Распространение волн в двухфазной упруговязкопластической пористой среде

Динамическому деформированию в двухфазной упругой пористой среде посвящен ряд работ [1 - 6], среди которых следует отметить М. А. Био [1, 2], Л. Я. Косачевского [3], Я. И. Френкеля [6].

Исследованию распространения и затухания слабых разрывов в упруговязкопластической однородной среде при условии пластичности Мизеса и Треска посвящены работы [7, 8], где показано, что в такой среде существует по два типа волн ускорений и ударных волн, для которых скорости распространения выражаются теми же формулами, что и в упругой среде.

Под волной ускорения в насыщенной жидкостью упруго-вязкопластической пористой среде понимается изолированная поверхность, на которой напряжения, сила, действующая на жидкость, отнесенная к единице площади поперечного сечения пористой среды, направляющие косинусы главных напряжений и скорости непрерывны, а их некоторые частные производные претерпевают разрыв.

Пористое тело представляет собой мик-ронеоднородную среду, физико-механические характеристики которой являются постоянными величинами. Предполагается, что размеры пор, заполненные жидкостью малы по сравнению с расстоянием, на котором существенно изменяются кинематические и динамические характеристики движения. Это позволяет считать, что обе среды сплошные, и в каждой точке пространства в этом случае будет два вектора смещения:

^m u ( ) - вектор смещения упруго-вязкопластической фазы (скелета пористой среды) и и(2) -вектора смещения жидкости в поре. Жидкость будем считать сжимаемой. Задача рассматривается в Лагранжевых координатах.

1. Рассмотрим насыщенную жидкостью упруго-вязкопластическую пористую среду. Предположим, что деформации первой фазы среды (скелета) малы и складываются из двух частей – упругой и пластической:

(1)        (1)e       (1)p eik    eik   + eik

Полный тензор напряжений и силу, действующую на жидкость, отнесенную к единице площади поперечного сечения пористой среды, запишем в виде [3-5]:

(1)        (2)          (1) e                (1) e          (2)

ik ik ik rr ik ^*ikik ' _rr kk

(1) e          (2)      (1) e      1      (1)        (1)

1 rr 2 rr , ij 2 i , j          j , i ,

(2) e kk

= u

(2) k , k

а тензор скорости пластической деформации

(1) p      (1) p       (1) p (1) p bij = eij    (skk = ekk = 0) связан с главны ми напряжениями упругой среды (скелета) условием пластичности Треска [8]:

|( ст® - ns® p ) — ( ^ j ¹’ — П^е j ¹ p ) = k (3)

По повторяющимся индексам предполагается суммирование от единицы до трех.

Будем считать, что напряженное и деформированное состояния упругой среды первой фазы соответствуют ребру призмы пластичности:

ст® - ns® p = ст® - ns® p = ст ® - ns ® p ± k (4)

В формулах (2) - (4): Л , ц - коэффициенты Ламе; A₁ , A ₂ - коэффициенты, характеризующие пористость среды и сжимаемость жидкости; P - сила, действующая на жидкость, отнесенная к единице площади поперечного сечения пористой среды; п - коэффициент вязкости; к - предел текучести материала.

Из формул (1.1) и (1.2) следует:

Т = ЛК⁰?». + ц(¥® + Г⁽¹⁾) - 2ц£® ^p + /ИМ ij          , к ij ^цх' i , j j , i ^циij 1^y к , к ij

P = AV® + A V )             (5)

Точкой над буквой обозначена производная по времени.

Величины £ ®^p связаны с £® ^p следующими соотношениями:

£ j^p = £ 1⁽¹⁾ pMj + £ 21) ^p mmj + £ ₃ ⁽¹⁾ p^nj (6) где l i , m i , n i - направляющие косинусы главных напряжений 7 ⁽¹⁾ и скоростей деформаций £® ^p .

Компоненты тензора напряжений и скорости перемещений должны удовлетворять уравнениям движения [3]:

р ^А" + р ^⁽²⁾ = Т к , к

Р 12 ^ + Р 22 V   = P , i            (7)

^Р 11 = ^р 1 ^{- р} 12 , ^р 22 = ^р 2 ^{- р} 12 , V ( ) = u i ) , ( а = 1,2)

где р ₁₂ - интенсивность перехода массы из ρρ второй фазы в первую; р ₁₁ = —¹ и р ₂₂ = — - а 1           а ₂

истинные плотности твердой фазы и жидкости в порах; p ₁ - масса первой фазы в единице объема среды; p ₂ - масса второй фазы в единице объема среды; a ₁ и a ₂ - величины, характеризующие доли объема смеси, занимаемые каждой фазой ( a 1 + a ₂ = 1, a 1 > 0, a ₂ > 0).

