n=1 \n = 1
Применив те же рассуждения, что относились к операторам в банаховых пространствах l p и приведены выше, делаем заключение о компактности оператора A = S — I в каждом ассоциированном банаховом пространстве E r , которое получается пополнением фактор-пространства E/N r по норме | • | r , где N r = { e Е E : | e | r = 0 } .
Согласно условию предложения об отсутствии нетривиальных разложений нуля по системе (g n ) П =1 , число 0 не является собственным значением оператора S. Поэтому оператор S = I + A имеет непрерывный обратный S -1 в каждом ассоциированном банаховом пространстве E r , r ∈ N (см., например, [4]).
Подставляя в определении S орты, т. е. полагая € = e n , n = 1,2,..., видим, что
Se n = g n , а значит S - 1 g n = e n , n Е N. B
Замечание. При p = 1 вместо условия (2) в скобках можно использовать другое условие, обеспечивающее компактность описанного выше оператора A = S — I :
X sup ’ e n ^i e i l i < . го (Ae i = g i — e i ), V r Е N.
i a. (i)
=
2. Простые возмущения и вопросы единственности безусловных базисов в пространствах К¨ете
Напомним, что базис (e n ) n =1 линейного топологического пространства E называют безусловным , если разложение каждого элемента сходится к этому элементу при любой перестановке членов.
В пространствах Кете E = l p [a r (n)] с p = 1, 2, го путем указания свойств определяющих матриц Кете [a r (n)] выделены классы, в каждом пространстве которых любой безусловный базис может быть получен из канонического (p-абсолютного) базиса ортов путем перестановки, умножения на числа, отличные от нуля, и автоморфизма пространства (см., например, [5, 6] и библ. в них). Если каждый безусловный базис данного пространства К¨ете E может быть получен из базиса ортов комбинацией указанных операций, то говорят о единственности безусловного базиса в E . Понятно, что в случае единственности безусловного базиса в E , любые два безусловных базиса переводятся друг в друга указанными операциями, и это называют свойством квазиэквивалентности всех безусловных базисов.
Согласно теореме Дынина — Митягина, в ядерном пространстве К¨ете — Фреше все базисы абсолютны (безусловны), а поэтому для указанных ядерных пространств ставилась проблема единственности базисов (свойства квазиэквивалентности всех базисов), которая решена пока только в частных случаях (см., например, [5, 6]).
В непосредственной связи с упомянутыми проблемами дадим для пары p-абсолютных базисов пространства Фреше достаточное условие их квазиэквивалентности в терминах свойств конечномерных возмущений специального вида.
Элемент f пространства Фреше (E, (| • |r)r=i) назовем выступающим (выступом) по отношению к данной системе полунорм (Hr)r=i, если существует непрерывный линейный функционал f0 Е E такой, что f0(fo) > 1 и |f0(e)||fo|r 6 |e|r+i, e Е E, r = 1, 2,...
Понятно, что для выступающего элемента f o соответствующий функционал f имеет оценки норм
| f 0 | r +i 6 Ж, r = 1, 2,...
В силу равностепенной непрерывности базисов в пространствах Фреше (см., например, [7]) для любого базиса или базиса дополняемого подпространства такого пространства можно выбрать систему полунорм ( | • | r ) r =i , определяющую исходную топологию, таким образом, что каждый элемент базиса будет выступающим (выступом).
Можно показать для одиночного элемента пространства Фреше возможность выбора функционала и системы полунорм, задающей исходную топологию, таких, что этот элемент будет выступающим по отношению к выбранной системе полунорм.
Оценки норм функционала в определении выступающего элемента характеризуют геометрическое расположение (наклоны) этого элемента по отношению к некоторому гиперподпространству (множеству нулей соответствующего функционала).
Пусть теперь имеется в пространстве Кете — Фреше E = l p [a r (n)] какой-нибудь базис (f m ) m =i (или базис дополняемого подпространства). Тогда только пользуясь равностепенной непрерывностью базиса (f m ) “ =i , путем разрежения системы полунорм пространства К¨ете E и умножения оставшихся полунорм на подходящие числа с изменением нумерации, можно добиться выполнения следующих условий:
-
1) | e | r 6 r r | e | r +i , e Е E, r Е N;
-
2) \ f m (e)||f m | r 6 |e| r +i , e Е E, r Е N.
