Рациональное проектирование нагруженных изгибающим моментом конструкций с учѐтом требований прочности и устойчивости

В качестве объектов проектирования рассматриваются конструкции, предназначенные для уравновешивания изгибающего момента. Такие конструкции широко используются в строительстве, судостроении, железнодорожном транспорте, аэрокосмической технике и других предметных областях. Традиционным решением для восприятия изгибающего момента является балка с постоянной строительной высотой двутаврового сечения. В работе [1] при проектировании силовой схемы балочной конструкции показано, что распределение материала в равнопрочной пластине переменной толщины соответствует балке переменного сечения. Полученное распределение материала отражает возможные геометрические области рационального расположения элементов конструкции – поясов и стенки балки.

В работе [2] предлагается метод оптимизации тонкостенных балок. Особенностью метода является параметризация сечения в виде набора связанных линейных сегментов, что позволяет использовать алгоритмы, предназначенные для оптимизации ферм. Для линейноупругого анализа применяется метод конечных полос, который снижает вычислительные за- траты по сравнению с подходом [3]. В статье [4] предлагается развитие метода топологической оптимизации [3], где рассматриваются ограничения по прочности и жёсткости балки, анализ чувствительности выполняется с использованием метода сопряжённых уравнений.

В исследовании [5] представлены результаты экспериментальных испытаний двутавровых балок с линейно изменяющейся строительной высотой на устойчивость конструкции.

В работе [6] используется безразмерный критерий весовой эффективности конструкций, нагруженных изгибающим моментом. В качестве характерной нагрузки принимается эквивалентная моменту пара сил. Определена область отношений длины к строительной высоте балки переменного сечения, при которых возможны конструктивные решения с бо̀льшей весовой эффективностью, чем балка с постоянной строительной высотой. В статье [7] такой подход применён для проектирования центроплана магистрального самолета, включающего балки переменной строительной высоты. В работах [6, 7] используется критерий «силовой фактор» [8, 9].

1 Постановка задачи

Геометрические характеристики проектной области представлены на рисунке 1. Нагру- жение конструкции – пластины постоянной толщины – осуществляется изгибающим момен- том, заданным двумя парами сил . Целевой функцией является масса конструкции к.

Рисунок 1 – Геометрические характеристики проектной области

Определяются следующие характеристики: количество и тип конструктивных элементов, их расположение и типы соединения между собой; форма и размеры сечений конструктивных элементов. В качестве функциональных ограничений учитываются условия прочности в каждом элементе; условия местной и общей устойчивости конструкции.

На начальной стадии проектирования применяется континуальная модель, непрерывно заполняющая заданную проектную область [10]. Для поиска рациональной силовой схемы конструкции применяется подход, заключающийся в минимизации в проектной области силового фактора [9]:

G = f °^эквО V,

'v

где экв – эквивалентные напряжения, действующие в конструкции; – объём конструкции. Эквивалентные напряжения по условию текучести Генки-Губера-Мизеса для пластинча- тых элементов определяются:

оэкв = V^l2 +ff2 2 - °!°2 , где °, °2 - главные напряжения.

Масса конструкции на этом этапе прогнозируется по формуле [9]:

G m к = (p p  —,                                 (3)

a где – коэффициент полной массы, определяемый как отношение массы конструкции к теоретически необходимой массе силового материала;    и    – плотность и допускаемое напряжение конструкционного материала.

Коэффициент определяет долю массы конструкции, которая не известна на начальных этапах проектирования конструкции и не учитывается в модели. Эту дополнительную массу могут составлять элементы, обусловленные технологическими особенностями производства, несиловые, поддерживающие и крепёжные детали. Для агрегатов авиационных конструкций коэффициент (р, как правило, принимает значение около р = [ [11, 12]. Для балочной конструкции прирост дополнительной массы могут дать подкрепляющие элементы, обеспечи вающие её устойчивость.

На ранних стадиях проектирования для оценки массы конструкции удобно использовать безразмерный коэффициент силового фактора Ск [13]:

к RL'

где R и L - характерная нагрузка и характерный размер конструкции.

