Рациональные числа

Дроби появились в ходе измерения, необходимость в наиболее точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких-то определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других величин, а потом и абстрактные дроби.

Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Основной единицей измерения массы у римлян служила мера «асс», также она являлась денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12, 2/12, 3/12…

Дроби, у которых знаменателем всегда было число 12, назывались двенадцатеричные дроби. Вместо ¹/₁₂ римляне говорили «одна унция», ⁵/₁₂ – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной. Сейчас «асс» - аптекарский фунт.

Без знаний арифметики невозможно было строить пирамиды и храмы, вычислять длины, площади и объемы фигур, поэтому потребность в изучении арифметики возрастала.

Помимо строительства, египтяне занимались торговлей и военным делом, поэтому 4 000 лет назад они имели десятичную (но не позиционную) систему счисления и умели решать многие задачи. Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, как записывали египтяне свои дроби. Дробное число ³ египтяне записывали в виде суммы единичных дробей ¹ + ¹ .

В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел – отделяли от логистики – искусства исчисления. Математики Древней Греции считали, что дроби можно использовать только в логистике.

Общее понятие дроби вида m/n впервые встречается у греков. В Древней Греции не позднее V столетия до н.э. область натуральных чисел расширилась до области дополнительных рациональных чисел . Греки не считали дроби за числа, хоть и свободно оперировали всеми арифметическими действиями с ними. Математики Древней Греции употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, снизу – числитель дроби. Например, 5/3 означало три пятых и т.д.

Славяне, пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией, сходной с ионийской. В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». (Рис. 1):

Рисунок 1

До XVI века славянская нумерация употреблялась в России, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.

Со временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц длины было бы постоянным и равнялось бы именно десяти – основанию нумерации. Во Франции как одно из следствий буржуазной революции возникла метрическая система мер, которая отвечает этим требованиям.

Метр ( от греческого слова «метрон», означающего «мера») – одна десятимиллионная часть четверти земного меридиана, принята во Франции за основную меру длины.

Платиновый эталон метра был сделан французскими учеными Мешеном и Деламбром на основании измерений меридиана. Число 10 лежит в основе подразделений метра, поэтому метрическая система мер, применяемая ныне в большинстве стран мира, оказалась тесно связанной с десятичной системой счисления и с десятичными дробями.

Однако , десятичные дроби в математике, впервые стали использовать не европейцы. В Азии во II веке до н.э. уже существовала десятичная система мер длины, ее развитие там было тесно связано с метрологией (учением о мерах). На меры массы и объема десятичный счет распространился в III веке н.э. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей, однако метрологическую форму.

1 лан = 10 цянь = 102 фэнь = 103 ли = 104 хао = 105 сы = 106 хо – меры массы в Китае в Х веке.

Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, то есть десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позднее они стали приобретать характер отвлеченных десятичных дробей. Специальным иероглифом «дянь» (точка) стали отделять целую часть от дробной. В Китае как в древние, так и в средние века десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией.

В работах среднеазиатского ученого ал-Каши в XV веке десятичные дроби получают полную и систематическую трактовку. В Европе в 80-тых годах XVI века десятичные дроби были «открыты» заново нидерландским ученым Стевином. Активное освоение десятичных дробей в науке и практике начинается с начала XVII века.

В Англии точка была введена в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной. В 1617 году математиком Непером была предложена в качестве разделительного знака запятая.

Благодаря десятичным дробям стало проще вычислять громоздкие примеры, которые были необходимы для развития промышленности и торговли, науки и техники. В XIX веке после введения метрической системы мер и весов десятичные дроби получили широкое применение. К примеру, в России в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.