Лемма (ср. [5, 6]) . Пусть в пространстве Кете E = l p [a r (n)] (1 6 p 6 го ) система полунорм ( |^| r ) , задающая топологию, удовлетворяет условиям 1) - 2) , и f 0 — выступающий элемент по отношению к этой системе полунорм с соответствующим функционалом f 0 .
Тогда существует натуральный индекс io G N такой, чтоei(o)(fo) = 0(f(ei(g)) = 0) и ar(i(0)) •Ifols 6 1
∀ r, s ∈ N.
|f o | r +1 • a s +i (i(0)) 6 ’
C Рассмотрим случай p = 1, а остальные случаи рассматриваются аналогично как в [5].
В следующих неравенствах сначала используется условие 1), а затем тот факт, что f o (f o ) > 0 и справедливы соответствующие оценки определения выступающего элемента
∞ ∞∞
Е \ei(fo)l suP . 6 1 6 E If I If(ei)| 6 E КШ| inf + i=1 r f^1 i=1 i=1 s |foI
Поэтому найдется натуральный индекс i(0) такой, что =i(fo) = 0, и ar(i(0)) . , as+1(i(0))
.
suP Т7|--- 6 inf — --- r I f o I r +1 s I f o I s
Можно считать одновременно f o (e i (o) ) = 0, так как в предыдущих оценках справа можно оценивать только члены числового ряда для f o (f o ), отличные от нуля. B
Отметим, что модификации рассуждений доказательства леммы использовались в [5, 6] (см. также [7]) для получения утверждений о единственности безусловных (p-абсолютных) базисов в широких классах пространств К¨ете. В доказательствах этих утверждений существенную роль играли комбинаторные соображения, известные как теоремы о системах различных представителей конечных или бесконечных наборов множеств [8]. Именно такой факт под названием теоремы Холла — К¨енига в исследовании вопроса о единственности безусловного базиса применялся в [9].
Поясним, о какой системе различных представителей идет речь.
Пусть в пространстве Кете E = l p [a r (n)] рассматривается p-абсолютный базис (или p-абсолютный базис дополняемого подпространства) (f m ) ^ =P Как уже отмечалось выше, систему полунорм, задающую топологию, всегда можно предполагать выбранной так, что выполняются неравенства
| e | r 6
∞
X
m =1
( I f m (e) ll f m l r ) p
= k e k r 6 2 r |e| r +1 ,
e ∈ E, r ∈ N.
В случае, когда (f m ) “ =1 — базис дополняемого подпространства F в E , выбирается непрерывный линейный проектор Q из E на F и система полунорм ( | • | r ) Г =1 , задающая исходную топологию пространства E , строится таким образом, чтобы выполнялись неравенства
| Qe| r 6 2 r
∞ 1 p
Е Ifm,(Qe)|pIfmIP+1 6 227+11 = ^+2- m=1
e ∈ E, r ∈ N.
Тогда каждый элемент f m будет выступающим по отношению к системе полунорм
( | • | r ) Г =1 также, как и каждый элемент e n .
Согласно утверждению леммы, для каждого элемента f m
такой, что
найдется элемент e n ( m )
|e n ( m ) | r |f m | s
|e n ( m ) | s +1 |f m | r +1
6 1,
∀ r, s ∈ N.
Обозначив
λ m
= inf s
| e n ( m ) | s +1 | f m | s
то же самое можно записать в виде двусторонних оценок полунорм элементов | e n ( m ) I r 6 ^ m I f m I r +1 6 | e n ( m ) | r +2 , V m,r G N, которые при дополнительном условии взаимной однозначности отображения m ^ n(m), m G N означают квазиэквивалентность p-абсолютного базиса (f m ) “ =i части (e n ( m ) ) m =i базиса ортов. Зафиксируем некоторый натуральный индекс r(0) > 1 и для каждого m G N определим множество
| e n | r | f m | s
∀ r, s ∈ N .
v r (0) (m) = n G N : I—I----- 6 1
I | e n | r + r (0) |f m | s + r (0)
Кроме того, v r (o) (m) = 0, при любом m G N, так как r(0) > 1.
