Расчет хода псевдолучей через оптические системы, включающие дифракционные линзы, структура которых выполнена на асферической поверхности

Автор: Грейсух Г.И., Ежов Е.Г., Степанов С.А.

Журнал: Компьютерная оптика @computer-optics

Рубрика: Численные методы компьютерной оптики

Статья в выпуске: 21, 2001 года.

Бесплатный доступ

Методика расчета хода псевдолучей через оптические системы, включающие радиально-градиентные и дифракционные линзы, распространена на системы с дифракционными линзами, структура которых выполнена на асферической поверхности

Короткий адрес: https://sciup.org/14058487

IDR: 14058487

Текст научной статьи Расчет хода псевдолучей через оптические системы, включающие дифракционные линзы, структура которых выполнена на асферической поверхности

В работах [1-3] описана методика и приведены формулы расчета хода псевдолучей лучей (то есть лучей, траектории которых рассчитываются в приближении заданного порядка малости) через вращательно-симметричные оптические системы, содержащие радиально-градиентные элементы и дифракционные линзы (ДЛ), структура которых выполнена на плоской поверхности. В работе [4] указанная методика распространена на случай включения в систему ДЛ, структура которых размещена на сферической поверхности. Данная работа направлена на дальнейшее развитие методики и обобщение ее на оптические системы, содержащие. ДЛ, структура которых выполнена на асферической поверхности.

Расчет хода псевдолуча через такие ДЛ, включает две задачи: прослеживание хода псевдолуча через среду, которая в общем случае может быть ограничена двумя асферическими поверхностями, и определение параметров псевдолуча, дифрагировавшего на структуре ДЛ. Ниже получены формулы расчета, позволяющие решать обе эти задачи.

1. Расчет хода псевдолуча через однородную среду, ограниченную асферическими поверхностями

Ход луча будем описывать в декартовой системе координат, ось Z которой совпадает с оптической осью. Высоту и наклон луча определим с помощью векторов р и г ; при этом вектор р имеет составляющие [ x ( z ), у ( z ),0 ] , а вектор г - составляющие ( е x , е у ,0 ) , где е x и г у - направляющие тангенсы луча, связанные с его направляющими косинусами соотношениями е x = а x z и е у = а у z .

При распространении луча между к и (к +1) асферическими поверхностями оптической системы луч на входе в среду зададим векторами р к и г к, а на выходе из среды - векторами рк+1 и гк+1. Если zk к+1 есть расстояние вдоль оси Z от точки входа луча в однородную среду до точки его выхода, то очевидно, что векторы р к, г к и рк+1, гк+1 связаны между собой уравнениями р к+1 = р к + zk, к+1г к г к+1 = г к

Пусть dk - расстояние между вершинами k и ( к + 1 ) поверхностей. Тогда

z k , к + 1 = d k + z k + 1    z k ’

где zk - координата точки пересечения луча с k поверхностью в системе координат, связанной с вершиной этой поверхности и, аналогично, zk + 1 -координата точки пересечения луча с ( к + 1 ) поверхностью в системе координат, связанной с вершиной ( к + 1 ) поверхности.

Уравнение асферической поверхности в системе координат с началом в вершине этой поверхности запишем в виде

F (р, z) = cz — 1 + V1 — (cр) 2

-1 ®з(cр)4 -

—   ° 5 ( c р ) 6 - ... = 0 ’                         (3)

где с - кривизна поверхности в ее вершине, 0 3 , 0 5 , … - коэффициенты асферической деформации поверхности.

Тогда координаты zk и zk + 1 можно определить из выражений

zk = — 1 ск L

- V1 -( ск р к ) 2

+ 8 п!.к ( скрк )4 +

+ 16 ст 5, к ( ск р к ) 6 + ...

zk + 1 =        1

ск + 1 L

V1 -( ск+1р к+1) 2 +

+ 7СТ 3, к + 1 ( ск + 1 р к + 1 ) 4 +

+ 16 ст 5, к + 1 ( ск + 1 р к + 1 ) 6 + ...

.

Уравнения (1), (2) и (4) являются основой для получения формул расчета хода псевдолуча через однородную среду, ограниченную асферическими поверхностями. При их выводе в качестве первого шага представим векторы р к и г к в виде сумм слагаемых первого, третьего и пятого порядков малости относительно модулей векторов, определяющих высоту и наклон луча во входном зрачке оптической системы:

= D (1)+О(3)+О(5) + р k р k + р k + р к + •••

(1)     (3)     (5)

£ к £ к + £ к + £ к + •••

,

где р®, рк3 и рк5 - составляющие первого, третье го и пятого порядков малости вектора, определяющего положение луча. Обозначения £ ^ - £k5 имеют аналогичный смысл для вектора, определяющего наклон луча.

