Расчет периода раскачки утфеля раствором сахарозы в вакуум-аппарате

Одним из важных и ответственных элементов в управлении технологическим потоком производства кристаллического сахара товарных кондиций является период времени обогащения утфеля, в виду его обессахаривания в процессе кристаллообразования в вакуум-аппарате. Несмотря на то, что в настоящее время предложен и внедрен в промышленность в том числе, и в качестве интерфейсного сопровождения процесса, ряд способов, в реальных условиях сахарного производства во многих случаях приходится прибегать к услугам опытного варщика. Очевидно, что в любом случае необходимо располагать зависящими от объемного содержания сахара в растворе данными по времени подачи сахарсодержащего раствора в вакуум-аппарат.

Касательно вопроса о периоде протекания процесса обогащения обедненного сахарозой раствора интродуцируемым в эту субстанцию раствором сахарозы следует отметить, что данная проблема теоретически проработана все еще недостаточно. При этом очевидно, что в практических целях желательно иметь простые и удобные для инженерного расчета зависимости времени обработки сахаром заданного объема воды от режимных параметров процесса (требуемой концентрации раствора по сахарозе, температуре раствора, условий перемешивания и др.).

Проблема количественного анализа процесса кристаллизации сахарозы в вакуум-аппарате, включая сроки обогащения межкристального раствора сиропом, периода времени обработки утфеля в целом в данном аппарате, исследовалась в работах [1–6]. Однако вследствие своей важности для решения задачи получения товарного сахара высоких кондиций эта проблема, по нашему мнению, нуждается в дальнейшем углубленном изучении.

Ниже, с целью обоснования процесса обогащения раствора сахарозой в результате обессахаривания этой жидкостной системы в вакуум-аппарате, с позиций диффузионной теории кристаллообразования в растворе, предлагается более обоснованный, по сравнению с известными до сих пор аналогами, количественный анализ данного процесса.

Постановка и решение задачи

Пусть в некотором рабочем объеме имеют гетерогенную жидкостную систему, включающую жидкую среду и коллектив моделируемых как шары радиусом R кристаллов сахарозы. Предполагая, что шары статистически равномерно распределены в жидкости, в качестве модели процесса массопереноса от жидкой среды к шарам выбирают изолированный шар, к которому из прилегающей к нему области (R < r < L) (где r – радиальная координата, 2l – среднее расстояние между центрами шаров) подаются молекулы сахарозы (рисунок 1).

Рисунок 1. Схема к расчету процесса кристаллообразования сахарозы в утфеле

• Figure 1.    The scheme to calculation of process of grain formation of sucrose in the massecuite

При этом, если V ш и V – соответственно, суммарный объем шаров и жидкости в рабочем объеме и £ - объемная концентрация шаров в жидкостной системе, то в соответствии с принятой геометрической моделью жидкостной системы “жидкость + система шаров” половина расстояния l между двумя соседними шарами составит (рисунок 2)

l = R^^xr,   0 <  £ <  1.         (1)

Сахарсодержащий раствор

Рисунок 2. Схема к расчету процесса массопереноса сахарозы в жидкостной системе

• Figure 2.    The scheme to calculation process of a mass transfer of sucrose in liquid system

Полагают, что массоперенос к шарам от жидкой среды реализуется симметричным образом, и, кроме того, для выбранной расчетной модели, с удовлетворительной точностью выполнены все, обычно принимаемые при анализе процесса массопереноса в сплошной среде, допущения по физико-механическим свойствам изучаемого объекта.

Поток концентрации q сахарозы в направлении оси r в принятой одномерной модели массопереноса в сферической системе отсчета рассчитывают по формуле

При этом уравнение (3) по переменной u вследствие (7) сохраняет свой вид

_ 6с q=- d т,            (2)

d r

¹ = D d t

^d ²u   2 d u

---2 +

, d r    r 6 r

где D – коэффициент диффузии, с – объемная концентрация сахарозы, r – радиальная координата.

В качестве исходного соотношения, опи-

сывающего кинетику распределения концентрации в растворе, выбирают, как обычно, отнесенное к сферическим координатам, с началом координат в центре О 1 шара, уравнение нестационарной диффузии (второй закон Фика) (рисунок 2).

— = D d t

< d ² -   2 d -

—7 + , d r    r d r

( R <  r <  L ) ,

В целях упрощения решения задачи начальное условие (10) заменяют его усредненным значением по прилегающей к шару области r е (R, 1)

l

3_  3 fu(r,0)r2dr = Ас.

I ^R R

В свою очередь, усредняя левую часть уравнения (11) по тому же объему, принимают f |U r=dr = D^(t), l    R.

где t – время.

Начальное условие по исходному распределению концентрации принимают в виде

где ф(т ) - функция, подлежащая определению.

В результате уравнение (11) заменяют приближенным

- ( r ,0) = - n ( R <  r <  l ),           (4)

d ²u   2 d u 1     _A

—— +-- = ф ( t ).

d r ²    r d r

где с п – концентрация пересыщенного раствора.

Граничное условие на поверхности шара

- ( R , t ) = - н (0 <  t <« ),           (5)

где с н – концентрация сахарозы на поверхности шара (кристалла сахарозы).

Граничное условие симметричности поля концентрации между соседними шарами dC(l,t) = 0 (0

dr где l связана с R зависимостью (1).

Хотя решение задачи (2)–(6) известно, оно малопригодно для практических расчетов, так как имеет вид ряда. Поэтому, как поступают в некоторых случаях, ниже применяют приближенный метод решения данной задачи, аналогичный методу осреднения.