Если будет показано, что существует система различных представителей n(m) G v r (o) (m), m = 1,2,..., n(m 1 ) = n(m 2 ), V m 1 = m 2 , то тем самым будет доказана квазиэквивалентность p-абсолютного базиса (f m ) “ =i части базиса ортов. В этом случае при r(0) > 1 соответствующие двусторонние неравенства имеют вид
|e n ( m ) | r 6 ^ m |f m | r + r (0) 6 |e n ( m ) | r +2 r (0) , V m ,r G N-
Обозначим для произвольного конечного множества ^ = {mi, i = 1, 2,..., j} индексов базиса (fm)m=i множество j vr(0)(M) = IJ Vr(0)(mi) i=i индексов базиса ортов, и |A| ниже будет означать число элементов во множестве A, если оно конечно, и символ ∞, когда A бесконечно.
Простое необходимое и достаточное условие существования упомянутой выше системы различных представителей множеств v r (0) (m) состоит в том, что для каждого конечного множества ^ = { m i , i = 1, 2,..., j } в соответствующем множестве v r (0) (^) должно быть не менее j элементов, т. е.
Ы = j 6 |v r (0) (M)|.
(Доказательство см., например, в [8] и применение — в [9]).
Легко привести крайние случаи «густых» и «разреженных» пространств К¨ете, когда условие (5) проверяется без труда.
Блочным пространством К¨ете называют пространство последовательностей векторов lp ([ar(n)],lk(n)) = {x = (xn), xn G lk(n), ^X kxnkppap(n)j = |x|r < +^, r G N^>, k(n) 6 to, 1 6 p 6 to (p = ro, |x|r = sup kxnk/^ar(n), r G N^ , a 6 ar(n) 6 ar+1 (n), r,n G N, с топологией, задаваемой системой преднорм (| • |r)Г=1.
Пространства Фреше, которые изоморфны пространствам К¨ете с определяющими матрицами Кете l p [a r (n)], имеющими следующее свойство: aa + (^ П ) Р 0 при n Tro для любого r ∈ N, называют (правильными) пространствами К¨ете с правильным базисом ортов .
Матрицу [ar (n)] в этом случае называют правильной. Если пространство Фреше E изоморфно блочному пространству Кете lp ([ar(n)], lp(n)^ с правильной матрицей [ar(n)] и хотя бы для одного индекса n размерность k(n) бесконечна, то в этом случае будем говорить, что базис ортов этого пространства К¨ете упорядочиваемый, а E имеет упоря- дочиваемый p-абсолютный базис.
Легко показать проверкой (5), что если пространство Фреше E имеет представление
(1M ( n ) l p
) ) , где все размерности M (n)
в виде блочного пространства Кете вида lp I [ar (n)], блоков бесконечны, то любая p-абсолютная базисная последовательность, порождающая дополняемое подпространство в E , квазиэквивалентна части канонического базиса. Любые два p-абсолютных базиса такого пространства квазиэквивалентны [6].
Вопрос о квазиэквивалентности p-абсолютных базисов в случае пространств К¨ете — Фреше, имеющих p-абсолютный упорядочиваемый базис, до конца пока не исследован.
Свойство «густоты» базисов или самих пространств Фреше, имеющих представление в виде блочных пространств К¨ете со всеми бесконечными размерностями блоков или, в некоторых случаях, изоморфных своим декартовым квадратам, позволяет дать сравнительно просто положительный ответ на вопрос о квазиэквивалентности -абсолютных базисов дополняемых подпространств подходящим частям произвольного -абсолютного базиса всего пространства (см., например, [6]). Здесь, в частности, имеется в виду справедливость такого утверждения для пространств Фреше, имеющих правильный p- абсолютный базис и изоморфных своему декартову квадрату.
Аналогичные утверждения получаются и для в некотором смысле «разреженных» или лакунарных пространств степенных рядов [6]. Дадим абстрактное определение такого типа пространств без использования понятия правильного базиса.