Формулы (6) с учетом (4) можно преобразовать к виду [8]:

П£.'p = а(1)1 а(S -1 к^ + кя,я = s-1 к^ + кя,я j          ij з кк ij з ij i j ij з ij i j s« = S1 -1 а®5y          (8)

ij ij              kk ij

Возьмем разность выражений (5), (7) и (8) на различных сторонах волновой поверхности X ( t ), получим:

[ а ] = Л [ V $ ] S + ц ([ V ⁽1) ] + [ V ® ]) - if                  к , к if                   i ,                   , i

[ P ] = М"Л\ + A V ) ]

A1 [ V ⁽¹⁾] + A₂[ V ⁽²⁾] = K j ]           (9)

MV®] + р 22[V(2)] = [ РД п£ p ] =[s(1)] - к [ nn]

Применяя к формулам (9) геометрические и кинематические условия совместности первого порядка [9] для каждой фазы, получим систему уравнений:

( Л + ц ) Л®УуУ, + цЛ ¹⁾ + A ₁ X®V _j v_i =

= A G Л + р 12 G Л ²⁾         (10)

A ^V j V i + A J j V i = _A2 G Л + р ₂₂ G ² Л (²⁾ [ £®^p ] = 0

где v i - компоненты единичного вектора нормали к поверхности X ( t ); Л ^{( a} ) ( a = 1,2) - величины, характеризующие скачки первых производных скоростей перемещений; G -скорость движения волновой поверхности.

Предполагая XV = ю ₁ * 0, Л ⁽²⁾ у _/ = ю ₂ ^ 0 на волновой поверхности, умножим (10) на v i и просуммируем по повторяющемуся индексу i , после преобразований получим однородную систему уравнений относительно о ₁ и о _2:

( Л - р_п G ²)^ 1 + ( A 1 - р_п G ^ = 0

( A ₁ - р ₁₂ G²)а₁ + ( A ₂ - р ₂₂ G ²)ш₂ = 0

Из (1.11) следует уравнение ( G = G l ):

^{( р} 11 ^р 22   ^р 12 ) ^Gl ^{+ (} 2 ^р 12 ^A 1   ^р 11^A 2

- р ₂₂ Л ) G l ² + A A ₂ - A 1 = 0

, (12)

решение которого имеет вид:

G² 1 ,,2 = {2( р_ир 22 - р ²)} ^{- 1} ( к 1 ± 7 к 2² - 4 к з к 4 )

^к 1 = р 11^A 2 ⁺ р 22 ^{Л - 2} р 12^A1

к 2 = р„ A 2 - р 22 Л           (13)

к3 = р22 A1 - р12 A2 , к4 = р11 A1 - р12Л , где Gl 12 - скорости безвихревых волн; A = Л + 2 ц

Если Л ^{( а )} v i = 0( a = 1, 2) на поверхности X ( t ) при условии, что не все Xf ) равны нулю одновременно, то из (10) получим ( G = G_t ):

р 2 _     ^цр 22

^Gt =           2

^р 11 ^р 22 ^{- р} 12

где G_t - скорость эквиволюминальной волны.

Таким образом, в насыщенной жидкостью упруго-вязкопластической пористой среде существует две безвихревые и одна эквиво-люминальная волны ускорения, скорости которых имеют скорости продольных и попереч- ных волн [4, 5] и совпадают со скоростями волн в упругой пористой среде.

2. Получим уравнения затухания для волн ускорения. Для этого продифференцируем уравнения (5) по х,, а уравнения (7) по t и просуммируем по повторяющимся индексам, а затем возьмем разность найденных выражений на различных сторонах волновой поверхности и применим геометрические и кинематические условия совместности второго порядка [9]:

[v^v, = G2Lv - 2G iilii li

S t

[v;2)]y = G2Mv, - 2G SX^v iilii li ot

[ v® v i = L v i - 2 0 X v (15)

[ v ,k v i = M_z v _z - 2 0 x v

^[ <2ki ^] V = ^L V i + g “^^X k , « X k , e

^[ G = M V z + g "¹³^ x _k , p

После преобразований получим:

(p11G/2 - ^)LiVi + (pi2G - Ai)M v- sX(1

• - 2 pG —— V - 2 p₂G —i^-V +

• 11 l St

+ 20AX(1)v + 20z A X^w + 2 p[£ лкp ] = 0 (16) / i i               l 1 i i < L ik , k -IX /

,

^{( p} 12 G / ^{2 -} A 1 ) L i ^V i ^{+ ( p} 22 G / ^{2 -} A 2 ) M i ^V i ^-

• (1)(2)

• - 2 P12 G/     V- 2 p22 G/

+ 20 / (A1X(1)vi + A 2 X(2)vJ= 0(17)

где Li,Mi - соответственно величины, харак- теризующие скачки вторых производных скоростей V2“); 0/ - средняя кривизна поверхности X (t); g“e - компоненты первой ковариантной квадратичной формы; — - обозначает St

5 - дифференцирование по t [9].