В работах [6, 7] для балочной конструкции в качестве характерной нагрузки R принимается пара сил [ Р , за характерный размер L - длина передачи изгибающего момента I (рисунок 1). Показано, что для балки с постоянной строительной высотой С_к = 1; для балки переменной строительной высотой при условии С_к<1 возможно существование технического решения с массой конструкции меньшей, чем у балки с постоянной строительной высотой.

Учёт устойчивости конструкции на более поздних этапах проектирования производится путём решения задачи о собственных значениях [14]:

Щ] -ч ЛВДЖ1 = {0}'                      (5)

где [К ] - матрица жёсткости конструкции; [KG] - матрица геометрической жёсткости, зависящая от формы упругой системы и распределения в ней внутренних усилий при действии нагрузки {Р}; { W'} - собственный вектор формы потери устойчивости, связанный с j-м соб ственным значением ч j.

Задачу (5) можно представить в виде:

„  {wfm{wl

Ч ='

{w} [MW}

Значение критической нагрузки потери устойчивости конструкции по вектору { W} можно выразить как:

{Pj} = 4j{P}.(7)

Критическим является наименьшее (первое) собственное значение ч i .

2 Методика решения

Предлагаемый подход основывается на применении континуальной пластины переменной толщины [1] с последующей параметрической оптимизацией элементов конструкции. Декомпозиция задачи проектирования позволяет выделить следующие этапы.

• 1)    определяется конструктивно-силовая схема . Разрабатывается конечно-элементная модель (КЭМ-1) проектной области (см. рисунок 1). Оптимизация распределения материала в КЭМ-1 по условиям прочности без учёта требований устойчивости и технологических требований позволяет сформировать теоретически оптимальную конструкцию (ТОК). Оптимизация выполняется по алгоритму [1] с использованием [15]. На основе анализа силовой работы ТОК определяется количество и тип силовых элементов.

• 2)    разрабатывается КЭМ-2 , которая представляется как комбинированная упругая система, состоящая из стенки, моделируемой мембранными элементами, работающими в плоском напряжённом состоянии, и поясов - стержневых элементов, воспринимающих осевые усилия. Определяется граница выреза в стенке по условиям прочности.

• 3)    разрабатывается КЭМ-3, состоящая из объёмных элементов и двухмерных изгибно-мембранных элементов [16]. Определяются: граница выреза в стенке по условиям проч-

• ности и устойчивости; параметры стыковых и подкрепляющих элементов; размеры и форма сечений конструктивных элементов.

• 2.1.    Определение конструктивно-силовой схемы

• 2.2.    Определение границы выреза в стенке по условиям прочности

• 2.3.    Разработка конструкции с учётом требований прочности и устойчивости

Целевой функцией является силовой фактор , определяемый по соотношениям (1), (2).

В качестве проектных переменных принимаются толщины в конечных элементах пластины 8( ( i = 1,2,... П) ), где п- - количество элементов в КЭМ-1.

Для анализа силовой работы ТОК используются картины потоков главных усилий (ПГУ) [1, 11]. В результате принимается решение по выбору параметров силовой схемы конструкции. В ТОК элементы с бо̀льшими значениями толщины пластины, в которых материал работает в одноосном напряжённом состоянии, могут трактоваться как пояса балки; элементы ТОК с меньшими значениями толщин пластины, испытывающие двухосное напряжённое состояние, – как стенка балки.

Внутри проектируемой конструкции в зонах с исчезающе малой толщиной элементов возможен вырез. В КЭМ-2 принимается начальная граница выреза, по которой из конструктивных соображений располагаются стержневые элементы. Граница выреза корректируется с использованием стохастического метода дифференциальной эволюции [17].

Целевой функцией является силовой фактор G .

В качестве проектных переменных принимаются координаты узлов на границе выреза yi ( i = 1,2,... п₂ ), где п₂ - количество узлов на границе выреза в КЭМ-2.

В качестве проектных переменных используются толщины в изгибно-мембранных элементах 8^(е) ( i = 1,2,... п ₃), где п ₃ - количество изгибно-мембранных элементов в КЭМ-3.