Определение 2. Базис (e n ), пространства Фреше Е назовем неоднородным , если из него нельзя выделить две подпоследовательности без общих элементов, которые были бы квазиэквивалентными.
Примерами неоднородных базисов могут служить базисы в ультраядерных пространствах К¨ете, рассматривавшихся ранее М. М. Драгилевым. Эти пространства называют теперь нестабильными .
Легко привести примеры декартовых произведений пространств лакунарных степенных рядов с неоднородными базисами, не являющимися правильными (см., например, [6]). Рассмотрим блочное расширение класса пространств К¨ете с неоднородными базисами ортов.
Определение 3. Будем говорить, что пространство Фреше — К¨ете E имеет блочно- неоднородное представление, если оно изоморфно блочному пространству К¨ете вида

(lM (n)))
, где (n) 6 го, n Е N, а матрица Кете [ar(n)] определяет неодно родный базис ортов в пространстве lp[ar(n)]. В последнем случае также будем говорить о неоднородности матрицы [ar(n)].
Условие неоднородности матрицы К¨ете имеет вид:
3 r(1) V r(2) 3 r(3) V r(4)
sup
{
a r(3) ( n k ) a r(1) ( m k )
a r(4) (m k )a r(2) (n k )
a r(3) ( m k ) a r(1) ( n k )
a r (4) Cn k )a r (2) (m k )
k Е n| =
∞ ,
для любых непересекающихся последовательностей (n k ), (m k ) натуральных чисел без повторений. Класс пространств Фреше — К¨ете, имеющих блочно-неоднородное представление, включает в себя в качестве собственных подмножеств классы ультраядерных
(нестабильных) пространств, различные обобщения пространств лакунарных степенных рядов, их декартовы произведения и «ручные» пространства степенных рядов бесконечного типа (подробнее см. [6]).
Теорема 1 (см., например, [6]) . Пусть пространство Фреше — К¨ете E имеет блочно неоднородное представление с p-абсолютным базисом ортов (e n ) , F — дополняемое подпространство в E и (f m ) — p-абсолютный базис в F. Тогда (f m ) квазиэквивалентен некоторой подпоследовательности базиса (e n ). Любые два p-абсолютных базиса такого пространства квазиэквивалентны.
Пусть в пространстве Кете E = l p [a r (n)] (p > 1) дополняемое подпространство F имеет p-абсолютный базис (f n ), т. е. изоморфно пространству Кете l p [ | f n | r ]. Выбрав некоторый проектор Q из E на F будем считать, что система (полу)норм ( | • | r ) в E определена таким образом, чтобы выполнялись неравенства (3) и (4).
Выберем произвольно конечный набор элементов { f m 1 , f m 2 , . . . , f m k } из базиса в F и обозначим F ^ = span(f m i ) k =1 — линейную оболочку указанного набора элементов (ц = { m i , m 2 ,...,m k } ). Выделим теперь все элементы базиса ортов (e n ), для которых можно подобрать хотя бы один индекс m i с оценками норм соответствующих элементов
| e n | r | f m i | s
| f m | r +6 | e n | s +6 6 , , ^
Множество всех указанных ортов записываем в виде { e n 1 , e n 2 ,..., e n j } , v(ц) = { n i } j =i , а порождаемое ими подпространство обозначим E v(^) . Нас интересует здесь исключительно возможность случая конечных k > j . Этот случай заведомо не может иметь места, если сужение проектора
Pve = 'У еП(е)еп, e € E, n∈ν на Fµ инъективно. Поэтому основным вопросом является следующий: будет ли отображение Pv(^) : F^ ^ Ev(^) инъективно, т. е. будут ли различные векторы из F^ иметь различные проекции в Ev(^) ?
Покажем, что если дополнительно допустить, что все проекторы вида P ν и Q µ (v, ц С N) коммутируют, то случай k > j приводится к противоречию.
Следующее утверждение из [6] приведем для полноты изложения с доказательством, так как в нем содержится альтернативный подход к решению вопросов характеризации базисов по отношению к предлагаемому ниже с использованием простых возмущений базисов.