С этой целью, как обычно, предварительно проводят замену переменной с = u + сн,(7)

в результате чего граничные условия (5), (6) становятся однородными по переменной u – приведенной концентрации

u(R, t) = 0,(8)

du (l, t)

—= 0, 0

dr

Начальное условие вследствие (4) принимает форму

u(r,0) = A-(R < r < l), где A - = - п - - н > 0 - перепад концентрации в начальный момент времени t = 0.

Так как правая часть уравнения (14) зависит лишь от t, то, интегрируя его дважды по r, находят u(r, t) = D + D2 /r + r2ф(t)/6,(15)

где D1, D2 – произвольные величины, зависящие от t.

Согласуя (15) с граничными условиями (8), (9), получают

R 3+2l3/

Di =--7TT- ^(t), D2 = V ^(t)

6 R3

и поэтому вместо (15) имеют

u(r, t)=y(r )ф( t X где

v(r r) =

R³ + 21³

6 R

l3

+---1.

3 r6

Подставляя (16) в (13), приходят к дифференциальному уравнению относительно искомой функцииф

, 3 1p3 JV(r) drr 2 dr = D^( t x l - Rdt или

А d^ = Dф(18)

dt где

l

А = 3_ 3 f^(r)r2dr, lR l связано с R и концентрацией с зависимостью (1).

Интегрируя (18), получают ф. t) = D3 ехр (Dt / А),(20)

где D3 – произвольная постоянная.

Поэтому, в соответствии с (16), (20) имеют u ( r, t ) = D3^( r )exP( D ), 3А

где ф(r) задана по (17).

С целью определить D3, подставляют (21) в (12)

1l з_ з J D3^(r)r dr = Ac, l RR откуда приходят к соотношению

D₃ А = Ac,              (22)

где А определяют по (20).

В результате чего, вследствие (21), (22) окончательно имеют

Ac         Dt.

^u(r,^!) = ^^{/( r} )^exP(^) АА

Как видно, что найденное по (23) выражение приведенной концентрации u(r, t) имеет простую и удобную для количественного и качественного анализа мультипликативную форму. А именно, приведенная концентрация пропорциональна перепаду концентрации Ac, и, поскольку, согласно расчету, А < 0, ф(r) < 0 при R < r < l, в соответствии с (7), (23) концентрация жидкостной среды положительна, убывает по экспоненте с течением времени t и, тем быстрее, чем больше коэффициент диффузии D.

Если входящее в (23) выражение ^(r) заменить его усредненным значением ф = A согласно (19), то (23) упрощается и принимает вид

Dt u = A с exp(—), А

(l³- R³)Aс

Q-пред = limT^Q = ----—₃----.    ⁽²⁷⁾

3R

Тогда если значение периода времени т между двумя раскачками утфеля пересыщенным раствором определяют исходя из того, чтобы выраженный в долях Qпред коэффициент пересыщения к рассчитывался по отношению

Q /Qnped = к ,              (28)

откуда, исходя из (26)–(28), получают расчетное значение периода (мин) между двумя раскачками утфеля

A т =----ln(1 - к),           (29)

60D где А вычисляют по (19).

Численный эксперимент

Рассматривается пример расчета периода времени между двумя раскачками утфеля сахарсодержащим раствором.

Коэффициент диффузии принимаем D = 2^10 - 10 м²/с, что примерно соответствует значению данного коэффициента при температуре раствора 70 °С. Полагали, что кристаллы сахарозы в растворе монодисперсны, диаметр частиц d = 20…40 мкм, объемная концентрация частиц £ = 40.. .50%.

По выбранным таким образом исходным параметрам, на базе (29), параметрические по размеру d частиц и их объемной концентрации Е, рассчитаны графические зависимости периода т между двумя раскачками утфеля от коэффициента пересыщения к (рисунок 3).

где Aс = сп — сн.

На базе количественного анализа (24) судят о распределении концентрации в обессахариваемом утфеле в заданный период времени.

Поток концентрации сахарозы от жидкостной среды (утфеля) к поверхности шара (кристалла сахара) согласно (2), (23) (с точностью до знака) вычисляют по зависимости (м/с)

q (t) = D ^^(R,!) оr

D

=--X

3A

R3 - l3  А      Г Dt x----—Ac ■ exp

R²          ( A

к

Рисунок 3. Зависимости периода т(мин) между двумя раскачками утфеля от коэффициента пересыщения к для различных значений диаметра d (мкм) и объемной концентрации ^ (%) частиц (d = 20 мкм: 1 - ^ = 40, 2 - ^ = 50%; d = 40 мкм: 3 - ^ = 40,4 - ^ = 50%)

Полный удельный объем Q сахарозы, подводимый к единице поверхности шара за время Т, получают, интегрируя (25) по данному временному интервалу Т (м3/м2)

Т

Q = J q (t ) dT =

(l³- R³)Aс 3R²

, (26)

В соответствии с (26) предельное значение подводимого к единице поверхности шара объема сахарозы составляет

Figure 3. Dependences of the period т (min.) between two swings massecuite from supersaturation coefficient к for various values of diameter d (mcm) and volume concentration ^ (%) of particles (d = 20 мкм: 1 - ^ = 40, 2 - ^ = 50%; d = 40 мкм: 3 - ^ = 40, 4 - ^ = 50%)

Из вида графиков рисунка 3 выявляется согласие полученных результатов количественного моделирования рассматриваемого процесса с физическим смыслом исследуемого явления. А именно, естественное увеличение периода τ раскачки в вакуум-аппарате когда возрастает коэффициент пересыщения κ (все кривые рисунок 3). Кроме того, отмечается уменьшение периода раскачки для частиц одного размера вместе с ростом их концентрации (кривые 2 и 4 расположены, соответственно, ниже кривых 1 и 3), а также в случае, когда при одинаковой концентрации ξ увеличивается размер частиц.