При выводе уравнений (16) и (17) учтено, что vivi = 1, vixi р = 0. Исключим из уравнений (16) и (17) величины Li и Mi. Для этого умножим уравнение (16) на (p22G/ - A2) а уравнение (17) на -(p12G/ - A) и сложим. В результате преобразований и с учетом (12), получим:

2 G , { ( p_n A 2

—

^p 12 A 1 ) - G / ^{( p} 11 ^P 22 - ^p 122 ^)} . ⁺

- t

+ 2 G ( P 12 A - p 22 A ) ^-kT + ²/'К» l v ( p 22 G - A 2

S t

+ 2 0 _/ { ( p ₂₂ Л - p ₁₂ A ₁ ) G ² + A 1 - A ₂ Л © +

+ 20/G2 (p 22 A - p12 A 2 >2 = 0

Исключим из уравнения (18) o ₂. Для этого из первого уравнения (11) выразим о ₂

через о _1:

®2 =Г(й(, где г = p11G2 -Л .(20)

• ¹    A 1 ^{- p} 12 ^G2

Тогда уравнение (18) затухания для безвихревой волны с учетом (19) запишем в виде:

F1 —- + 2 ^'

Здесь:

^F( = ^2G/^{(p12A1 - А1 A2 ⁾⁺G/^(pn^p22 - ^p122 ^{) +}

^{+ (p} 22 A1 - ^p12 A2 )^Г1 ^}

F2 = p22 G/2 - A2

F3 = 20/ {G/² (p22 \ p12A1 )+ A2 - A2л}+

^{+ {}G/^{2 (p} 22 A1 - ^p12 A2 )^Г1 ^}

Подставив в формулы (22) значение Г₁

из (20), получим запись коэффициентов F1, F2, F3 в другом виде:

• 2    G2

F =----/—у D, F =

¹   A1 - p12 G/  ^{1     2}   A1 - p12 G/²

F3 =

20/G² D

A1 - p12 G/

,

где

D1 = ^(p11 ^p12 A 2 + ^p12 ^p 22 ^Л-^{2 p}11^p 22 A1 ^)G/⁺

+ p₁₁ A₁A₂- 2p₁₂A₂Л + p₂₂A₁Л

D2 = I^pl2 ^p22 ^G/⁴ - ^(p22 A1 ^{+ p}12 A2 ^)G/^{2 +}A1A2 ^}

После подстановки (23) в уравнение (21), преобразований, и учитывая, что 5®аd

---= Gz---, получим уравнения затухания St‘ ds для безвихревых волн первой фазы:

d^1 = 0/©1 + ру\£^Р ]v- ds

Y =_________^p12 ^p 22 ^G/   ^(p 22 A1 ⁺_________

^(p11 ^p12 A 2 ^{+ p}12 ^p 22 ^{Л-2 p}11 ^p22 A1^)G/⁺

_______^{+ p}12 A 2) ^G/⁺A1A 2_______ + (p_uA1A2 - 2p12 A2Л+ p22 A1Л)G2

, (25)

где s > 0 - расстояние вдоль нормалей к волновой поверхности.

Если учесть, что Л(“V = 0 при переходе эквиволюминальной волны через поверхность X (t), то из выражений (5)-(7), записанных в разрывах, умножения полученных выражений на Л¹⁾ и суммирования по повторяющемуся индексу i, получим уравнение затухания для эквиволюминальной волны первой фазы:

(л(1)

_:= QЛ+[<’к ]          (26)

Выражения для [г®_к ] найдем из условия пластичности Треска (3) [8]:

Для этого продифференцируем уравнение (8) по х_к и возьмем разность их значений на разных сторонах от волновой поверхности:

nVj^]= [j^{] + k ([}ni, к^]nj^+[nj, к^]ni)     ⁽²⁷⁾

Чтобы определить величины скачков [ni,_к ] через [^iylk ] продифференцируем соотношения [8]:

lilj⁺mimj⁺ninj = 5j

7® = 7|¹¹llj + 7 2^hmimj- + 7₃⁽¹⁾nnj      ⁽²⁸⁾

по x_k и запишем их в скачках. В результате будем иметь:

[(j к ] + [(mj к ] + [(nnjY к ] = 0    (29)

Г /т⁽¹⁾ 1 — Г /т⁽¹⁾ 1/ / -I- Г /т⁽¹⁾ 1и7 I’D -I- Г /т⁽¹⁾ 1и И -I-^[7У, к^] = ^[71, к аЧ¹ j⁺ [⁷ 2, к^{] m}i^mj⁺ [⁷ з, к^]ninj⁺

^+[(^), к^]°i^(1)+[(mmj), к 1° 2¹)^+[(nn), к I⁷з⁽¹⁾, где а® (i = 1,2,3) - главные напряжения в первой фазе.