Для учёта технологических требований используется приём представления конструкции в виде совокупности подконструкций. Объединение в подконструкции осуществляется на основе линейных связей:

{5}=[Я]{8!'’},    {5} = {8 - ,8 2..... 8„J,    П 4 <П з                   (8)

где [Н ] - булева матрица связи; п₄ - количество подконструкций.

В каждую подконструкцию включаются элементы с примерно одинаковой толщиной 8 ^(е), и это условие сохраняется в процессе оптимизации. Границы варьирования проектных переменных задаются следующими условиями:

8(^in) < 8<е > < 8(тах),    (i = 1,2.....п 3 ), где 8^in) и (^тах^ - минимальные и максимальные значения i-ой проектной переменной, обусловленные конструктивно–технологическими требованиями.

Целевая функция – масса конструкции:

тк(^) ^ тin.(10)

Функциональные ограничения g j (X) представляются так:

gj(^ = а/кВ-а < 0,(/ = 1,2,.,пз ),(11)

gjG^ = U-U -< 0, С/= П3 + 1), где rj - допускаемое значение величины rг (обычно j = 1).

Для решения задачи (8)-(12) используется подход, предложенный в [14] на основе концепции равнопрочности и анализа коэффициентов чувствительности д///д8^ учитывающих энергию деформации по соответствующей форме потери устойчивости.

2.4. Валидация конечно-элементного моделирования

Рассматривается задача анализа устойчивости центрально сжатой балки длиной / б =1000 мм с двутавровым поперечным сечением (см. рисунок 2). Характеристики конструкционного материала: модуль упругости Е =70,000 Мпа, коэффициент Пуассона н а = 0,33. плотность р = 2700 кг / м ³, допускаемое напряжение о = 340 Мпа.

Критическая сжимающая нагрузка для балки определяется по формуле Эйлера [18] и используется как эталон для оценки достоверности КЭМ:

а кр         б

Н

где р=2 - коэффициент приведения длины для заделки;

( )

Рисунок 2 - Поперечное сечение балки

мм - минимальный момент инерции балки

Результаты вычислительного эксперимента сеточной сходимости КЭМ балки приведены на рисунке 3, где п ₃ - число конечных элементов вдоль длины балки. Вдоль высоты балки в моделях используется п ₃/10 конечных элементов. Погрешность определения р_± для балки с помощью МКЭ составляет менее 1%, что подтверждает достоверность моделирования.

Рисунок 3 - Сеточная сходимость КЭМ

3 Пример

Конечно-элементное моделирование конструкции осуществлялось в программной среде Femap [16]. Для оптимизации распределения материала в пластинах, оболочках и стержнях использована программа [15]. В качестве критерия остановки итераций использована сходимость вычислительного процесса по значениям проектных переменных. Вычислительный процесс прекращался, когда изменение толщин всех элементов КЭМ на следующей итерации относительно предыдущей составляло менее 1%.

Принятые значения параметров проектной области (см. рисунок 1): I = 4000 мм, h = 800 мм, Р = 250 кН. Характеристики конструкционного материала приведены в разделе 2.4.

Результаты оптимизации распределения материала после 15 итераций по алгоритму [1] в континуальной модели приведены на рисунке 4.

Картина ПГУ, показанная на рисунке 5, согласуется с результатами, полученными в работе [1], и указывает на возможность снижения массы конструкции за счёт перехода от балки с постоянной строительной высотой к балке с переменной строительной высотой. Анализ распределения одноосных потоков усилий в проектной области позволяет идентифицировать наличие и расположение в силовой схеме конструкции внешних, внутренних и боковых поясов (см. рисунок 6).

Рисунок 4 - Распределение толщин [мм] в континуальной модели

Рисунок 5 - Картина ПГУ в ТОК

Получена ТОК с коэффициентом силового фактора _к=0,832, массой _к =13,219 кг, силовым фактором G =1,663^10 ⁶ кН*мм.

