Распределение частиц в вертикальном вихревом потоке газа

Для оценки распределения частиц в закрученном потоке цилиндрической вертикальной камеры воспользуемся уравнением Больцмана [1-3]

dN ее

N{r,v,t) = NQ{v)-r(y)—vVT +—t(v)e— +—т(у)[ухЯ]—, dt m 8v medv в котором для нашей задачи второе и третье слагаемые правой части можно считать равными нулю, поскольку задача рассматривается в изотермических условиях без учета электрических сил. Тогда уравнение (1) можно записать следующим образом

9 dN^r,t,v_A

N(r , v, t) = N_o + та? г --------—,                           (2)

dv9

где No - стационарная концентрация, обусловленная постоянным потоком частиц со скоростью vz, N(r,t,v^ - локальная концентрация, угловая скорость, т - время релаксации, т.е. время ус тановления стационарного потока после прекращения внешнего возмущения.

После разделения переменных и подстановки выражения для dv_ =—(R-2r)dr [4], полу- чим

-^-(_й/г-2)» = ®^ , Зта?т]             N(r,t,Vp)-N₀

и после интегрирования запишем распределение концентрации частиц

-^(-яьГ+2г)

где в качестве произвольной постоянной была выбрана величина In R. Более удобно полученный результат можно записать в виде

----------= ехр-- y----

No                  Зта?т]

Анализ полученного выражения показывает, что при ^ ^ 0 N(r,t, v_p) >  N_o . Это означает, что в периферийной области концентрация частиц всегда выше, чем в приосевой, что совпадает с результатами реальных исследований. При условии, что т) = 0,а) = 0,г = 0, либо равна нулю одна из этих величин, второе слагаемое выражения (5) обращается в нуль. Физически понятно, что при нулевой вязкости частицы не изменяют своего первоначального распределения. Если скорость вращения отсутствует (to = 0), осевая скорость распределена вдоль радиуса равномерно и, следовательно, также первоначальное распределение в этом случае измениться не может. Очевидно, что на оси (г = 0) содержание частиц не может быть большим первоначального.

При увеличении г величина концентрации увеличивается, достигая максимальной вблизи г = R/2 , там, где наибольшее значение тангенциальной скорости. Отметим, что полученное распределение скоростей и концентраций частиц быстрее реализуется для мелких фракций, так как

Физика

для более крупных фракций требуется более продолжительное время для приобретения скорости потока газа и частиц.

Оценка характерного времени снижения до нуля тангенциальной скорости - времени релаксации - дает следующий результат. После прекращения действия давления, на поток действуют только силы, связанные с вязкостью (силы тяжести не учитываются)

dv , т- = -6яп^гй,                              (6)

at где г0 - радиус частицы.

После разделения переменных и интегрирования находим lnv = veexp(-t/r), т где т =--время релаксации. 6лг]гй

Для частиц размером ~3 мм это время составляет 1-3 секунды, что является достаточно близким к реальным условиям. Время контакта частиц, очевидно, будет такого же порядка.

Проделанный анализ неплохо объясняет сущность процессов при относительно небольших тангенциальных скоростях (диаметр камеры ~1,5 м, скорость ~30 м/с), так как в соотношении (2) принято, что со * const. Как известно, при больших скоростях центральные и периферийные слои вращаются по различным законам [4]. Для того, чтобы учесть эту особенность, воспользуемся уравнением Больцмана в следующем виде:

N = NQ-A^.(8)

г dvv

Из предыдущих выкладок следует, что

* Зт)2л R d^ =^~{R~2r)dr;          v2 =^

3т]

Подставляя (9) в (8), получим dN = 3T)r(R-2r)dr

N-No Tg

Введем безразмерную координату § = r/R dN ...... 3r) (1-2^

N-N_ot_Mr\_ £(l-£)² _

Правую часть запишем в виде двух слагаемых

dN ₌ Зт] N-N_o" тдР^!-^ (1-£)².

Тогда после интегрирования получим

3?

t/iR

In—— + In e

Н

. N-No

= 1п------

No

Потенцируя, имеем

■е ^

тдК

N-N_o N_o

(И)

Анализ последнего выражения позволяет сделать некоторые выводы. Концентрация частиц не отличается от начальной в центре камеры на максимальном радиусе, что соответствует известным представлениям закономерностей вихревых течений. Максимальное значение концентраций находится на расстояниях от оси, больших половины радиуса. В рассмотренной модели

Кузнецов Г.Ф.

не учитывалась сила трения со стороны стенки, действующая на частицы. Любое торможение частиц на стенке камеры приводит к снижению их скорости и, следовательно, повышенной вероятности шлакования.

Распределение частиц по размерам и, следовательно, массам также влияет на их концентрацию в камере. Анализ уравнения (8) показывает - времени пребывания наиболее крупных частиц в модельной камере достаточно, чтобы произошло выравнивание скоростей всех частиц. Это будет означать, что на стенке камеры окажутся, в первую очередь, крупные частицы, что и наблюдается в реальности.

Для дальнейшего анализа запишем уравнение (14) в виде

Правая часть уравнения обращается в нуль при £ = О и £ = 1, поэтому между этими точками должен существовать хотя бы один экстремум.

Найдем точку экстремума, приравнивая нулю производную правой части

-----7 е (1-£)2

= 0,

или

Откуда видно, что экстремум будет иметь место в точке £ = 1/2. Для определения будет ли в этой точке максимум или минимум, определим знак второй производной в этой точке. Обозначим выражение перед последней скобкой.

a--------:

(1-^у

у е 1-^ = Я,

так это фиксированное число, не влияющее на знак второй производной, которая

-2(1-^)-(1-2^)

(1-£)2

<0,

и, следовательно, при £ = 1/2 существует максимум распределения частиц. Этот результат соответствует анализу, проделанному при допущении со = const, свидетельство того, что для данного анализа такое допущение действительно можно принять.

Полученные результаты можно использовать для проектирования различных тепломассообменных аппаратов, использующих вихревые потоки.