Для соотношений (29) применим геометрические условия совместности первого порядка:

^[к,к^]= ^ai^vk, ^[mi,к^]= ^ь^к         ⁽³⁰⁾

[n,к] = С^к, Ю = В^к

Ик] = j, ^У = -Л®^у -G;(Л(1)vj+ ЛV), где Hy,ai,bi,Ci - скачки первых производных напряжений 7^ и направляющих косинусов li,mi,ni.

Тогда (29) запишем в виде:

ail у + ajli + bmj + bj-mi + Cinj- + Cyn = 0 (31) B1 lilj + В₂mmj + В₃ninj + (a_il_j + ayli 7'^:+ ⁺bm⁺bm ⁷ 2¹)^{+ (c}ny⁺j ⁷ 3⁽¹⁾= Hiy

Решив систему уравнений (31) относительно ai,bi,Bi,Ci и подставив в (27), получим выражение для [г®к ]. Затем полученные значения [г®к ] подставим в уравнения (24) и (26), получим дифференциальные уравнения для определения затухания первой фазы безвихревой и экволюминальной волн в насыщенной жидкостью упруго-вязкопластической пористой среде.

Затухание безвихревой волны второй фазы определим из (19), а затухание эквиво-люминальной волны второй фазы определим из (10), положив Л^(a)vi = 0

Л(²⁾= 1₂л^1:.     Г₂=-               (32)

Р 22

Тогда затухание волн в насыщенной жидкостью упруго-вязкопластической пористой среде запишем как сумму решения уравнения (24) и (19) или (26) и (32):

Ws = ⁹1 s⁺®2s ^s = ^l’ t . ⁽³³⁾

• 3.    Рассмотрим безвихревую сферическую волну в равномерно растянутом по направлению к оси 7₃⁽¹⁾ в насыщенном жидкостью упруго-вязкопластическом пористом пространстве. В этом случае 7® = 721) = 0, 7₃⁽¹⁾^ 0, n1 = n₂= 0, n₃= 1. Тогда средняя и гауссова кривизны волновой поверхности X (,) при , = 0 запишутся в виде [9]

  ^0 =

  
  

  ^-IT’ K0 =

  R 0

  
  

  RF

  
  

Для определения средней кривизны Q_l подставим значения Q₀ и K₀ в формулу:

Q = Q0 K0 s l 1 - 2Q0s + K0s2

.

Тогда:

Q, =

• ^l     R 0 + s

Из системы (31) найдем С1, С₂ и С₃:

^C1 =^-

^C2 =^-

2^ T^

2h 731G

®1V1V 3,

(91 V₂v₃, C₃= 0

Подставим (35) в формулу (27), после несложных преобразований получим:

[f »к ]v =-

•- 1к , к i

4H ( 1 к 2/1    2\^

G^^ 3+< V 3(1 "V 3) J9

1 (37)

Вестник^ВГУИТ, №2, 2013

Тогда (24) принимает вид:

5(01 5t

Ql-

4Ц Y 1 k 2/t   2^ /IQA

-Gn[3 ⁺5» ^V3^{(l - V}3)J|°⁽³⁸⁾

Из уравнения (38) с учетом (35) после интегрирования находим:

⁰1 = 0)1

'«R-

V Ro ^{+ 5} J

J 4цY( 1   k       2ч)

ex'^-       3+ >^V3⁽¹-^V3) -⁵

// ^^ U3            J

^, (39)

где o₀₁- значение о1 при 5 = 0.

Из формул (19) и ( 0) находим значение

^O2 :

^О2 = ⁰10

PnGl^{2 -Л}

V A - p_u Gl

I 1

I --— |x

V R₀+ 5 J

x exp-

4 ц у 1

n

1 + ^ v32(1 -v32)

V^ u з

- 5

, (40)

где у находится из выражения (25).

Тогда интенсивность затухания безвихревой сф ерической волны ускорения в упруговязкопластическом пористом пространстве будет как сумма о1 и о₂:

Wl = o1 + o₂

или

^Wl = ^О10

_A_ V R 0 + 5

( ^р

V

^{- p}12 ) Gl^{2 +}A1 ^{- Л} |_Y

2x

A1 ^{- p}12 Gl      J

x exp-

4ц²y (1 k ₂ 2x1

V3 ⁺5. ^V3⁽¹-^V3) I

- 5

n

Из (42) следует, что интенсивность W_l затухания безвихревой сферической волны зависит от пористости среды, коэффициентов вязкости и пластичности, а также от главных напряжений первой фазы, истинных плотностей фаз и интенсивности перехода массы из второй фазы в первую.