Теорема 2. Пусть F — дополняемое подпространство в пространстве Кете E = l p [a r (n)] . Если F имеет p-абсолютный базис (f m ) и коммутируют все проекторы вида
Pve = Een(e)en’ Q^ = E fm(Qefm, e G E, n∈ν m∈µ где Q — некоторый проектор из E на F, v, ц С N, (en) — базис ортов в E, то базис (fm) квазиэквивалентен части базиса (en). В частности, если (fm) другой p-абсолютный базис в E, то при том же условии он квазиэквивалентен базису ортов (en).
<1 Будем предполагать системы полунорм (| • |r) и (k • kr) в E и F выбранными таким образом, чтобы выполнялись описанные выше неравенства (3),(4) с проектором Q. Для произвольного конечного набора ц индексов базиса (fm) рассмотрим определенный выше набор индексов v(ц) и убедимся, что случай k > j, где k — число элементов в ц, а j — число элементов в v(^), не может иметь места. В случае k > j непременно найдется элемент
k eo = Ef = 52 en(eo)en = o.
i=1 n / v ( ^ )
Если размерность подпространства F^o, порождаемого такими элементами, строго боль- ше 1, то уменьшая каждый раз число элементов в наборе {fm1 , .
. , f m k } на единицу, мы
.
можем уменьшить число линейно независимых векторов в F ^ o не более чем на единицу. Поэтому таким уменьшением числа элементов в µ можно придти к рассмотрению новых наборов ^ i С ^ и v(^ 1 ) таких, что F ^ 1 o имеет размерность 1. Соотношение между числами элементов в ^ и v(^ 1 ) теперь не имеет значения и противоречие будет в том, что найдется индекс n £ N \ v(^ 1 ), для которого имеется индекс m i £ ^ 1 :
|e n | r lf m i | s 6 1, V r,s £ N,
| f m i | r +6 | e n | s +6
но все такие индексы должны быть в v(^1). Итак, пусть элемент eo = 52 fm(eo)fm = 52 en(eo)en mE^1 n/v (^1)
порождает Fw o - Тогда в силу предположения о коммутирующих проекторах P v ( ^ 1 ) и Q ^ 1 справедливо представление Q ^ 1 (I — P v ( ^ 1 ) )Q ^ 1 e = e O (e)e o , e £ E и функционал e O удовлетворяет оценкам
| e 0 (e) l| e o | r 6 | e | r +3 , r £ N, e £ E.
Применяя утверждение леммы к разложению элемента e o по базису (f m ), можно указать элемент f m с m £ ^ 1 такой, что
|e o |r |f m|s , v, м ---.—.---6 1, V r,s £ N.
| f m | r +3 | e o | s +3
С другой стороны, применение утверждения той же леммы к разложению e o по базису (e n ) дает элемент e n с n £ v (^ 1 ):
' ' 6 1, V r,s £ N.
| e n | r +3 | e o | s +3
Но тогда найденному индексу m из ^ 1 соответствует индекс n из N \ v(^ 1 ), для которого
| e n | r | f m | s .---- 6 1 , V r, s Е N,
|f m | r +6 |e n | s +6
а это противоречит тому, что в v(^) содержатся все такие индексы. B
Замечание. В общем случае некоммутирующих проекторов P v , Q ^ по элементу e o из доказательства предложения можно определить и непрерывный линейный функционал e o такой, что e o (e o ) = 1, но пока не удается получить требуемых неравенств (6).
Немного иначе: можно ли для элемента e o = Q ^ (I — P v ( ^ ) )Q ^ e o из приведенных рассуждений определить функционал e 0 o : e 0 o (e o ) = 1 и
|e 0 (e)| 6 inf r
Q . I р . Q . '
|e 0 | r
, e £ E ?
Приведенные в доказательстве предложения рассуждения можно повторить в ситуации, когда p-абсолютные базисы (e n ) и (f m ) определяют почти коммутирующие семейства проекторов в следующем смысле: для любых конечных наборов индексов µ и ν существует проектор R µ ν :
R^ve = lim [Q^(I - Pv)QM]ne, n→∞ и семейство проекторов Rµν равностепенно непрерывно, т. е. для любого r существуют C(r) > 0, s(r) G N такие, что
|R^ve|r 6 C(r)|e|s(r), e G E, где C (r) и s(r) не зависят от числа элементов во множествах ^ и v .В этом случае базисы (en) и (fm) квазиэквивалентны, однако остается открытым вопрос описания множества пар базисов с указанным свойством.