Из (2), (4) и (5) нетрудно видеть, что расстояние zk к+1 можно представить в виде суммы членов нулевого и четных порядков малости:

,          (0)    ,„(2)    ,„(4)    , zk, к+1 = zk, к+1 + zk, к+1 + zk, к+1 + •••

Подставляя (5) и (6) в первое из уравнений (1), получим, что на выходе из среды о    =о (Ц + „(3) ,о(5) , р к+1   р к+1 +р к+1 + р к+1 + ••• ’ где

о(1) -o(1)+z(0)

р к + 1    р к + zk , к + 1 £ к

о(3) -o(3)+z(0)  „(3)    (2)

р к + 1 = р к + zk , к + 1 £ к + z k , к + 1 £ к

О(5) -D(5)+z(0) е(5)+ Z(2) £(3) + р к + 1 = р к + z k , к + 1 £ к + z k , к + 1 £ к +

+ z k , к + 1 £ к

Для того чтобы найти слагаемые различных порядков малости расстояния zk,к+1, разложим уравнения (4) в степенные ряды, а результат разложения подставим в (2) При этом воспользуемся уравнениями (7) и (8), введем три инварианта вращения е1 = £ к , e2 = £ к ■ р к , e3 = р к                  (9)

и, используя соотношения (5), представим эти инварианты в виде e1 = . + e4 + „ e 2 = e 22) + e 24) + „ e 3 = e 32) + e 34) + •••

где

2 . [.. ?    e f) = 2 £ «1.

£ (3)

£ к

e 22)    р     ^ k ”.

e ^) = рТ^£ k " +р»>

£ k3)

. •               (11)

e 32) = [р*1) ]2-   e i4) = 2 р.

р к 3).

В результате получим z (0)    = d,

zk , к + 1 dk ,

(12)

z (2) --(c -c')(2) + z k , к + 1 = 2 ( c k + 1 c k ) e 3 +

+ C k + 1 d k 1 e 22) + 1 d k e 1 2 J

,

(13)

2 (4) "-(с, , W4) + z k , к + 1 = 2 ( ck + 1 ck ) e 3 +

_

1 к , _      \3

+ 8 [( 1 + ° 3, к + 1 ) c k + 1

+ c k + 1 d k I e 2 ) + ^ d k e 1

+

+z (2)  (e(2)+^

+ z k , к + 1 \ e 2 + d k e 1  /J+

+ 2 ( 1 + a 3, к + 1 ) d k c k + 1 ^ d k [ e 22) ] +

+ l^ L(2)]2+le(2)e(2) +

+ 4 d k [e 1  J + 2 e 2 e 3   +

1 , (2) (2) , (2) ,2 (2) 1

+ -2- d k e 1 e 3 + e 1 d k e 2 r -

Уравнения (8), (11) и (12-14) позволяют по известным составляющим первого, третьего и пятого порядков малости параметров луча на входе в однородную среду вычислить соответствующие составляющие параметров луча на выходе из нее, то есть эти уравнения позволяют рассчитать ход псевдолуча пятого порядка через однородную среду, ограниченную двумя асферическими поверхностями оптической системы^ При этом каждая из этих поверхностей может представлять собой как поверхность оптического элемента, так и любую другую поверхность, например поверхность предмета или изобра-жения^

2. Расчет хода псевдолуча через дифракционные структуры, выполненные на асферической поверхности

Как уже отмечалось во введении, в работе [4] получены формулы расчета хода псевдолуча через ДЛ, структура которой выполнена на сферической поверхности^ Распространение этих формул на асферическую поверхность требует лишь получения выражений для величин различных порядков малости единичного вектора нормали k к этой поверхности в точке падения луча, определяемой вектором р

Единичный вектор нормали к асферической поверхности можно найти, воспользовавшись выражением [5]:

k = V f/ V ( V F ) 2 •                      (15)

Подставив (3) в (15), получим, что составляющие вектора k ~ описываются соотношениями

где

E = 1 -(с р)2 ] 12 +1 ^3 (c р)2 +

3                2(17)

+ 8 ^ 5 ( С р ) 4 + ... .

~ (2) =- 1 c 2 e (2)

z

~ (4) =- 1 c 2 e (4) + 2 e (2) e (2) ] + 3 c4 e (2) ] 2

z        23             3

Для того чтобы представить составляющие kx , ky и kz в виде сумм величин различных порядков малости, вновь используем один из трех инвариантов вращения

2     (2)(4)

eз = р = e3 + e3 +... , где e 32) =[р(1)]2, e 34) = 2р(1)-р(3).(19)

Подставляя (18) в (16) и (17), а затем, раскладывая радикалы в ряд, получим

E(2) = 1 (1 + ,3 )c 2 e32)E(4) = 2 (1 + ,3 )c 2 e34) ++ 3 (1 ., )c4 e32) ]2

Соотношения (21-23) совместно с соответствующими формулами работы [4] позволяют произвести расчет хода псевдолуча через ДЛ, структура которой размещена на асферической подложке.

где

~

к y 7

~ kx

k z = 1 + k^ + k^ + ...

- c

—I

,

x (1)

y (1)

k x (1)

(1) ky

( e,2) + ~<2))

+ e (2) k^

x (1)

y (1)

(e(2) + ~(2))

x (3)

y (3)

+

+

(e141

+ ;)

x (1)

y (1)

, (21)

Статья научная