Граница выреза, определённая с помощью метода дифференциальной эволюции, представлена на рисунке 6. Для оптимизации формы контура выреза в КЭМ-2 потребовалось 483 итерации. Длительность расчёта составила около 1 часа (для шестиядерного двенадцатипоточного процессора с базовой частотой 3,5 ГГц); использованная оперативная память объёмом 1,8 ГБ (эффективная частота 2,7 ГГц).

Рисунок 6 - КЭМ-2 после оптимизации

КЭМ-3 показана на рисунке 7. Моделирование внешних, внутренних, боковых поясов и стенки конструкции производилось изгибно-мембранными конечными элементами, моделирование кронштейнов (см. элемент А на рисунке 7) - объёмными конечными элементами. Для оптимизации распределения материала в элементах конструкции по условиям прочности и устойчивости потребовалось 70 итераций алгоритма [14], длительность расчёта составила 2,5 часа (для шестиядерного двенадцатипоточного процессора с базовой частотой 3,5 ГГц) при использовании 8 ГБ оперативной памяти с эффективной частотой 2,7 ГГц. Полученная в результате оптимизации силовая схема конструкции показана на рисунке 8. Весовая сводка спроектированной конструкции представлена в таблице 1.

Рисунок 7 – КЭМ-3 и КЭМ кронштейна

А

Рисунок 8 – Итоговая схема конструкции

А - А

(увеличено)

Анализ результатов проектирования конструкции показывает, что значение коэффициента с_к = 0,832 меньше чем у балки с прямолинейными поясами на 17%.

4 Анализ чувствительности решения

Важным этапом проектирования конструкций является анализ чувствительности функциональных ограничений [19]. Коэффициенты чувствительности позволяют наметить пути совершенствования конструкции с учётом

Таблица 1 – Весовая сводка спроектированной конструкции

Элементы конструкции	Масса, кг
Внешние пояса	4,78
Боковые пояса	0,56
Внутренний пояс	2,90
Стенка	10,84
Подкрепляющие стойки	3,88
Кронштейны	3,13
Всего	26,1

функциональных ограничений.

В ходе решения задачи обнаружено, что добавление материала в зоны стенки с высокими значениями коэффициентов чувствительности ограничений по устойчивости не приводило к повышению критической нагрузки потери устойчивости. В работе [20] подобное явление выявлено при проектировании конструкций по условиям прочности: удаление из конструкции некоторых наиболее нагруженных элементов приводит к более выгодному перераспределению напряжений в ней при сохранении несущей способности и снижении массы. Удаление наиболее нагруженных элементов может быть полезным при проектировании конструкции с учётом требований устойчивости. Удаление этих элементов в статически неопре- делимых конструкциях повлечёт перераспределение усилий, поэтому данный приём не га- рантирует успех во всех проектных ситуациях.

Рассматривается ситуация, возникшая при выполнении анализа КЭМ-3. Коэффициенты чувствительности ограничения по устойчивости балки, нормированные относительно максимального значения, представлены на рисунке 9. По результатам анализа принято решение увеличить размер выреза в стенке за счёт удаления группы конечных элементов стенки с высокими значениями коэффициентов чувствительности по устойчивости. Схема и результаты принятия решения показаны на рисунке 10. Дальнейшая оптимизация распределения материала в элементах конструкции по [17] позволила снизить на 24% массу конструкции при повышении её устойчивости к критической нагрузке. Получено значение г] _г =1,02.

Рисунок 9 – Коэффициенты чувствительности устойчивости конструкции (показаны элементы стенки для четверти КЭМ-3)

Рисунок 10 – Схема принятия решения при определении границы выреза в конструкции

Заключение

Предложена методика проектирования нагруженных изгибающим моментом конструкций переменной строительной высоты с учётом требований прочности, устойчивости и технологических ограничений.

Применение разработанной методики в рассмотренном примере позволило получить конструкцию, удовлетворяющую условиям прочности и устойчивости, при выигрыше в весовой эффективности около 17%. Выявлена проектная ситуация, в которой удаление из конструкции элементов с высокими значениями коэффициентов чувствительности ограничений по устойчивости позволяет снизить массу конструкции на 24%.