Пусть снова ^ = {mi,...,mj'+i} и vr(g)(^) = {ni,... ,nj} — множества индексов базисов (fm)m=i и (en)n=i, соответственно, определенные выше, после леммы. Наше отрицание условий теоремы Холла — Кенига состоит в том, что размерность F^ = span(fmi )j=1 выше размерности Evr№(^) = span(eni)j=p Существование элемента fo = E fm(fo)fm = E en(fo)en mE^ neN\vr(0)(^)
влечет существование хотя бы одного элемента f m i(0) такого, что
|fmi(0) |r = kfmi(0) kr 6 k(I Pv)fmi(0) Hr, для бесконечного числа значений r ∈ N.
Выбрав один такой элемент и считая его индекс равным m j +i , определим конечномерное возмущение базиса (f m ) “ =i следующим образом: Sf m = f m , m = m i , i = 1, 2,..., j ; Sf m i = P v r(0) ( ^ ) f m i + ae n i , i = 1, 2,..., j, где a выбрано так, что
2 I Pvr(0) (^)fmi | r 6 I Sfmi | r 6 21 Pvr(0) M fmi | r, i = 1, 2, • • • , j, и любого r ∈ N. Кроме того, ввиду конечномерности описанного возмущения I - S , можно всегда подобрать α, чтобы не существовало нетривиальных разложений нуля по системе (Sfm)“=i. Согласно сказанному в первой части заметки, это построение приводит к базису (Sfm)“=i, полученному из (fm)“=i автоморфизмом S.
Сравнивая базисы (en)n=i и (Sfm)“=i, предварительно выбрав систему полунорм, задающую топологию E таким образом, что элементы Sfm будут выступающими, применением соображений леммы устанавливаем, что в них элементу Sfmj+1 не может соответствовать ни один из элементов набора vr(o)(^), так как соответствующий элементу Sfmj+1 координатный функционал биортогональной последовательности обращается в ноль на всем подпространстве EVr№(^) по построению. Таким образом, существует элемент enj+1, nj+i / vr(o)M такой, что lenj+1lr|fmj+1ls
|f m j+1 | r +i |e n j+i | s +i
6 C s , r, s ∈ N,
здесь константа C s > 0 может зависеть не только от s, но и от ^, v r (o) (^).
Поясним, что зависимость константы C s > 0 от указанных факторов проверяется, если проследить оценки норм оператора S и его обратного S -1 (особенно обратного). Привести к противоречию наше отрицание условий теоремы Холла — К¨енига пока не удается, но если бы удалось показать, что возмущение S всегда можно устраивать так, что нормы S и S -1 не зависят от выбора множеств ^ и v r (o) (^), то необходимое противоречие было бы получено и тем самым доказана квазиэквивалентность всех p-абсолютных базисов в пространствах К¨ете.
Заметим, что аналогичные соображения можно проводить и используя конечномерные возмущения базиса (f m ) „ =1 вида I - S, где Sf m = f m - P v r(0) ( p ) f m + h m , m/^ \{ f m j +1 } , Sf m = f m , m E V r (o)O ), где h m E ( I - P v r(0) ( ^ ) )E (например, вида h m = ae a ( m ) , ^(m) / v r (0) M).
Однако и здесь вопрос о равностепенной непрерывности всей совокупности удаляемых из множеств µ элементов остается открытым. Как и в предыдущем случае, этот вопрос сводится к вопросу возможности выбора возмущений I - S с равномерными оценками норм S и S -1 .
Можно сделать предположение, что развитие этого подхода с использованием конечномерных, а затем риссовских возмущений базисов позволит установить справедливость условий следующего предложения (или доказать их отсутствие).
Предложение 2. Пусть в пространстве Кете — Фреше E = l p [a r (n)] дан p-абсолютный базис (f m )m- =1 некоторого дополняемого подпространства F и системы полунорм ( | • | r ) Г =1 , ( k • ||r ) Г =1 заданы, как в условии леммы, так что все элементы базиса ортов (е п ) П =1 и базисной последовательности (f m ) ^ =1 выступающие. Тогда, если существуют r(0) / N , k / N такие, что выполнено условие
М 6 k(o)MI, V д С N \{1,...,k}, то базисная последовательность (fm) квазиэквивалентна части базиса ортов (en).
Это утверждение следует из результатов [6, 9], леммы и того факта, что конечный набор элементов одного базиса всегда квазиэквивалентен набору такого же количества элементов другого базиса.
Условие предложения 2 — запись условия теоремы Холла — К¨енига существования системы различных представителей совокупности множеств v r (o) (m), m > k. Эти условия легко проверяются с применением леммы в следующей теореме.
Теорема 3. Пусть в пространстве Кёте l p [a r (n)] , 1 6 p < го , p-абсолютная базисная последовательность (f m ) „ =1 порождает дополняемое подпространство и удовлетворяет следующему условию: существует натуральный индекс r(0) > 1 такой, что при любом выборе конечных наборов ^ = { m 1 ,m 2 ,... ,m j } и v r (o) k) = { n 1 , n 2 ,..., n } , k < j, описанных выше, конечномерные возмущения базиса (f m ) ^ =1 вида I — S, где Sf m = P v r (0) (p) f m + ah m , m = m 1 , m 2 ,..., m k , P v r (0) (p) — естественный проектор из E на E (v r (o)M ) = span(e n i ) к =1 , h m E E (v^M) , Sf m = f m , m = m i , i = 1, 2,..., k,... , могут быть выбраны так, что оценки норм координатных функционалов возмущенных базисных последовательностей относительно каждой непрерывной нормы не зависят от выбора ^ и v r (o) (^) . Тогда (f m ) „ =1 квазиэквивалентен части базиса ортов.
В [9] показано, что если бы удалось доказать условие предложения 2, то это дало бы положительное решение трех основных проблем структурной теории пространств К¨ете: проблемы единственности p -абсолютных базисов, проблемы изоморфной классификации (существования квазидиагональных изоморфизмов изоморфных пространств) и проблемы описания дополняемых подпространств, имеющих p -абсолютные базисы.
Для положительного решения упомянутых проблем необходимо привести к противоречию при сделанных выше (в лемме и предложении 2) предположениях следующее допущение
V (M k E N) ^ =1 (M k ^ro ) 3 (№ ^ ^ k C N \{ 1,...,M k } ,
| ^ k| > | v k ( ^ k ) h k — 1, 2, . . .
Конструкции со счетным числом простых возмущений (риссовские операторы), возможно пригодных для этой цели, будут рассмотрены в следующих публикациях.
Список литературы Простые возмущения базисов в пространствах кёте
- Arsove M. G. The Paley-Wiener theorem in metric linear spaces//Pasific J. Math.-1960.-V. 10.-P. 365-379.
- Arsove M. G., Edwards R. E. Generalized bases in topological linear spaces//Studia Math.-1960.-V. 19.-P. 95-113.
- Като Т. Теория возмущений линейных операторов.-М.: Мир, 1972.-740 с.
- Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа.-М.: Наука, 1979.-381 с.
- Кондаков В. П. Вопросы геометрии ненормируемых пространств.-Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского университета, 1983.-72 с.
- Кондаков В. П. Об изоморфной классификации и свойствах базисов пространств Кёте//В сб.: Исследования по комплексному анализу, теории операторов и математическому моделированию.-Владикавказ: ВНЦ РАН, 2004.-C. 218-240.
- Rolewicz S. Metric Linear Spaces. (II ed.).-Warszawa etc.: PWN-Polish Scientific Publishers, 1984.-459 p.
- Холл М. Комбинаторика.-М.: Мир, 1970.-424 с.
- Митягин Б. С. Эквивалентность базисов в гильбертовых шкалах//Studia Math.-1971.-T. XXXVII, №2.-С. 111-137.